Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда ), или к одной паре (когда ).

Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точке А. Действие этой силы не изменится , если в любой точки В тела приложить две уравновешенные силы и , такие , что , .

Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную , но приложенную в точке В и пару ( с моментом .

Пример. Чтобы удержать в равновесии однородный брус АВ длиной 2a и весом Р, надо , очевидно, приложить в его середине С направленную вверх силу , по модулю равную Р.

Согласно доказанной теореме силу можно заменить силой , приложенной к концу А бруса и парой с моментом . Если плечо этой пары уменьшить до величины h , то образующие её силы надо увеличить так, чтобы было Следовательно, чтобы удержать брус за его конец А, надо, кроме силы , приложить еще пару ( ).

9.2 Приведение плоской системы сил к данному центру

Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения , и, пользуясь доказанной теоремой, перенесем силы в центр О.

Рис.9.2

В результате на тело будет действовать система сил , ,…. , приложенных в центре О, и система пар, моменты которых равны

, ,… .

Силы , приложенные в центре О, можно заменить одной силой , приложенной в том же центре; при этом или .

По теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары

или .

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называется главным вектором системы; величину , равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О , будем называть главным моментом системы относительно центра О.

Показано:

Всякая плоская система сил, действующих абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О.

9.3. Случаи приведения плоской системы сил к простейшему виду

1) Если для данной системы сил и , то тело остается в покое, если оно было в покое.

2) Если для данной системы сил , , то она приводится к одной паре с моментом .

В этом случае величина не будет зависеть от выбора центра О.

3) Если для данной системы сил , то она приводится к одной равнодействующей . При этом возможны два случая:

a) , В этом случае система сразу заменяется одной силой, т.е. равнодействующей , проходящей через центр О,

б) , . В этом случае пару с моментом можно изобразить двумя силами и ,беря , .

Рис.9.3

Отбросив теперь силы и , как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется одной равнодействующей , проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями:

1) расстояние ОС =d ( )

2) знак момента относительно центра О силы , приложенной в точке С , т.е. знак должен совпадать со знаком .

Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда ), или к одной паре (когда ).

9.4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Случай параллельных сил.

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:

, . (9.1)

Здесь О – любая точка плоскости, т.к. при величина от выбора центра О не зависит.

Условия (9.1) являются необходимыми, т.к. если какое-нибудь из них не выполняется , то система действующих сил приводится или к равнодействующей (когда ) или к паре (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (9.1) являются достаточными, потому что при система приводится только к паре с моментом , а т.к. , то имеет место равновесие.

Рассмотрим аналитические условия равновесия:

1. Основная форма условий равновесия

Величины и определяются равенствами:

Но может равняться нулю только тогда, когда одновременно ,

. Следовательно, условия (9.1) будут выполнены, если будет:

, , (9.2)

То есть: для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

2. Вторая форма условий равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Оx, не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

, ,

При этом АВ.

3.Третья форма условий равновесия:

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

9.5. Равновесие плоской системы параллельных сил.

ПРИМЕР.

Однородный брус АВ жестко заделан в стену , образуя с ней угол . Выступающая из стены часть бруса имеет длину м и вес Р. Внутри угла DAB лежит цилиндр весом Q , касающийся бруса в точке Е, причем АЕ=a . Определить реакции заделки.

Рассмотрим равновесие бруса.

Рассмотрим равновесие цилиндра.