Для екзамену за модуль (семестр 1)

ПНЗЕ5 Вища математика

галузь знань 0305 –Економіка та підприємництво

напрямів підготовки 6.030504 – Економіка підприємства

і 6.030509 – Облік і аудит

факультет економіки і підприємництва

2015 – 2016 НАВЧАЛЬНИЙ РІК

Робоча програма “Вища математика” для студентів за напрямами підготовки бакалавра 6.030504 – Економіка підприємства і 6.030509 – Облік і аудит.

Розробники:

Колосов А. І., зав. каф. вищої математики, д.ф.-м.н., проф. __________________

(підпис)

Якунін А. В., доцент каф. вищої математики, к.т.н., доц. _______________

(підпис)

Робочу програму схвалено на засіданні кафедри вищої математики.

Протокол від 29 серпня 2015 року. № 1.

Завідувач кафедри ________________ Колосов А. І.

(підпис) (прізвище та ініціали)

Робочу програму схвалено

на засіданні випускової кафедри економіки підприємств, бізнес-адміністрування та регіонального розвитку.

Протокол від 27 серпня 2015 року. № 1.

Завідувач випускової кафедри _____________ Димченко О. В.

(підпис) (ПІБ)

на засіданні випускової кафедри фінансово-економічної безпеки, обліку і аудиту.

Протокол від 31 серпня 2015 року. № 1.

Завідувач випускової кафедри ______________ Момот Т. В.

(підпис) (ПІБ)

Програма відповідає встановленій формі.

Методист НМВ ___________ ________________ “ ___ ” ________ 2015 р.

(підпис) (прізвище та ініціали)

Ó ХНУМГ ім. О.М. Бекетова, 2015 рік

Ó А. І. Колосов, А. В. Якунін, .2015 рік

1. Опис навчальної дисципліни

Питома вага кількості аудиторних годин у загальному обсязі дисципліни становить: для денної форми навчання – 50%, для заочної форми навчання – 12,8%.

2. Мета та завдання навчальної дисципліни

Метою викладання навчальної дисципліни є:

забезпечення прилеглих дисциплін необхідним математичним апаратом; розвиток аналітичного мислення, формування базових математичних знань і вмінь для розв’язування практичних задач зі сфери їх професійної діяльності.

Основними завданнями вивчення навчальної дисципліни є:

надання студентам знань з фундаментальних розділів вищої математики, що відповідають напряму їх фахової підготовки: означень, теорем, правил, та формування початкових умінь: самостійного опрацьовування математичної літератури та інших інформаційних джерел; здійснення дій над матри­цями, обчислення визначників; розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь; здійснення класифікації функцій і знаходження їх границь; застосування диференціального числення для до­слідження функцій і побудови їх графіків, , аналізу різноманітних процесів; застосування інтегрального числення; розв’язуван­ня диференціальних рівнянь та їх систем; застосування теорії числових рядів для розв’язування фахових задач, застосування засад фінансової математики та математичної економіки.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен:

знати:

– основи математичного апарату;

– застосування базових математичних знань у процесі розв’язування економічних задач, побудови економіко-математичних моделей;

вміти:

– обчислювати основні геометричні характеристики і застосовувати методи аналітичної геометрії для побудови та дослідження плоских кривих і поверхонь першого та другого порядків;

– обчислювати границі, у тому числі розкривати невизначеності, і застосовувати методи теорії границь для аналізу неперервних змінних величин;

– застосовувати методи лінійної алгебри для системного опису складних зв`язків, розв`язувати системи лінійних рівнянь, знаходити власні вектори і власні числа матриць;

– обчислювати похідні при різних способах задання функцій і застосовувати диференціальне числення для дослідження функцій, аналізу їх екстремальних властивостей;

– обчислювати інтеграли від різних класів функцій і застосовувати інтегральне числення для обчислення сумарних і середніх характеристик економічних об`єктів;

– знаходити загальні та частинні розв’язки диференціальних і різницевих рівнянь і застосовувати такі рівняння для опису економічної динаміки;

– досліджувати збіжність числових рядів і застосовувати теорію рядів для опису часових рядів в економіці;

мати компетентності:

– здатність до математичного формулювання прикладних задач зі сфер фахової діяльності;

– здатність виконувати обчислення числових характеристик економічних об’єктів і процесів;

– здатність застосовувати засоби обчислювальної техніки для математичної обробки результатів економічних досліджень;

– здатність застосовувати математичні методи для системного опису складних економічних зв`язків між виробничими об’єктами;

– здатність до застосування математичних методів при тестуванні, дослідженні, перевірці та юстируванні економічних об’єктів і процесів;

– здатність до застосування математичних методів при плануванні, організації і проведенні економічної діяльності;

– здатність до застосування математичних методів при проектуванні економічних об’єктів, розробці відповідних технічних завдань, рішень і проектів, складанні планів і кошторисної документації;

– здатність до застосування математичних методів при організації контролю економічної діяльності.

3. Програма навчальної дисципліни

Модуль 1. Вища математика

Змістовий модуль 1. Аналітична геометрія на площині. Вступ до аналізу

Тема 1.1. Аналітична геометрія на площині

1. Пряма лінія на площині

Декартова прямокутна система координат на площині. Відстань між дво­ма точками. Поділ відрізка у заданому відношенні

Основні типи рівняння прямої на площині

Кут між прямими. Умови паралельності та пер­пен­дикулярності прямих. Відстань від точки до прямої. Типові задачі на пряму лінію

2. Криві другого порядку

Пряма як лінія першого порядку. Загальне рівняння лінії дру­гого по­рядку. Рівняння кола із заданим центром і радіусом

Канонічні рівняння кола, еліпса, гіперболи та параболи. Дослідження їх форми. Типові задачі на криві другого порядку

Рівняння деяких ліній у параметричній формі

Тема 1.2. Вступ до аналізу

1. Теорія границь

Змінні та сталі величини. Нескінченно малі і нескінченно великі змінні величини та їх властивості

Границя змінної величини. Властивості границь

Перша та друга стандартні границі. Економічна інтерпретація числа Ейлера . Порівняння нескінченно малих. Еквівалентні нескін­чен­но малі. Невиз­наченості та їх розкриття

2. Функція. Неперервність

Поняття функції. Способи задання функції. Складена функція. Обернена функція. Основні елементарні функції та їх графіки

Неперервність. Властивості неперервних функ­цій. Застосування функцій в економіці

Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Лінійна та векторна алгебра. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Економічна динаміка та її моделювання

Тема 2.1. Диференціальне числення функцій однієї змінної

1. Поняття похідної як швидкості зміни функції. Геометричний зміст похідної. Дотична і нормаль до графіка функції. Властивості похідної. Основні правила диференціювання. Таблиця по­хід­них

2. Похідна складеної функції. Похідні неявної та оберненої функ­цій. По­хідна параметрично заданої функції. Правило логарифмічного ди­ференціювання. Економічний зміст похідної: темп зрос­тан­ня функції, еластичність

3. Диференціал функції. Властивості диференціала. Зв'язок між диференціалом і похід­ною

4. Похідні та диференціали вищих порядків. Інваріантність форми першого диференціала. Економічний зміст диференціала: мультипліка­тор

5. Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопіталя розкриття невизначеностей

6. Формули Тейлора і Маклорена. Розвинення за формулою Маклорена основних елементарних функцій

7. Умови зростання та спа­дання функції

8. Необхідні умо­ви екстремуму функції. Критичні точки першої похідної. Стаціонарні точки функції

9. Достатні умо­ви екстремуму функції. Найменше та найбільше значення функції на відрізку

10. Умови опук­лості та угнутості графіка функції та наявності перегину. Критичні точки другої похідної

11. Асимптоти графіка функції

12. Загальна схема дослідження функції та побудови графіка

Тема 2.2. Лінійна та векторна алгебра

1. Поняття матриці. Дії над матрицями. Обернена матриця. Многочлени від матриці

2. Поняття визначника. Правило обчислення визначника. Властивості ви­знач­ників. Зведення визначника до ступінчастої форми

3. Обчислення оберненої матриці за допомогою визначників (алгебраїчних доповнень)

4. Означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, розгорнута і матрична форми її запису. Однорідна та неоднорідна системи. Розв'язок системи. Сумісна, несумісна, визначена та невизначена системи

5. Розв’язування квад­ратних систем за допомогою оберненої матриці, за формулами Крамера

6. Елементарні (еквівалентні) перетворення матриць. Поняття про ранг матриці. Теорема Кронекера–Капеллі

7. Розв’язування систем методом Гаусса послідовного вилу­чення змінних

8. Умова наявності ненульових розв’язків однорідної квадратної системи

9. Модель Леонтьєва міжгалузевого балансу

10. Скалярні та векторні величини. Поняття вектора. Умови рівності век­торів. Лінійні операції над векторами. Розкладання вектора за базисом коорди­натних ортів. Лінійні операції над векторами, заданими свої­ми координатами

11. Скалярний добуток век­торів. Довжина вектора, кут між векторами, напрямні косинуси. Умови колінеарності та ортогональності векторів. Векторний добу­ток. Змішаний добуток трьох векторів. Умова компланарності трьох векторів. Геометричні застосування добутків векторів

12. Означення ‑вимірного точкового (векторного) простору . Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів. Базис ‑вимірного простору. Координати вектора за даним базисом

13. Власні числа, власні вектори і характеристичний многочлен матриці. Лінійна модель торгівлі

Тема 2.3. Інтегральне числення функцій однієї змінної.

1. Первісна функція і невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів. Безпосереднє інтегрування

2. Ме­тоди інтегрування: заміни змінної та інтегрування части­нами

3. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування виразів, що містять лінійну ірраціональність. Інтегрування тригоно­мет­рич­них виразів. Тригоно­мет­ричні підстановки

4. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми. Основні влас­тивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона – Лейбниця

5. Інтегрування частинами і заміна змінної у визначеному інтегралі

6. Узагальнення поняття інтеграла. Невласні інтеграли першого та другого роду

7. Геометричні застосування визначеного інтеграла: площа плоскої фігури; довжина ду­ги плоскої кривої; об’єм тіла обер­тання. Застосування визначеного інтеграла в економічних задачах

Тема 2.4. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння

1. Поняття про диференціальне рівняння. Порядок рівняння. Загальний і частинний розв’язки та їх геометричний зміст. Початкові та гра­ничні умови. По­чаткова задача (задача Коші) і крайова задача. Задачі, які приводять до диференціальних рів­нянь

2. Різниці. Оператор зсуву. Різницеві рівняння. Задачі, які приводять до різницевих рівнянь

3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з нульовою правою час­тиною (однорідні рівняння). Структура загального розв’язку. Лінійне однорідне диференціальне рів­няння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Харак­терис­тичне рівняння. Побудова загального розв’язку диференціального рів­няння у випадку дійсних різних, дійс­них кратних і комплексно-спряжених ко­ренів характеристичного рів­няння. Розв’язування задачі Коші

5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з ненульовою правою частиною (неоднорідні рівняння). Структура загального розв’язку. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і з правою частиною спе­ціального вигляду. Відшукання частинного розв’язку, що відповідає виду пра­вої частини. Розв’язування задачі Коші

Змістовий модуль 3. Аналітична геометрія в просторі. Функції багатьох змінних. Ряди. Елементи фінансової математики та математичної економіки

Тема 3.1. Площина і пряма у просторі. Поверхні другого порядку

1. Основні типи рівняння площини у просторі. Окремі випадки загального рівняння площини.

2. Основні типи рівняння прямої лінії в просторі.

3. Кути між прямими і площинами. Умови паралельності і перпендикулярності. Відстань від точки до площини. Типові задачі на пряму і площину.

4. Поверхні другого порядку. Загальне рівняння поверхні другого порядку. Циліндричні поверхні. Круговий циліндр. Еліптичний циліндр. Гіперболічний циліндр. Параболічний циліндр. Конічні поверхні. Конус другого порядку. Поверхні обертання. Сфера. Еліпсоїд. Однопорожнинний гіперболоїд. Двопорожнинний гіперболоїд. Еліптичний параболоїд. Гіперболічний параболоїд

Тема 3.2. Функції багатьох змінних

1. Поняття функції багатьох змінних. Область визначення функції двох змін­них. Поверхня як графік функції двох змінних

2. Лінії рівня функ­ції двох змін­них. Поверхні рівня функції трьох змінних. Границя та неперервність функ­ції багатьох змінних

3. Частинні похідні. Повний диференціал функції багатьох змінних. Час­тин­ні похідні вищих порядків. Економічний зміст частинних похідних: частин­ні темпи зростання функції, частинні еластичності

4. Похідна за напрямком і градієнт. Зв'язок гра­дієн­та з поверхнями рівня. Дотична площина і нормальна пряма до поверхні

5. Поняття екстремуму функції багатьох змінних. Необхідні умови екст­ремуму функції багатьох змінних. Стаціонарні точки

6. Достатні умови екст­ре­муму функції двох змінних. Найменше та найбільше значення функції двох змінних у замкненій області. Еконо­мічні задачі на екстремум

Тема 3.3. Ряди. Елементи фінансової математики та математичної економіки

1. Числові ряди. Основні поняття

Числовий ряд, члени ряду, частинні суми. Збіжність і розбіжність ряду. Сума ряду. Залишок ряду. Необхідна ознака збіжності та достатня оз­нака роз­біж­ності. Властивості дій з рядами

2. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів

Інтегральна ознака Коші. Еталонні ряди: ряд геометричної прогресії та узагальнений гармонічний ряд. Основна ознака порівняння. Гранична ознака порівняння. Ознака Даламбера. Радикальна ознака Коші

3. Знакозмінні ряди. Зна­копочергові ряди. Ознака Лейбниця. Абсолютна й умовна збіжність

4. Диференціальні рівняння в економічних зада­чах: неокласична модель зростання, модель природного зростання випуску, зростання ви­пус­ку в умовах конкуренції, динаміка ринкових цін

5. Різницеві рівняння в економічних задачах: складні відсотки, еконо­мічна модель розвитку Самюельсона–Хікса, павутинні моделі ринку, динамічна модель Леонтьєва

4. Структура навчальної дисципліни

5. Теми семінарських занять

Не передбачено.

Теми практичних занять

№ з/п	Назва теми	Кількість годин
Денна форма	Заочна форма
Модуль 1. Вища математика
ЗМ 1. Аналітична геометрія на площині. Вступ до аналізу
	Декартова прямокутна система координат на площині. Відстань між дво­ма точками. Поділ відрізка у заданому відношенні. РІЗ №1 “Пряма на площині. Коло”
	Основні типи рівняння прямої на площині
	Кут між прямими. Умови паралельності та пер­пен­ди­кулярності прямих. Відстань від точки до прямої. Типові задачі на пряму лінію.
	Поняття про лінії другого порядку. Рівняння кола із заданим центром і радіусом. Канонічне рівняння кола
	Параметрично задані лінії.
	Границя змінної величини. Обчислення границь.
	Перша та друга стандартні границі. Роз­криття невиз­на­ученостей. Неперервність.
	Узагальнення вивченого матеріалу. КР №1 “Пряма на площині. Коло. Границя”
ЗМ 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Лінійна та векторна алгебра. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Економічна динаміка та її моделювання
	Техніка диференціювання різних класів функцій. РІЗ №2 “Похідна та її за­стосування”
	Ди­фе­рен­ціал. Похідні та диферен­ціали вищих порядків.
	Розкриття невиз­наче­но­стей типів , , за пра­вилом Лопі­таля
	Умови зростання та спа­дання функції. Необхідні та достатні умо­ви екстремуму функції.
	Найменше та най­більше значення функції на відрізку. Умови опук­лості та угнутості графіка функції та наяв­ності пе­ре­гину.
	Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження функції та побудови графіка
	Узагальнення вивченого матеріалу. КР №2 “Застосування похідної”

Продовження таблиці

Продовження таблиці

Теми лабораторних занять

Не передбачено.

8. Самостійна робота

Продовження таблиці

9. Індивідуальні завдання:

Контрольна робота №1 передбачена для заочної форми навчання.

Мета виконання: закріплення одержаних теоретичних і практичних знань щодо вирішення завдань з вищої математики, опанування навичками роботи з науково-методичною, науково-технічною, довідковою літературою.

Методи навчання

Теоретичні і практичні положення дисципліни вивчаються студентами в процесі роботи над лекційним курсом, при виконанні практичних завдань, самостійній роботі з навчальною літературою. Вивчення дисципліни базується на об’ємі знань з елементарної математики. Окремі теми дисципліни вивчаються з різним ступенем поглиблення та деталізації, що передбачено цією робочою програмою.

Остаточна оцінка знань студентів з дисципліни – інтегральна (100-бальна). При вивченні дисципліни передбачено використання традиційних і сучасних дидактичних методів: пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, частково-пошуковий, проблемне викладання.

Методи організації та здійснення навчально-пізнавальної діяльності (за джерелом передачі навчальної інформації): словесні – лекції; наочні – ілюстрації, демонстрації; практичні – задачі та вправи.

Методи передачі та сприймання навчальної інформації: індуктивні, дедуктивні та аналітичні.

Методи самостійної роботи з освоєння теоретичного матеріалу, формування умінь і навичок: продуктивні – проблемні, репродуктивні – поясню­вально-ілюстративні.

Методи, що сприяють успішному засвоєнню знань, виробленню вмінь: розв’язування типових задач та вправ, конспектування лекцій, складання математичних моделей, напрацювання відповідних алгоритмів.

Методи контролю

Методи контролю знань студентів денної форми навчання:

1. Поточний модульний контроль за темами (усне опитування, контрольні роботи, практичні завдання, індивідуальні розрахунково-графічні завдання) з зазначенням кількості балів, які можна отримати за кожну тему та за модуль в цілому, передбачають 100-бальну систему оцінювання.

2. Підсумковий контроль за модуль (семестр 1) – екзамен, що здійснюється у формі письмової роботи, яка охоплює всі теми семестрового курсу, і доповнюється співбесідою за відповідними темами програми.

До підсумкового контролю допускають студентів, які набрали в сумі за всіма змістовими модулями 36% балів і більше від загальної кількості з дисципліни (тобто більше половини балів з поточного контролю, якому відповідає 70 балів).

Методи контролю знань студентів заочної форми навчання:

1. Поточний модульний контроль за темами (усне опитування, практичні завдання) з зазначенням кількості балів, які можна отримати за кожну тему та за модуль в цілому, передбачають 100-бальну систему оцінювання.

2. Захист контрольної роботи (у формі співбесіди). Якість виконання та захисту контрольної роботи оцінюється викладачем у відповідних межах, передбачених структурою розподілу балів, які отримують студенти заочної форми навчання. Успішний захист є обов'язковим і вважається таким за умови отримання більше половини балів, відведених на оцінювання контрольної роботи.

3. Підсумковий контроль за кожний з модулів 1, 2 і 3 (відповідно семестри 1, 2 і 3) – екзамен. Він проводиться у вигляді письмової роботи, що доповнюється співбесідою за відповідними темами програми. До підсумкового контролю допускають студентів, які набрали в сумі за всіма змістовими модулями більше половини балів з поточного контролю і успішно захистили контрольну роботу.

12. Розподіл балів, які отримують студенти

Денна форма навчання

Для екзамену за модуль (семестр 1)

Заочна форма навчання

12
• 3
• 4
• Далее ⇒