Аксиомы стереометрии и их следствия

 

Теорема 1. (первое следствие из аксиом) Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.  
  Теорема 2.(второе следствие из аксиом) Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.    

 

  1. Решение задач.

Задача №1.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в плоскости?

 

Решение:

Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Пусть окружность с диаметром AB лежит в плоскости , которая пересекается с плоскостью по прямой AB. Тогда точки A и B окружности лежат в плоскости , но вся окружность не лежит в этой плоскости.

Задача №2.

 

Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обосновать.

Решение:

Утверждение верно. Действительно, пусть Согласно первому следствию из аксиом через прямую и точку D проходит единственная плоскость . Все четыре точки лежат в плоскости .

 

 

Задача №3.

Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырехугольника, если AC BD, AC = 10 см, BD = 12 см.

Решение:

Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые AC и BD определяют некоторую плоскость . Прямая АС лежит в плоскости , следовательно все ее точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости: Аналогично имеем: так как то

Воспользуемся формулой , где - диагонали четырехугольника, а - угол между ними: .

Ответ: .

 

· Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежит:
a. Две различные точки дуги.
b. Три различные точки дуги.

· Сколько различных плоскостей можно провести:
a. Через одну точку.
b. Через две различные точки.
c. Через три различные точки.
d. Через четыре точки, никакие три из которые не принадлежат одной прямой?

· Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?

· Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?

· Столяр с помощью двух нитей проверяет будит ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как он это делает.

Контрольные вопросы и задания:

 

Задача №1.

 

Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

 

Задача №2.

 

Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

 

Задача №3.

 

Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B, O лежат в плоскости .

Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, .