Задачи №31-40 предусматривают расчёт цепей с несинусоидальными токами и напряжениями.

 

 

Основой расчёта таких цепей является принцип наложения: токи и напряжения рассчитываются для каждой из гармоник в отдельности, а также для постоянной составляющей, если она имеется в цепи.

При расчёте каждой из гармоник применяются обычные методы расчёта цепей синусоидального однофазного тока.

Пример 4

К цепи, состоящей из последовательно включенных резистора R=8 Ом, индуктивности L=19,1 мГн и конденсатора С=265 мкФ, приложено напряжение, описываемое уровнем (169 sinωt +45,4 sin 3ωt)В. £=50 Гц – частота первой гармоники.

Определить действующие значение несинусоидального тока и напряжения в цепи, полную S и активную Р мощности.

 

Решение

Кривая заданного напряжения U= f(1) раскладывается на гармоники U1=169 sinωt (В) и третьей U3=45,4sin 3ωt(В). Частота первой гармоники совпадает с частотой приложенного напряжения. Произведём расчёт для каждой составляющей несинусоидального напряжения отдельно.

Сначала рассчитаем реактивные сопротивления для первой гармоники (£=50 Гц)

XL1=2π£1L=2*3,14*50* 0,0191=6 Ом

 

1 1

XC1 2π£1C 2*3,14*50*256*10-6 12 Ом

 

Первая гармоника: U1=169 sinωt (В)

R=8 Ом, XL1=6 Ом, XC1=12 Ом.

 

Полное сопротивление

 

Z1= 2+(XL1- XC1)2 = 2+(6-12)2=10 Ом.

 

Действующее значение напряжения

U1m 169

U1 , U1m=169, U1 ≈ 120 B

 

Действующее значение тока

 

U1 120

I1 Z1 10 12 A

 

 

Третья гармоника: U3=45,4sin 3ωt, f3=3f1

 

Активное сопротивление R остаётся неизменённым и равным 8 Ом.

Индуктивное сопротивление зависит от частоты ( XL=2π£L ). Таким образом, при увеличении частоты в 3 раза индуктивное сопротивление так же увеличиться в 3 раза, т. е.

XL3 = 3* XL1 = 3*6=18 Ом

Емкостное сопротивление тока зависит от частоты (Хс= 2π£с) и при увеличении частоты в 3 раза оно уменьшится в 3 раза т. е.

Хс3 12

Хс3 3 3 4 Ом

 

Полное сопротивление

 

Z3= 3+(XL3-Xc3)2= 2+(18-4)2=16,1 Ом

 

Действующее значение напряжение

U3m 45,4

U3 32,2 B

 

 

Действующее значение тока

U3 32,2

I3 Z3 16,1 2 A

 

Действующее значение всего несинусоидального тока

I= 12+I23= 2+22=12,2 A

 

Действующее значение несинусоидального напряжения

U= 12+U32= 2+32,22=124 B.

 

Полная мощность

S=U*I=124*12,2=1512,8 Ba.

 

Активная мощность

P=I2R=12,22*8=1190 Вт.

 

 

В задачах 41-50 должны быть расчёты переходных процессов возникавших при заряде конденсатора от источника постоянного напряжения.

Пример 5

Конденсатор ёмкостью С=0,4 мкФ, соединённый последовательно с резистором R=2,5 МОм, подключается к постоянному напряжению U= 50 В.

Определить постоянную времени t и значения зарядного напряжения на конденсаторе для времени, равного t0=0, t1=t, t2=2t, t3=3t, t4=4t, t5=5t.

Построить график зависимости U=f(t)

Решение

1)Постоянная времени цепи

t=R*C=2,5*106*0,4*10-6=1c,

(здесь R в Омах, С в фарадах).

 

2)Напряжение на конденсаторе в любой момент времени при зарядке

1
U1=U(1-e r)

где е – основание натурального логарифма е=2,718

для времени t0=0

0

U=U(1-e r )=50(1-e0)=50(1-1)=0 B

 

для времени t1 = t

r

U1=U (1- er )=50(1-e-1)=50(1-0.367)=31.65 B

 

для времени t2=2t

2r

U2=U (1- er )=50(1-e-2)=50(1-0.135)=42.25 B

 

для времени t3=3t

3r

U3=U (1- er )=50(1-e-3)=50(1-0.0498)=47.51 B

 

для времени t4=4t

4r

U4=U (1- er )=50(1-e-4)=50(1-0.0183)=49.09 B

 

для времени t5=5t

5r

U5=U (1- er )=50(1-e-5)=50(1-0.0067)=49.07 B

 

Строим кривую зависимости напряжения от времени заряда конденсатора.

 

 

U(в)

 

50



40

 
 


U=f(t)

 

30

 

 

20

 

10

 

1 2 3 4 6 t(c)