РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
Например, есть такое умножение: 3·3·3·3= 243
Тройка пять раз умножена сама на себя, или, если выразиться математически правильно, взята сомножителем 5 раз. В этом случае говорят: «Число 3 возведено в 5-ую степень». Записывают так: 35 = 243
Тройка называется основанием степени, а пятерка (она поменьше размером и пишется сверху) называется показателем степени. Значит: возвести число в степень – это взять основание степени сомножителем столько раз, каков показатель степени. Например,
21 = 2 31 = 3
22 = 2·2 =4 32 = 3·3 =9
23 = 2·2·2 = 8 33 = = 27
25 = 2·2·2 ·2·2 = 32 35 = 3·3·3 ·3·3 = 243
Не поленитесь, напишите еще столбики для других оснований степени (особенно полезно, если напишите и постараетесь запомнить вторые степени для чисел второго десятка – 11, 12, 13, 14, 15)
Для чего же может пригодиться действие возведения в степень? Например, требуется найти площадь квадрата, сторона которого равна 4 м.
Его площадь S = 4·4 = 16 см 2.
Это весьма распространенная задача, поэтому говорят не «четыре во второй степени», а «четыре в квадрате»; не «возвести во вторую степень», а «возвести в квадрат».
А как найти объем бака, имеющего форму куба? V = 5·5·5 = 125 м3.
Третью степень так и называют – «кубом», и говорят «пять в кубе». Остальные степени собственных названий не имеют, называются просто числом. Любое число в 1-ой степени – есть само это число. Поэтому число 1 в показателе степени не пишется, а только подразумевается.
Две противоположности
Действие сложение имеет противоположное действие вычитание. Действие умножения имеет противоположное действие деление. А есть ли противоположности у действия возведения в степень? Есть! И не просто есть, а есть целых две противоположности. Как это? Давайте разберемся.
Напишем еще раз 35 = 243. А теперь возьмем кусочек бумаги и будем поочередно закрывать каждое из трех чисел.
1. 
Вопрос: сколько будет 3 в пятой степени? Ответ на этот вопрос дает действие возведения в степень 3 в 5-ой степени = 243
2. 
Вопрос: какое число, возведенное в пятую степень, будет равно 243? Ответ на этот вопрос дает действие извлечения корня 
3. 
Вопрос: в какую степень надо возвести число 3, чтобы получилось 243? Ответ на этот вопрос дает действие нахождения логарифма log 3 243 = 5.
Таким образом, мы выяснили, что эти три действия очень тесно связаны между собой. КОРНИ и ЛОГАРИФМЫ – это два действия, противоположные СТЕПЕНИ.
КОРНИ
Итак, обратимся к корню. Корень изображается так: 
Сам значок 
называют «знаком корня» или «радикалом». Число 5, стоящее на полочке радикала, называют «показателем корня», число 243 – «подкоренным». Извлечь корень n-ой степени из какого-то числа a – это значит найти такое число, которое будучи возведенным в n-ую степень, станет равно a. х = 
хп = а.
Мы написали список степеней с основаниями 2 и 3; можно сделать аналогичный список для корней.
= 2, т.к. 22 = 4 
= 3, т.к. 32 = 9
= 3, т.к. 33 = 27 
= 2, т.к. 23 = 8
= 3, т.к. 34 = 81 
= 2, т.к. 24 = 16
= 3, т.к. 35 = 243 
= 2, т.к. 25 = 32
ЛОГАРИФМЫ
Пишется так:log 3 243 = 5.
Говорится так: «логарифм по основанию 3 от числа 243». Тройка (маленькая и пишется чуть ниже) называется «основанием логарифма», а число 243 так и называют «числом». Найти логарифм – это значит найти показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма, чтобы получить стоящее под логарифмом число.
Примеры: Логарифмы по основанию 2
log 24 = 2 поскольку 22 = 4
log 28 = 3 поскольку 23 = 8
log 216= 4 поскольку 24 = 16
log 232= 5 поскольку 25 = 32
Логарифмы по основанию 3
log 39 = 2 поскольку 32 = 9
log 327 = 3 поскольку 33 = 27
log 381= 4 поскольку 34 = 81
log 3243= 5 поскольку 35 = 243
СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
То, что было выше, это теория, так сказать, фундаментальная. А теперь поговорим о теории прикладной, необходимой для решения заданий.
Рассмотрим 7 свойств степеней. Их надо запомнить и научиться применять
1) а0 = 1. Любое число в нулевой степени равно 1. Это свойство нелегко укладывается в голове. Непонятно вообще – как это возвести число в нулевую степень, то есть умножить само на себя 0 раз. Но не будем заморачиваться, а примем на веру это свойство. Например, 20 = 1, 153850 = 1.
2) ах·ау = ах+у . Если умножаются степени с одинаковыми основаниями, то показатели степени складываются. Например, 23·25 = 23+5 = 28.
3) ах:ау = ах-у . Если делятся степени с одинаковыми основаниями, то показатели степени вычитаются.
Например, 38·35 = 38-5 = 33.
4) (ах)у = а х·у. При возведении степени ещё раз в степень показатели степеней перемножаются.
5)Возведение в степень произведения и дроби: (а·b)х = ах·bх; (а :b)х = ах:bх.
6)Отрицательная степень а –х = 
. Надо запомнить: отрицательная степень легко превращается в дробь, у которой в числителе 1, а в знаменателе та же самая степень, но только уже положительная.
7) 
. Дробная степень – это корень, у которого подкоренное выражение ах, а показатель корня у. например, 
= 2, 
= = 3, 
= 
= 4. Это позволяет одно и то же число представлять в виде степени с дробным показателем, либо в виде корня. А так же легко переводить из одного вида в другой, в который нам удобнее по условию задачи. А ещё такой плюс: не надо учить и свойства степени и свойства корней. Достаточно выучить только семь перечисленных свойств степеней, а если попадутся корни – их можно всегда свести к степеням.
Решение типовых примеров
№1. Вычислите значение выражения 45 – 2 
· 
Решение: Сначала представим корень в виде степени (по свойству №7) 
= 
. Затем произведение двух сомножителей, представляющих собой степени с одинаковыми основаниям, преобразуем по свойству №2: 
= 
= 
= 111 =11.
Ну, и запишем по порядку всё, что получилось: 45 – 2 ·11 = 45 – 22 = 23. Ответ: 23.
№2. Вычислите значение выражения: 14 – 
· 
Решение: Задание почти то же самое. Только сначала число 196 представим как 142.
А дальше = 
= 
= 
(показатели степени, как и любые, дроби можно сокращать).
Затем · = 
= 
= 141 = 14. И наконец, 14 – 14=0. Ответ: 0.
№3. Вычислить значение выражения: 20 – 
Решение: Здесь смущает, что основания степеней не одинаковые, даже совсем не похожие. А так ли уж они не похожи?
169 = 132; 
= 
= 
= 
= 
; 0,52 = 
= 
.
А теперь применим свойство степеней №5 – произведение степеней с одинаковыми показателями
20 – 
= 
= 20 – 
= 20 – 13 = 7. Ответ: 7.
Разберём теперь основные свойства логарифмов. Попробуем их количество уменьшить по возможности, выделим только 4 свойства.
1)Основное логарифмическое тождество: 
. Мы говорили, что логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить х. Пример: 
, потому что log2 8 = 3, 23 = 8.
2)Логарифм произведения и дроби logа(х1· х2) = logа х1·+ logа х2; logа(х1: х2) = logа х1·– logа х2. Это свойство важное и часто применяется.
3)Логарифм степени logа х р = р· logа х. С помощью этого свойства легко избавиться от степени под знаком логарифма.
Отметим ещё без нумерации два очевидных свойства логарифма. Мы их не нумеруем, потому что и так легко запомним.
Во – первых а1 = а, то logа а = а. Словами: если основание и число под логарифмом одинаковые, то этот логарифм равен 1.
Во – вторых, так как любое число в нулевой степени равно 1, то logа 1= 0. Логарифм по любому основанию от единицы равен 0.
Решение типовых примеров:
№4. Найдите значение выражения log2200 + log2 
.
Решение: Используя свойство логарифмов №2 получим
log2(200 · ) = log28 = 3, так как 23 = 8. Ответ: 8.
№5. Найдите значение выражения log5135 – log55,4.
Решение: Пример похож на предыдущий, используя свойство логарифмов №2 получим
log5135 – log55,4 = log5(135:5,4) = log525 = 2, так как 52 = 25. Ответ: 2.
№6. Найдите значение выражения: 
Решение: Сначала распишем во второму свойству степеней
· 
= 81 · 2 = 162.
(Вычисляем 92 = 81, а второй сомножитель по основному логарифмическому тождеству равен 2). Ответ: 162.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа состоит из 2 вариантов. Номер варианта соответствует последней цифре шифра студента (если номер нечетный выполняется 1 вариант, если номер четный выполняется 2 вариант). Работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется.