Проблема внезапного решения («озарения» инсайта) в свете анализа компонентов математических способностей

 

Хорошо известно, что решение самых разнообразных проблемных задач (в том числе и математических) далеко не всегда наступает в результате ясных и четких последовательных ходов мысли. В целом ряде случаев после неудачных бесплодных попыток решения наступает внезапное «озарение», догадка - казалось бы, случайное ничем не обусловленное возникновение в сознании идеи решения, причем сам человек не в состоянии удовлетворительно объяснить этот факт внезапности решения, так как не осознает все обстоятельства возникновения новой и плодотворной идеи. В этом феномене внезапности решения (англ. insight — «инсайт») идеалистическая психология видит проявление особой способности ума непосредственно, независимо от прошлого опыта «схватывать» существенные (количественные, пространственные) отношения в окружающем мире.

Это непосредственное постижение истины, непосредственное «усмотрение ума» противопоставляется многими зарубежными психологами, а также некоторыми математиками (А. Пуанкаре, Д. Мордухай-Болтовский) дискурсивному познанию, основанному на развернутом процессе рассуждения, последовательном переходе от одних логических операций к другим (Р. Вудвортс), (А. Ньюэлл, Д. Шоу, Г. Саймон). Советские исследователи (С. Л. Рубинштейн, А. Н. Леонтьев, Г. С. Костюк, В. Н. Пушкин, Я. А. Пономарев, В. Шевчук и другие) в своих работах показывают, что феномен, переживаемый субъектом как внезапное озарение, несмотря на кажущееся отсутствие его связи с прежним опытом человека, есть результат предшествующей длительной работы мысли, результат ранее приобретенного опыта, навыков, знаний, переработки и использования информации, накопленной человеком раньше.

В нашей практике экспериментального исследования и наблюдения за учебной работой школьников V—VIII классов мы часто встречались со- случаями «озарения», догадки (казалось бы, необъяснимого внезапного нахождения оригинальной и верной идеи решения). С. И. Шапиро, изучавший способных к математике учеников IX—X классов, значительно чаще встречался с такого рода явлениями.

Ни в коей мере не претендуя на анализ природы инсайта, мы попытались выявить, что лежит в основе соответствующих проявлений у способных школьников.

Основное предположение заключалось в том, что в основе указанных проявлений не лежит ничего сверх выявленных нами компонентов математической одаренности, что любой подобный факт можно объяснить с позиций нашего представления о структуре математических способностей. И действительно, в значительном большинстве случаев нам удавалось, в конце концов, находить то звено, отсутствие которого и вызывало впечатление внезапного и не обусловленного ничем «озарения».

1. В основе явлений внезапной догадки, «озарения» часто лежало обобщение - неосознанное применение общих способов действий (или отдельного приема), общих принципов подхода к решению, основанное на общности (порой самой отдаленной) различных математических объектов, схем, задач. При этом, подчеркиваем еще раз, испытуемый не осознавал этого ни в момент «озарения», ни по том. Данная проблемная ситуация не встречалась в опыте испытуемого, но встречались сходные, похожие (пусть отдаленно-сходные) моменты. Как отмечал П. А. Шеварев, при решении сложных задач испытуемый обычно ищет, под какой из уже известных ему типов можно было бы подвести данную задачу, но не осознает, что осуществляет этот прием, не сознает этого общего принципа, в соответствии с которым он фактически действует. Именно поэтому, подчеркивает П. А. Шеварев, испытуемым и кажется, что решение пришло внезапно, как некоторое озарение, как бы без достаточных к тому причин.

Наши испытуемые так же неосознанно стремились не только подвести задачу под какой-то уже знакомый им тип, но и, анализируя условия данной задачи, осуществляя поисковые пробы, пытались «ухватиться» за такие элементы задачи, которые позволили бы им применить какой-либо имеющийся в опыте общий или частный метод, способ, прием решения. Испытуемый обычно не осознавал (или смутно осознавал; очень способный ученик Д. однажды сказал, что при решении новых задач часто у него возникает такое чувство, словно он здесь «уже побывал») объективные источники его «озарения».

2. Многие случаи внезапного и неожиданного на первый взгляд «озарения», догадки (инсайта) объясняются тенденцией мыслить свернутыми структурами, наличием максимально свернутых ассоциаций, которые свойственны очень способным к математике школьникам. Когда рассуждение развернуто, то легко проследить пути перехода от одной мысли к другой - понятно и видно, в силу каких последовательных «ходов» мысль пришла к правильному решению. Когда же рассуждение свернуто, «выключена» вся цепь промежуточных звеньев рассуждения, то зачастую эти пути проследить трудно и, кажется, будто переход от одной мысли к другой ничем логически не мотивирован, не обусловлен, произошел неожиданно и необъяснимо.

Эта мысль не отличается новизной. В литературе есть много указаний «а то, что если в совершенно ясном для всех процессе рассуждения сократить все средние звенья и оставить только первое и последнее звено, то это зачастую произведет ошеломляющее впечатление. «...Умозаключения, нередко рассматриваемые как случаи «интуиции», распадаются на целую цепь умозаключений, причем во многих случаях человек, выполнявший умозаключение, не только фактически «е осознает всех его звеньев, но и не может их осознать» (П. А. Шеварев). П. А. Шеварев здесь говорит о том, что человек не может осознать всех звеньев логически полного развернутого рассуждения. Мы же говорим о том, что способный школьник в целом ряде случаев может не осознавать (ни во время решения, ни потом) всех промежуточных звеньев реального процесса рассуждения. «Самоочевидность», непосредственное усмотрение результата часто и является следствием такого смутно осознаваемого (или не осознаваемого вовсе) процесса рассуждения, причем порой школьник не в состоянии осознать всю систему промежуточных умозаключений, которая привела его к результату, даже если пожелает этого. «Человек достигает ответа... мало осознавая при этом... тот процесс, посредством которого он получил искомый ответ», — пишет Д. Брунер, пытаясь объяснить явления инсайта.

А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев, анализируя научные, в частности математические способности, пишут, что у ученых «догадка и открытие вспыхивают в сознании как готовое положение, а ход их формирования часто остается неясным». Сокращение мыслительного процесса за счет опускания ряда звеньев, указывают А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев, связано с выпадением этих звеньев из сферы сознания, поэтому «можно встретить случаи решения задач, при которых сам ход решения в его развернутой последовательности воспроизводится с трудом или не полно».

Выделенные нами два обстоятельства, лежащие в основе «озарения» (способность к обобщению и способность мыслить свернутыми структурами), тесно связаны одно с другим и в дальнейшем будут рассматриваться во взаимосвязи и взаимозависимости.

Перейдем к иллюстрациям. Способная ученица VII класса Г. Р. решала задачу, предлагавшуюся на вступительных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ: «В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты 1, 2, 3-я трубы, бассейн заполняется за 12 мин.; когда открыты 2, 3 и 4-я трубы—за 15 мин.; когда открыты только 1-я и 4-я трубы— за 20 мин. За какое время наполнится бассейн, если открыть все 4 трубы?» Г. Р. сначала попыталась решить эту задачу системой уравнений и запуталась в громоздкой системе их; попыталась иначе составить систему — ничего не получилось. И вдруг ее «осенило»: она быстро стала говорить и писать: «О, да это можно просто решить: за минуту заполняют

 

1/12 + 1/15 + 1/20=1/5

 

бассейна удвоенное количество труб — две первых, две вторых и т. д. А один набор труб – 1/10 в минуту или весь бассейн за 10 мин.». После решения экспериментатор спросил Г. Р.: как ей пришла на ум идея решения, решала ли она когда-нибудь подобную задачу? Г. Р. отвечала отрицательно: задач подобных не решала, как ей пришла в голову идея - не знает. Вместе с ученицей мы долго искали, откуда она могла бы позаимствовать идею решения. Даже просмотрели все ее тетради за V, VI, VII классы. И в одной из тетрадей нашли, что два года назад она решила несколько задач на определение двух чисел по их сумме и разности таким образом:

+	А+2=40
А - 2=10
	2А=50

 

а вскоре после этого таким же способом решила задачу на определение скорости течения, если известна скорость катера, движущегося по течению и против течения.

Больше ничего не удалось найти. Очень вероятно (но, конечно, не бесспорно), что ученица сохранила в памяти самую общую идею решения и неосознанно перенесла ее в новую ситуацию, не отдавая себе в этом отчета ни во время решения, ни после. Укрепляет нас в этом предположении также и факт похожего начертания схемы второй задачи: Г. Р. обозначила отношение задачи так:

1+2+3...=

... 2+3+4=

. 1 ........+4 =

Увидеть возможность применения к этой задаче старой идеи теперь уже легче.

Весь этот процесс не осознавался школьницей и внешне выглядел как типичный инсайт. Интересными же здесь являются два обстоятельства (разумеется, если мы правы в своем предположении): 1) перепое совершился через весьма длительный промежуток времени и 2) был осуществлен перенос лишь самого общего принципа подхода к решению задачи.

Десятилетняя одаренная ученица Соня Л. решает задачу: «Доказать, что все числа типа 276276, 591591, 112Ы2 делятся на 13» (задача К. Дункера). Она в течение 10 мин. осуществляет бесплодные попытки решения, делит все данные числа на 13, строит еще несколько шестизначных чисел и делит их на 13 и, наконец, совершенно неожиданно заявляет: «Ага! Решила. Любое можно написать так: xyzООО+xyz; вынесем за скобки общий множитель = xyz (1000+1). Из двух множителей один должен делиться на 13. 1001 : 13 = 77». Как можно видеть, критическим моментом задачи является нахождение общего закона строения подобных чисел (абсабс = абс-1001). Что в прошлом опыте Сони могло натолкнуть ее на возможность подобного общего изображения данных чисел? Сама Соня этого не знала и переживала найденное решение как внезапную и необъяснимую догадку. После долгих раздумий она сказала, что как будто месяца три назад ей приходилось алгебраически выражать все числа опре­деленного вида, и сразу добавила: «Ну да, еще выражала общий вид чисел, которые делятся на одно число и в остатке дают другое число». Посмотрев тетради Сони (она аккуратно вела тетради экспериментальных занятий), мы вместе с ней обнаружили, что действительно 4 месяца назад она решала задачу/

В наши задачи, как уже говорилось, не входило раскрытие природы инсайта. Мы хотели лишь показать, что многие случаи внезапного, и, казалось бы, необъяснимого «озарения» при решении задач способными школьниками могут быть объяснены неосознанным влиянием прошлого опыта и в основе их лежат способность к обобщению в сфере математических объектов, отношений и действий и способность мыслить свернутыми структурами.