Гфункцияны жабайы асиеттері.

ИНСТИТУТЫ

Жаратылыстану факультеті.

Физика-математика кафедрасы

КУРСТЫ ЖМЫС

Таырыбы: Эйлер интегралдары.

Пні:Математикалы талдау

Мамандыы: 5В010900- Математика

Орындаан: Иса И.

абылдаан:доцент Абдрахманов .

Комиссия мшелері:_____________________________

_____________________________

Шымкент 2016

Ф 7.02-19 курсты жмыс

Отстік азастан мемлекеттік педагогикалы институты

Жаратылыстану факультеті.

БЕКІТЕМІН

Кафедра мегерушісі

Кадирбаева Р.И

«____»__________20__ж.

Студентті курсты жмысына берілетін

ТАПСЫРМА

1.Эйлер интегралдары.

2.Жмысты аяталу уаыты: «29»араша 2016 ж.

3.Жмысты мазмны (Эйлерді бірінші жне екінші текті интегралы,оларды асиеттері,есептер шыару, орытынды)

Кіріспе

I.Эйлерді бірінші текті интегралы.

II.Эйлерді екінші текті интегралы , оларды асиеттері.

орытынды.

Пайдаланан дебиеттер тізімі. 1. Фихтенгольц Г.М., Математикалы анализ негіздері, II-том , Алматы, Мектеп 1972 ,440б. 2.Ибрашев Х.И., Еркелов Ш.Т Математикалы анализ курсы, II-том,Алматы,Мектеп 1970,527 б.

4. Кестелік жне графикалы материалдарды тізімі: 1

5.дебиеттер тізімі:5

6.Тапсырманы берілген уаыты: 10.10. 2016ж.

7.Курсты жмысты жетекшісі: Абдрахманов .

8.Тапсырманы алан студент: Иса Индира Баытызы.

Ф 7.02-19 курсты жмыс

Мазмны

Кіріспе….................................................................................................................4

І-тарау. Эйлерді бірінші текті интегралы..........................................................6

1.1.Алмастыруды, блшектеп интегралдауды , баса аналитикалы рнекпен крсетуді олдану...................................................................................................6

ІІ –тарау. Эйлерді екінші текті интегралы , оларды асиеттері..................................................................... ..........................................9

2.1 Гамма функцияны асиеттері.....................................................................10

2.2.Екі шекті алмастыру жнінде тарихи ескертулер.......................................17

III-тарау. Есептер...............................................................................................21

орытынды..........................................................................................................24

Пайдаланылан дебиеттер...............................................................................25

Кіріспе.

Эйлер Леонард (Euler Leonhard) 1707 - 1783 математик, философ, физик.

Эйлер интегралдары – (бірінші текті Эйлер интегралдары не бета-функция) жне (екінші текті Эйлер интегралдары не гамма-функция) тріндегі интегралдар. Бл интегралдар француз математигі А.Лежандрды сынысы бойынша Эйлер интегралдары деп аталан.

IX – XV-асырларда Орта жне Таяу Шыыс алымдары Архимед ебектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканы табыстарын кейінгі рпатара жеткізді. Біра оларды одан рі дамыта алмады. Тек XVI – XVII-асырларда ана табиаттану ылымдарыны жетістіктері интегралды есептеуді одан рі дамуын ажет етті. Интегралды есептеуді негізгі ымдары мен идеялы жйесін бір-біріне туелсіз трде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. «Интегралды есептеу» термині мен интеграл табасы Лейбництен бастап олданылып келеді. Интегралды есептеуді рі арай дамуы швейцариялы математик Иоганн Бернуллиді, сіресе, Леонард Эйлерді есімдерімен тыыз байланысты.XIX-асырды басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралды есептеу мен дифференциалды есептеуді айта рды. Интегралды есептеуді дамытуа XIX-асырда орыс алымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский жне Пафнутий Чебышев лкен лес осты. XIX-асырды аяында жне XX-асырды басында жиын теориясыны дамуы интегралды есептеуді негізгі ымдарыны тередеуіне жне кееюіне себеп болды.

XVI тарау («Функциялы тізбектер жне атарлар») е алдымен осы арастырылып отыран типті тап осы мселелерге арналан болатын. Ондаы зерттелген мселелері: шектеусіз атарды осындылау операциясын дадылы шекке кшумен алмастыруа болатындыыны,дифференициалдауды, жне интегралдауды шарттары зерттелген.Аырында осы тарауды негізгі мазмны жнінде де осыны айтуа болады; жалыз-а бл жолы алмастыратын екі операцияны біреуі ыли интегралдау операциясы болып отырады. Оны біз белгілі шарттар орындаланда баса шектік операциялармен алмастырып отырды.Осы арастырылып отыран операцияларды «шектік» операциялар екендігін жете тсінуден кп брын мндай екі операцияны алмастыру математикалы практикаа кеінен енген. Тіпті анализді негізін салушыларды здері іс жзінде олданан. Ньютонны, Лейбницті жне оларды замандастары олданан мшелеп дифференциалдау шін «Лейбниц ережесін» еске тсірейік. Осындай алмастыруды XVIII асыр бойы олданып келгенін креміз. Онда кбінесе оны орындылыы длелденбеген, ал кейде длелденген болса, оны длдігі сол тстаы тсінікке сйкес ана болан. Мысал шін екі дифференциалдауды алмастыруды длелдегендегі (1739ж) Эйлер мен Клероны пайымдауларын еске тсіреміз. Математикалы анализ тарихында екі шектік операцияны алмастрыу тсілі кптеген жалпы абылдауларды жне жеке математикалы фактілерді тауып алу шін те кшті рал деп табылан. Біра теріс олданандытан, оны зі ате мен парадокстарды кзі болан. Екі шектік операцияны алмастыру ыли дрыс бола бермейтіндігі туралы пікірді зі ателерді зерттеу негізінде барып айындалан. Тек XIX асырды орта кезінде ана жалпыны игілігіне айналан. Мндай алмстыру кездесетін анализді деткі жадайлары шін оны дрыстыыны дл длелдемесі асырды ая кезінде аяталан. Брінен брын екі шектік кшуді алмастыру мселесі айын шешілген. XVIII жне XIX асырды ліарасында (15) тедікті кейде дрыс болмай шыатындыы жай мысалдармен крсетілген, яни айталанан шек кейде кшу ретінде туелді болатындыы крсетілген. 1815 жылы Кошиді бір мааласында (1827 ж. жарияланан) осы мселе дрыс жне жйелі баяндалан.

Егер интеграл астындаы функция зілісті болса (мысалы, шексіздікке айналатын болса), онда айталанан интегралда интегралдау ретін сзсіз згертуге болмайтындыы, Коши сияты, Гаусса да белгілі болан. Біра бдан екі шектік операцияны жалпы алмастыру мселесіні айындалмаанын байаймыз.здіксіз функциялардан рылан атарды осындысыны здіксіздігін жне осындай атарды мшелеп интегралдауа болатындыын длелдемек болып Коши жасаан рекетті стсіз аяталанын жоарыда ескерткен болатынбыз. Бл пікірді алдыысыны теріс екенін Абель бірден крсеткен, ал екіншісіне кейінірек Чебышёв арсы болды. Брын айтыландара енді мынаны осамыз: 1823 ж. Коши интегралды параметр бойынша дифференциялдауа атысты «Лейбниц ережесін сзсіз олдануа болатындыыны сондай теріс длелдемесін берген. Бл тста ол ережені олданылуа болмайтындыын аны крсететін мысалдарды ешайсысын да ескермеген. Интеграл астындаы функция шексіздікке айналатын жадайда интеграл астында дифференциялдау ммкін болмай алатындыын Остроградский 1828 ж аны тсінген. Кейінгі кезде бл жадайды баса авторлар да крсеткен.

ЭЙЛЕР ИНТЕГРАЛДАРЫ

1.Эйлерді бірінші текті интегралы.Интеграл(лат. іnteger – бтін) –математиканы маызды ымдарыны бірі. Интеграл ымы бір жаынан – туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, озалан нктені жріп ткен жолын рнектейтін функцияны сол нктені жылдамдыы бойынша табу), екінші жаынан – аудан, клем жне доа зындыын лшеу, кшті белгілі бір уаыт ішінде атаран жмысын табу, т.б. ажеттіліктерден пайда болды. Осыан атысты интеграл аныталмаан интеграл жне аныталан интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралды есептеуді міндеті болып саналады. «Интеграл» сзін алаш рет (1690) швейцариялы алым Якоб Бернулли олданан.Интеграл анытамасын басаша зіні шексіз аз бліктеріні осындысы трінде арастырылатын бтін шама деп те атай аламыз.

Эйлерді бірінші текті интегралы (Лежандрды сынысы бойынша) мына трдегі

(1)

интеграл осылай аталады, мнда a,b 0. Бл интеграл а жне bайнымалы параметрлерді В («Бета») функциясы болады.

Бл арастырылып отыран интеграл aжне b-ні о мндерінде (кемінде бірден кіші мндеріне) жинаты ) болатынын брыннан білеміз . Сондытан, расында оны В функцияны анытауа негіз етіп алуа болады. Осы функцияны асиеттерін анытайы.

1.1. Алдымен, тікелей дерлік (х=1-t алмастыруды олданып)

тедікті тауып аламыз. Сол себепті В функция aжне b –ге атысты симмЕнді Г функцияны пайдаланылуы жнінен бірнеше жай мысалдар келтіреміз.

Блшектеп интегралдауды олданып, (1) формуладан b 1 боланда мынаны табамыз

Осыдан мына формула табылады:

(2)

b саны 1-ден арты болып алып отыранда оны кеміту шін осы формуланы олдануа болады. Сонымен ашанда екінші аргумент 1 болатындай етуге болады.

Алайда, осы айтыланды бірінші аргумент жнінде де істеуге болады. В симметриялы функция боландытан, баса келтіру формуласы да болады:

(2)

Егер bнатурал санына те болса, онда (2) формуланы біртіндеп олданып, мынаны табамыз:

Біра

Сондытан В жне бірден В шін де мынадай аты рнек табылады

(3)

Егер aда натурал m санына те болса, онда

болады. Егер 0! символды 1 деп тсінетін болса, бл формуланы боланда да олдануа болады.

1.3. В функциясын баса аналитикалы рнекпен крсетейік. Мны пайдасы кбірек. Егер (1) интегралда алмастыруды олданса, онда

(4)

болады. Мндаы y-0-ден -ке дейін згертіп жаа айнымалы. Мнда b=1-a деп алып (0<a<1 деп йарып), табатынымыз

Бл интеграл брын есептелінген жне Эйлерді есімімен байланысты аталады , оны оушы байаан болу керек. Бны мнін орнына ойып, мына формулаа келеміз

(5)

Егер, дербес жадайда,

деп алса, мынаны табамыз:

«Бета» функцияны осы аздаан асиеттерімен біз анааттанамыз. Себебі бл функция тіпті жай трде баса «Гамма» функциямен рнектелетіндігін тменде креміз жне ол функцияа толыыра тотап теміз.

2.Эйлерді екінші текті интегралы.Бл атауды Лежандр мына тамаша интеграла ойан:

(6)

Бл интеграл кез келген a<0 боланда жинаты жне Г («Гамма») функцияны анытайды. Г функция анализ бен оны олданулары шін элементар функциялардан кейінгі маызды функцияны бірі болады. Бны (6) интегралды анытамасына сйеніп отырып, Г функцияны асиеттерін зерттеу деген параметрге туелді интегралдарды жоарыда баяндалан теориясыны олдануларыны тамаша мысалы болып табылма.

Егер (6)-да

деп алса, онда мынаны табамыз:

*) а 0 боланда интеграл жинасыз.

Ал

тедік бізге белгілі жне де рнегі скенде зіні шегіне се отырып*) мтылады. Мндай жадайда

болады немесе, егер алмастыруды олданса,

болады. Біра (3) бойынша

Сонымен, аырында, Эйлер – Гауссты ататы формуласына келеміз:

Бл формуланы Эйлер тіпті 1729ж. Гольдбаха жолдаан хатында жазан, біра кейін мыт болан. Аырында бл формуланы Гаусс ІІ (а)=Г(а+1) функциясыны анытамасына негіз етіп алады. Г функциясымен Лежандр мен Лобачевский кп шылданан. Жне де Лобачевский ол функцияны шектеусіз атарлар пайдаланылып берілетін анытамасына сйенген.

Гфункцияны жабайы асиеттері.

1. Г(а)функция барлы а>0 мндерінде здіксіз жне оны барлы ретті здіксіз туындылары болады. Тек туындыларыны бар екендігін длелдеу жеткілікті. (6) интегралды интеграл астында дифференциалдап,

(7)

тауып аламыз. Лейбниц ережесіні дрыс олданылып отырандыын мына екі интегралды

а-а атысты бір алыпты жинатылыынан креміз: біріншісі х=0 боланда aa₀>0 шін мажорантасы), ал екіншісі х= боланда аА< шін мажорантасы).

Осылайша

(7*)

екінші туындыны жне барлы жоары туындыларыны бар екендігіне кз жеткізуге болады.

2. (6)-ны блшектеп интегралдап бірден табатынымыз:

яни

(8)

Бл формуланы айталап олдананда шыатыны

(8*)

Осы жолмен а аргументті кез келген мнінде Г-ны есептеуді 0<а1 ( не ажет болса 1<а2 шін де) боланда Г-ны есептеуге келтіруге болады.

Егер (8*)-де а=1 деп алынса жне

(9)

тедік еске алынса, онда мына тедік табылады:

(10)

Сонымен Г функциясы тек -ні натурал мндерінде аныталан функциясыны – аргументті, кез келген о мндеріні облысына табии олданылуы болып шыады.

3. Г функцияны згеру жолы. Енді біз 0-ден -ке дейін а скендегі Г (а) функциясыны сипаты жнінде жалпы тсінік бере аламыз.

(9) жне (10) бойынша: Г (1)=Г (2) =1 болады. Сондытан, Ролль теоремасы бойынша, 1-мен 2-ні арасында Г’ (а) туындыны а₀тбірі жату керек. Бл туынды ыли да седі, йткені Г” (а) екінші туындыны рашан о болатындыы оны (7*) рнегінен крініп тр. Сйтіп, 0<а<а₀боланда Г’ (а)<0жне Г (а) функциясы кемиді, ал а₀<а< боланда Г’ (а)>0, сондытан Г (а) седі; а=а₀боланда минимум болады. Біз бл жерде оны есептеуін келтірмейміз, тек аыры нтижесін жазамыз:

а-ны 0-ге немесе мтыландаы (а) функцияны шегін анытау ызылыты. (8) –ден (жне 1-ден) а0 жадайда

екені айын. Екінші жаынан, (10) бойынша, тек ана а> болысымен, (а)> яни а жадайда болады.

Г (а)функцияны графигі 5-суретте келтірілген.

4. В жне Г функцияларыны арасындаы байланыс. Бл байланысты анытау шін бізx=ty (t>0) алмастыруды олданып, (6)-ны мына трге трлендіреміз:

(11)

Мнда а-ны а+ -мен ауыстырып жне сонымен бірге t-ні 1+t-ге ауыстырып, мынаны табамыз:

Енді осы тедікті екі жаын -ге кбейтеміз жне tбойынша 0-ден -ке дейін интегралдаймыз:

Сол жатаы интеграл зімізге белгілі В (a, b) функциясы [(4)-ті араыз]; о жата интегралдарды орнын алмастырамыз. Нтижесінде [(7) жне (6)-ны ескере отырып] мынаны табамыз:

Осыдан, аырында,

(12)

рнегі табылады.

Осы атыста Эйлерді келтірілген п-сем орытындысын Дирихле жасаан. Дегенмен, бл орытындыны толы длелді ету шін лі де интегралдарды алмастыруды орындылыын крсету керек болады.

Мны біз уелі a>1, b>1 деп алып крсетпекпіз. Сонда

функциясы шін 5-теоремасыны барлы шарттары орындалатын болады. Бл функция y0жне t0шін здіксіз (жне де о), ал мына интегралдар да

жне

здіксіз болады: біріншісі t0 шін t–ні функциясы да, екіншісі y0шін y–ті функциясы. Теоремаа сйенгенде интегралдарды орнын ауыстыруды, ал сонымен бірге (12) формуланы a>1, b>1жадайда дрыс екендігін креміз.

Егер де тек a>0, жне b>0 белгілі болса, онда длелденген бойынша,

болады. Ал осыдан В функция шін (2), (2’) келтіру формулаларын жне Г функция шін (8)-ді пайдаланып керексіз шарттарды оймастан, айтадан (12) формуланы табу оай.

5. Толытыру формуласы. Егер (12) формулада b=1-aдесек (0<a<1 деп) онда, (5) жне (9) бойынша, мына атыс табылады

(13)

бл толытыру формуласы деп аталады.

Ал боланда осыдан (Г(a)>0 себепті)

(14)

формуласы шыады.

интегралда ауыстыруды орындап, біз брыннан белгілі интегралды айтадан табамыз:

6.Лежандр формуласы. Егер

интегралда ауыстыруды орындаса, онда

тедігі шыады.

Екі жадайда да В функцияны (12) рнек бойынша Г функциямен алмастырамыз:

Г -а ысартып жне орнына оны мнін ойып [(14)-ті араыз], Лежандр формуласына келеміз:

Г функциясыны тере асиеттерін ашып крсететін кптеген баса да формулалар бар. Бл жерде олара тотауа бізді ммкіндігіміз жо. Сонымен бірге Г функцияны зіні мндерін жне оны логарифмдерін жуы есептеу тсілдеріне де тотай алмаймыз. Лежандр Г функцияны асиеттерін жне шектеусіз атарлар аппаратын пайдаланып -ны 1-мен 2-ні арасында 0,001 аралыпен алынан мндері шін функцияны логарифмдеріні таблицасын алдымен 7 онды, ал соынан 12 онды табамен жасаанын ескертіп, осыан доарамыз.

Бл жаа элементтер емес, Г функция зіміз элементар деп атап йренген функциялар сияты болып табылады.

Мысалдар.

Енді Г функцияны пайдаланылуы жнінен бірнеше жай мысалдар келтіреміз.

1) (p,q,m>0)

интеграл ауыстыруды олдананда бірден Эйлерді бірінші текті интегралына келтіріледі:

2) Мына интегралды есептеп шыарайы

Егерx=sin десек, онда мына

интеграла келеді. Алдыы мысалды пайдаланып, мынаны табамыз:

Дербес жадайда, b=1 боланда, осыдан

формуласы табылады. Осы бір формулаа (5) формуланы екеуі бірдей енетінін тексеру оай.

Егер де бастапы интегралда деп алса (мнда ), онда толытыру формуласын олданып мына формуланы табамыз:

3) Аырында мына

интегралды арастырамыз. Мнда pжне q-з ара жай та натурал сандар.

Интеграл мына трде

айта жазып, оан Лобачевскийді жалпы формуласын олданамыз. Бл формуланы дрыс болу шарттары

функциясы шін орындалан. Сонымен [2)-ні араыз]

тедігі табылады.

Г функциясын енгізгеннен кейін белгілі функциялар арылы интегралдарды шектеулі трде рнектеу ммкіндігіні аншалыты кеіп отырандыын осы келтірілген мысалдардан –а оушы айын кріп отыр. Кейде е аыры нтижеге Г функциясы кірмегенні зінде де ол нтиже осы функцияны асиеттерін пайдалананда оай табылады.

2.2 Екі шектік операцияны алмастыру жнінде тарихи ескертулер.Бл соы параграфты кздейтін масаты екі шектік операцияны алмастыру жнінде айтыландарды брін тарихи малмат беру трысынан саластыру болма. «Шектік операция» деп біз бл жерде арастырылып отыран функцияны бір аргументі бойынша тікелей шекке кшуді ана емес, атыында осындай шекке кшуге кеп тірейтін баса оперцияларды да тсінетін боламыз. Ол операциялар мыналар: шектеусіз атарды осындылау, функцияны дифференциалдау жне аырында, траты шектер аралыында функцияны интегралдау (меншікті не меншіксіз маынада). айталанан екі шекті

(15)

з ара тедігі туралы сз болан. Мндай тедікті ыли дрыс бола бермейтінін біз кргенбіз жне мны дрыс болуын амтамасыз ететін кейбір шарттарды анытаанбыз.Осыан сас мселе аралас екі туындыны

(16)

з ара тедігі жнінде боланды.

Аырында осы тарауды негізгі мазмны жнінде де осыны айтуа болады; жалыз-а бл жолы алмастыратын екі операцияны біреуі ыли интегралдау операциясы болып отырады. Оны біз белгілі шарттар орындаланда баса шектік операциялармен алмастырып отырды.Осы арастырылып отыран операцияларды «шектік» операциялар екендігін жете тсінуден кп брын мндай екі операцияны алмастыру математикалы практикаа кеінен енген. Тіпті анализді негізін салушыларды здері іс жзінде олданан. Ньютонны, Лейбницті жне оларды замандастары олданан мшелеп дифференциалдау шін «Лейбниц ережесін» еске тсірейік. Осындай алмастыруды XVIII асыр бойы олданып келгенін креміз. Онда кбінесе оны орындылыы длелденбеген, ал кейде длелденген болса, оны длдігі сол тстаы тсінікке сйкес ана болан. Мысал шін екі дифференциалдауды алмастыруды длелдегендегі (1739ж) Эйлер мен Клероны пайымдауларын еске тсіреміз. Математикалы анализ тарихында екі шектік операцияны алмастрыу тсілі кптеген жалпы абылдауларды жне жеке математикалы фактілерді тауып алу шін те кшті рал деп табылан. Біра теріс олданандытан, оны зі ате мен парадокстарды кзі болан. Екі шектік операцияны алмастыру ыли дрыс бола бермейтіндігі туралы пікірді зі ателерді зерттеу негізінде барып айындалан. Тек XIX асырды орта кезінде ана жалпыны игілігіне айналан. Мндай алмстыру кездесетін анализді деткі жадайлары шін оны дрыстыыны дл длелдемесі асырды ая кезінде аяталан.

Брінен брын екі шектік кшуді алмастыру мселесі айын шешілген. XVIII жне XIX асырды ліарасында (15) тедікті кейде дрыс болмай шыатындыы жай мысалдармен крсетілген, яни айталанан шек кейде кшу ретінде туелді болатындыы крсетілген. 1815 жылы Кошиді бір мааласында (1827 ж. жарияланан) осы мселе дрыс жне жйелі баяндалан.

здіксіз функциялардан рылан атарды осындысыны здіксіздігін жне осындай атарды мшелеп интегралдауа болатындыын длелдемек болып Коши жасаан рекетті стсіз аяталанын жоарыда ескерткен болатынбыз. Бл пікірді алдыысыны теріс екенін Абель бірден крсеткен, ал екіншісіне кейінірек Чебышёв арсы болды. Брын айтыландара енді мынаны осамыз: 1823 ж. Коши интегралды параметр бойынша дифференциялдауа атысты «Лейбниц ережесін сзсіз олдануа болатындыыны сондай теріс длелдемесін берген. Бл тста ол ережені олданылуа болмайтындыын аны крсететін мысалдарды ешайсысын да ескермеген. Интеграл астындаы функция шексіздікке айналатын жадайда интеграл астында дифференциялдау ммкін болмай алатындыын Остроградский 1828 ж аны тсінген. Кейінгі кезде бл жадайды баса авторлар да крсеткен.

Шектеусіз аздарды анализі бойынша оу нсаларында ырыншы жылдара дейін осы арастырылан мселелерге атысты теріс пікірлер жиі кездесіп келді. Осыан орай бл мселелерде сатыты керектігін кптеген мысалдар байатты. Біз оларды Фурье крсеткен тек алдыыларыны біреуін келтіреміз:

Мынаны

ай типті шектік операциялар болса да алмастыру жасауды мумкін юолу шарттарын дл анытау керектігі айын анытала бастады.ырыншы жылдарды аяындаенгізілген атарды бір алыпты жинатылы ымы жне онымен тптес интегралды бір алыпты жинатылы ымы осыны дл анытауа ммкіндік туызады.Алайда бізді осы шылданып отыран мселелерімізді тиісті длдікпен пайымдау процесіне таы бірнеше ондаан жылдар керек болды.Мысалы (16) формуланы бірінші дл длелдемесін біз тек 1873 ж. Шварцты ебегінен табамыз.

тріндегі интегралы берілген болсын, бндаы а 0.

Бл типтегі интегралдар шін мына ш жадай болуы ммкін:

1.а>0 болан жадай. Бл жадайда айнымалыны

деп ауыстырамыз. Бны Эйлерді бірінші ауыстырмасы деп атайды. Сонда:

, яни берілген айнымалыны t-ні рационалды функцияны интегралына келеді.

2. с>0 болан жадай. Бл жадайда айнымалыны

деп ауыстыру керек. Бны Эйлерді екінші ауыстырмасы деп атайды. Осыдан х-ті жне dx-ті тауып, берілген интегралдаы орындарына апарып ою керек.

3. квадрат шмшелігіні наты тбірлері бар болсын. Сонда:

болады. Бл жадайда ауыстыруды

деп енгізу керек. Бны Эйлерді шінші ауыстырмасы деп атайды.

Есептер

аныталмаан интегралын есептеу керек.

Шешу: Интеграл астындаы блшекті бліміне жеке – жеке бліп, атынас трінде жазып аламыз.

аныталмаан интегралын есептеу керек, мндаы а, в,с – тратылар жне с1

Шешу:

интегралын есептеу керек.

Шешу:

интегралын есептеу керек.

Шешу:

орытынды.

орыта айтанда,Осы курсты жмысты масаты Эйлер интегралыны (бірінші текті Эйлер интегралдары не бета-функция) жне (екінші текті Эйлер интегралдары не гамма-функция) наты асиеттерін зерттеу болып табылады .Эйлер интегралын негізінен гамма функциясы,гамма функциясыны зерттелген асиеттері жне бета функцияларды амтиды.Математиканы кейбiр жеке тарауларыны болсын тарихын бiлу малімні кейбiр оушы ателiктерiн болжауына, кейде тiптi болдырмауына да жол ашады. Сонымен атар бiраз дiстемелiк ателiктерге жол бермеуге кмектеседi. з пнiнi тарихын жасы бiлу, малімге тiлiп жатан таырып пен ымдарды орнын бiлiктiлiкпен баалауа, тере бiлiм беруге кмектеседi. Егер малім математиканы тарихын бiлсе, осы бiлiмiн пайдалана отырып, ол оу рдiсiн реттеп, математиканы оушылар шiн тсiнiктiрек етiп йлестiре алады. С.П.Капица ылым тарихыны маызы туралы былай деген: “ылымды оны тарихына млде тиiспей-а оуа болатыны жасы белгiлi. Біра оны тарихына бармай ылымны дiсiн тсiну иын жне бiздi мдениетiмiзден алатын орнын дрыс анытау млде ммкiн емес”. ылымны тарихынан млiмет беру, жоарыда айтыландай, танымды трысынан те пайдалы, йткенi ол оушыларда диалектикалы–материалистiк дниетаным алыптастыруа ыпал етедi. Сонымен атар ол р тарауды немесе таырыпты ту барысында оушылара математиканы кеiстiктiк пiшiндердi ылымы ретiнде адамны практикалы ызметiмен байланысты пайда болан жне дамыанын крсетуге ммкiндiк бередi.

Пайдаланылан дебиеттер тізімі:

1. Фихтенгольц Г.М., Математикалы анализ негіздері, II-том , Алматы, Мектеп 1972 ,440б.

2.Ибрашев Х.И., Еркелов Ш.Т Математикалы анализ курсы, II-том,Алматы,Мектеп 1970,527 б.

3.Фихтенгольц Г.М. Дифференциялды жне интегралды есептеу курсы. I-II том,Алматы,1970,63 бет.

4.Тілеубердиев Б. Математикалы талдау негіздері,Шымкент: «Нрлы Бейне» ,2015,291б

5. азастан»: лтты энцклопедия / Бас редактор . Нысанбаев – Алматы «аза энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9, X том;