Потери напора при турбулентном режиме движения жидкости
При турбулентном режиме движения жидкости коэффициент Дарси зависит в общем случае и от числа Рейнольдса, и от значения относительной шероховатости внутренней поверхности трубы. При этом различают три области гидравлического сопротивления:
· область гидравлически гладких труб;
· область переходного сопротивления;
· область квадратичного сопротивления (область гидравлически шероховатых труб).
Шероховатость поверхности водотока определяется естественными и искусственными неровностями поверхностей, соприкасающихся с движущейся жидкостью. Представление о типах шероховатости можно получить из рисунков табл. 8.2. При движении жидкости у стенки русла образуется вязкий подслой, который в значительной степени определяет структуру потока. Это зависит от отношения толщины вязкого подслоя 
к высоте выступов 
.
| № п/п /п ппп/п | Схема шероховатости и течения жидкости | Комментарий |
| Равнозернистая шероховатость (отсортированный песок), искусственно создаваемая шероховатость. | |
| Неравнозенистая непериодическая шероховатость, создаваемая движущимся потоком жидкости. | |
| Неравнозенистая периодическая шероховатость, создаваемая движущимся потоком жидкости. | |
| Искусственно созданная шероховатость (гофрированная труба). | |
| Искусственно созданная шероховатость (гофрированная труба). | |
| Гидравлически гладкий канал; толщина вязкого подслоя  больше средней высоты выступов .
| |
| Гидравлически шероховатый канал; толщина вязкого подслоя меньше средней высоты выступов .
|
Несмотря на то, что турбулентное движение жидкости в общем случае является неустойчивым, использование средних параметров потока – средней скорости и среднего давления в сечении, позволяет достаточно правильно описать протекающие явления и разработать практические методики расчета потерь напора при турбулентном течении.
Экспериментально установлено, что турбулентный поток, как правило, не соприкасается со стенками русла и отделен от него тонким вязким подслоем, течение в котором является ламинарным. Толщина этого подслоя зависит от геометрических размеров поперечного сечения, средней скорости потока и вязкости жидкости. Для труб толщина вязкого подслоя определяется по следующей формуле
 ,
| (8.16) |
где 
-- коэффициент потерь по длине при турбулентном режиме течения.
Для гидравлически гладких труб, когда высота выступов неровностей стенок не влияет на величину потерь напора, зависимость 
можно представить графиком на рис. 8.2.
Рис. 8.2
|
Оценивая потери напора в трубах круглого сечения при турбулентно режиме течения, воспользуемся формулой Дарси-Вейсбаха, однако коэффициент 
будем вычислять на основе рекомендаций, подкрепленных экспериментальными исследованиями И.И.Никурадзе (рис. 8.3).
Представление о значениях параметра эквивалентной абсолютной шероховатости 
можно получить по данным табл. 8.3.
Табл. 8.3
| № п/п | Материал и вид трубы | Состояние трубы | Среднее
значение мм
|
| Тянутые трубы из стекла и цветных металлов | Новые, технически гладкие | 0,001 | |
| Бесшовные стальные трубы | Новые и чистые, тщательно уложенные | 0,014 | |
| После нескольких лет эксплуатации | 0,2 | ||
| Стальные трубы сварные | Новые и чистые | 0,06 | |
| С незначительной коррозией после очистки | 0,015 | ||
| Умеренно заржавевшие | 0,5 | ||
| Старые заржавевшие | 1,0 | ||
| Сильно заржавевшие или с большими отложениями | 3,0 | ||
| Чугунные трубы | Новые асфальтированные | 0,12 | |
| Новые без покрытия | 0,3 | ||
| Бывшие в употреблении | 1,0 | ||
| Очень старые | 3,0 |
Рис. 8.3
|
На практике для определения коэффициента потерь напора в реальных шероховатых трубах часто используется, кроме указанных выше, и формула Альтшуля (8.17)
 ,
| (8.17) |
но основной расчетной формулой остается формула Дарси_Вейсбаха
 .
| (8.18) |
Лекция 9
Местные потери напора
Местные гидравлические сопротивления
Местными гидравлическими сопротивлениями называют любые участки гидравлической системы, где имеются резкие изменения размеров поперечного сечения канала, по которому движется жидкость, резкие повороты канала, элементы управляющей и запорной арматуры, установленные для регулирования направления потока и расхода жидкости (рис.9.1 и рис.9.3).
Потери напора на местном сопротивлении определяются по формуле Вейсбаха
 ,
| (9.1) |
где 
-- коэффициент местного сопротивления.
Коэффициент местного сопротивления зависит от геометрической формы и размеров сечения канала в этом элементе гидравлической системы. Теоретическое определения коэффициента в большинстве случаев затруднительно и его определяют по результатам экспериментальных исследований.
Рис. 9.1
|
Схема экспериментальной установки для определения коэффициента местного сопротивления “внезапное расширение” приведена на рис. 9.2.
Рис. 9.2
|
Потери напора между сечениями 2 и 3 определяются, как разность показаний пьезометров 
, а изменение напора между сечениями 1 и 4 – это разность показаний пьезометров 
. Предполагая 
, можно записать уравнение Бернулли для сечений 2-3 и сечений 1-4
| (9.2) |
где 
Равенство длин участков и диаметров труб между сечениями 1 и 2, сечением 2 и началом местного сопротивления; окончанием местного сопротивления и сечением 3, сечениями 3 и 4, дает основание сказать – потери по длине на участке 1-4 в два раза больше потерь по длине на участке 2-3
 .
| (9.3) |
При условии, что 
, уравнения (9.2) с учетом (9.3) принимают вид
| (9.4) |
При выполнении исследования, в гидравлической системе, включающей местное сопротивление, устанавливают определенный расход жидкости 
, что позволяет рассчитать средние скорости потока 
, 
. Давления 
определяют по показаниям пьезометров в сечениях 1, 2, 3 и 4. После чего по уравнениям (9.4) легко расчитать потери напора по длине 
и местные потери напора 
. Затем, используя формулу (9.1) легко найти значение коэффициента , для изучаемого местного сопротивления
 .
| (9.3) |
Необходимо добавить, что, как правило, значение коэффициента местных потерь определяют по отношению к кинетическому напору в выходном сечении местного сопротивления, но, если в том будет необходимость, коэффициент местных потерь можно пересчитать и на кинетический напор на входе в местное сопротивление (в рассматриваемом примере это 
).
Рис. 9.3
| |
Рис. 9.4
|
В том случае, когда местные сопротивления находятся на расстоянии меньше (25…50)d друг от друга (d – диаметр трубопровода, соединяющего местные сопротивления) можно наблюдать их взаимное влияние. Такие сопротивления нужно рассматривать, как одно сложное сопротивление (рис. 9.4).
Табл. 9.1
| Местное сопротивление | Характеристики местного сопротивления | |||||
Вентиль открытый
| открыт полностью | D, мм | ||||
|
| 10,8 | 6,1 | 4,6 | 4,1 | ||
Дроссель с плоско
скошенным диском
| При
| 
| ||||
|
| 0,1 | 0,36 | 3,05 | 71,5 | ||
| - |
| ||||
|
| 0,36 | 2,7 | 18,2 | |||
Задвижка
| S/D | D, мм | ||||
|
| 0,33 | 0,16 | 0,14 | |||
| 3/4 | 0,9 | 0,68 | 0,55 | |||
| 1/2 | 4,1 | 3,0 | 2,6 | |||
| 1/4 | 20,0 |
Местное сопротивление, создаваемое соединением четырех уголков (рис.9.3), не будет эквивалентно четырем местным сопротивлениям “плавный поворот на 90о “ ( 
).
Если расстояния между отдельными местными сопротивлениями достаточно велико для того, чтобы искажение эпюры скоростей, вызванное одним из них, сказывалось на сопротивлении, лежащем ниже по течению, принцип суммирования потерь дает надежные результаты.
В завершении приведем некоторые рекомендации по определению коэффициента местного сопротивления из справочной литературы (табл. 9.1).
Для местного сопротивления “плавный поворот на 90о “ при 
коэффициент местного сопротивления рекомендуется определять по формуле
 .
| (9.4) |
Теоретическое определение коэффициента местного сопротивления
при внезапном расширении потока
В этом частном случае коэффициент местного сопротивления можно определить теоретически, что представляет интерес с точки зрения установления его природы.
На рис. 9.5 представлен случай, когда труба диаметром 
переходит в трубу с большим диаметром 
. Струя, выходящая из первой трубы, на некоторой длине расширяется и в сечении 2-2 заполняет все сечение второй трубы. Расширение струи сопровождается отрывом ее от стенок и образованием водоворотной зоны, имеющей кольцевую форму.
Рис. 9.4
|
Для определения потери напора запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, принимая во внимание горизонтальность расположения оси канала.
 .
| (9.5) |
Принимая 
, из (9.5) получаем
 .
| (9.6) |
Разность давлений найдем используя теорему механики об изменении количества движения массы жидкости , содержащейся в объеме между сечениями 1-1 и 2-2. Пусть за время 
объем LBCD переместится в положение 
. Так как жидкость предполагаем несжимаемой, объемы жидкости, прошедшие через сечения 1-1 и 2-2 за время одинаковы. На рис. 9.4 они заштрихованы 
= 
. Очевидно, что изменение количества движения массы жидкости в объеме LBCD определяется изменением количества движения массы жидкости в объемах и . Количество движения массы жидкости в объеме 
за время осталось без изменения.
 ;
 ,
| (9.7) |
где 
-- коэффициент, корректирующий расчет количества движения через среднюю скорость в сечении.
Изменение количества движения выделенного объема за время составит
 .
| (9.8) |
При определении импульса сил, действующих на выделенный объем, не будем принимать во внимание силы трения между стенками трубы и жидкостью. Ось трубы предполагаем горизонтальной, поэтому импульс сил тяжести и сил давления боковых стенок на эту ось равны нулю. Импульсы других сил:
силы давления на выделенный объем в сечении 2-2
 ,
| (9.9) |
силы давления на выделенный объем в сечении 1-1 со стороны жидкости в трубе диаметром и кольцевой стенки трубопровода, расположенных слева от него
 .
| (9.10) |
С учетом (9.8), (9.9), (9.10) теорема об изменении количества движения в проекции на ось потока запишется так
| (9.11) |
Сохраняя качественный характер анализа, принимаем 
(в действительности при параболическом законе изменения локальной скорости по радиусу сечения потока 
). Так как 
из (9.11) находим
 .
| (9.12) |
Подстановка (9.12) в выражение (9.7) позволяет найти формулу для определения потери напора на рассматриваемом местном сопротивлении
 ,
| (9.13) |
где 
- называют потерянной скоростью.
Формула (9.13) называется формулой 
. Согласно ей потеря напора при резком расширении потока равняется скоростному напору, соответствующему потерянной скорости.
Если изменить форму записи (9.13), то можно установить теоретическое значение коэффициента местных потерь для рассматриваемого случая
 ,
|
следовательно
 .
| (9.14) |
Следует заметить, что действительные потери напора на этом местном сопротивлении несколько больше, чем дает использование формулы (9.14) (см. допущение 
и др.).
Табл. 9.2
Для соединения труб при 
| ||||||||||
| , мм
| 39,5 | 37,5 | 35,3 | 33,06 | 30,6 | 27,95 | 25,0 | 21,65 | 17,68 | 12,5 |
| ||||||||||
| 1,0 | |||||||||
| 98,6 | 75,2 | 55,7 | 39,7 | 26,9 | 16,8 | 9,3 | 4,1 | 1,017 | |
| 2,5 | 1,76 |
Тем не менее, полученный результат достаточно хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями (табл. 9.2), где максимальное расхождение в величине коэффициента местного сопротивления достигает 21% при десятикратном увеличении площади поперечного сечения.
Лекция 10
Истечение жидкости через отверстия и насадки
Классификация отверстий и основные характеристики истечения
Истечение жидкости через отверстия и насадки (короткие отрезки труб разных форм поперечного сечения) достаточно часто решаемая в инженерной практике задача – слив жидкости из резервуаров, баков, котлов в отрытую емкость через затопленное или незатопленное отверстие (рис. 10.1).
Рис. 10.1
|
Основной вопрос, на который нужно найти ответ – как определить расход жидкости и какой будет скорость истечения жидкости через отверстие или насадок?
Аналогичные вопросы возникают при изучении явлений, которые происходят в отверстиях малого диаметра и щелях контрольной, регулирующей и распределяющей аппаратуры гидравлических систем.
В гидравлике различают истечение через отверстия в тонкой и толстой стенках, истечение с совершенным сжатием, когда границы резервуара не влияют на движение струи жидкости, истечение с несовершенным сжатием, когда влиянием стенок резервуара на процесс истечения пренебрегать нельзя.
Тонкой называют стенку, толщина которой не влияет на форму вытекающей струи. При истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке возникают только местные потери напора, как при внезапном расширении потока.
Истечение через отверстие в толстой стенке можно рассматривать как истечение через насадок (короткий отрезок трубы, длина которого не превышает пяти диаметров).
Сжатие струи
При вытекании жидкости из резервуара через отверстие в тонкой стенке, при диаметре отверстия существенно меньше размеров резервуара, на некотором достаточно близком расстоянии от стенки ( 
), сечение С-С на рис. 9.2, образуется так называемое сжатое сечение, где диаметр струи будет наименьшим, а линии тока будут практически параллельными. Далее струя падает под действием силы тяжести. Так как размеры резервуара много больше размеров отверстия, свободная поверхность жидкости и стенки резервуара не оказывают влияния на направление входа жидкости в отверстие, то сжатие струи оказывается наибольшим и называется совершенным. Характеризуется процесс сжатия струи коэффициентом сжатия
 ,
| (10.1) |
где 
площадь и диаметр отверстия в тонкой стенке;
площадь и диаметр совершенно сжатой струи.
В том случае, когда отверстие располагается вблизи стенок резервуара и они оказывают влияние на вход жидкости в отверстие, струя на выходе из отверстия сжимается в меньшей степени. Изменяется, естественно, и коэффициент сжатия струи 
(рис. 10.2).
Рис. 10.1
| 
Рис. 10.2
|
Определяется коэффициент сжатия струи экспериментально и для отверстий небольшого диаметра ( 
, где H – полный напор на входе в отверстие) в случае совершенного сжатия 
, тогда как для больших отверстий зависит от числа Рейнольдса и других факторов.
Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
при постоянном напоре
При рассмотрении этого вопроса необходимо различать два случая: истечение через незатопленное отверстие и истечение через затопленное отверстие.
Незатопленное отверстие (рис. 10.3). Рассмотрим случай, когда 
, что дает основание считать напор в сжатом сечении С-С постоянным.
Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 (уровень свободной поверхности) и С-С (сжатое сечение струи):
 ,
| (10.2) |
где 
- коэффициент сопротивления, учитывающий потери напора от сечения 1-1 до сечения С-С (основные потери имеют место в районе отверстия).
Если обозначить
 ,
| (10.3) |
то из (10.2) следует
 ,
| (10.4) |
где
| (10.5) |
называют коэффициентом скорости струи.
Рис. 10.3
| 
Рис. 10.4
|
При известной скорости в сжатом сечении 
( см.(10.4) с учетом (10.1) объемный расход жидкости можно рассчитать по формуле
| (10.6) |
В практических расчетах используют еще один коэффициент процесса истечения – коэффициент расхода
 ,
| (10.7) |
что позволяет записать формулу (10.6) в следующей форме
 .
| (10.6) |
Упрощение формул (10.4) и (10.6) происходит в тех случаях, когда 
| (10.7) |
и
 ,
| (10.7) |
что можно принять для открытого резервуара, если 
. Здесь 
- площадь сечения 1-1 резервуара.
С истечением жидкости через отверстия связаны следующие задачи:
· определение расхода при известном напоре и размерах отверстия;
· определение требуемого напора для пропуска заданного расхода через отверстие известного диаметра;
· определение диаметра отверстия при заданном напоре и требуемом расходе.
Многочисленные эксперименты по определению коэффициентов истечения 
, обобщены в виде зависимостей 
, представленных на рис. 10.4. Здесь число Рейнольдса 
.
Замечание 1. Если 
, то отверстие называют большим. Особенность истечения через такое отверстие состоит в существенной разнице скорости движения жидкости в разных точках отверстия, расположенных на разной глубине от свободной поверхности (рис. 10.5) – V=V(z). Искусственно сохраняя формулу расхода жидкости без изменения,
Рис. 10.5
| 
Рис. 10.6
|
значение коэффициента расхода устанавливают в диапазоне 
. Конкретное значение коэффициента определяется расположением отверстия относительно стенок резервуара и условиями подхода жидкости к отверстию при формировании струи (табл. 10.1).
Табл. 10.1
| № п/п | Тип отверстия |
|
| Отверстие средних размеров при сжатии струи со всех сторон при отсутствии направляющих стенок | 0,65 | |
| Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием | 0,70 | |
| Донные отверстия без сжатия ко дну со значительным влиянием бокового сжатия | 0,65…0,70 | |
| Донные отверстия без сжатия по дну и с уменьшенным влиянием бокового сжатия | 0,70…0,75 | |
| Донные отверстия без сжатия по дну и с весьма плавными боковыми подходами | 0,80…0,85 | |
| Донные отверстия без сжатия по дну и с весьма плавными боковыми подходами к отверстию со всех сторон | 0,90 |
Замечание 2. Истечение жидкости через малое затопленное отверстие с острой кромкой (рис. 10.6) характеризуется скоростью и расходом, которые определяются разностью в уровнях жидкости до отверстия и за ним 
, а коэффициенты 
и можно принять такими же, как и для незатопленного отверстия
 ,  .
| (10.8) |
Замечание 3. Из формул (10.8) следует, что скорость истечения и расход жидкости через затопленное отверстие пропорционален разности давлений до отверстия и после отверстия 
 ,  .
| (10.9) |
Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
при переменном напоре
Изменение напора при истечении может быть вызвано:
· изменением уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость вытекает (питатель);
· изменением уровня жидкости в резервуаре, в который жидкость истекает (приемник);
· одновременным изменение уровней жидкости в питателе и приемнике;
· изменением давления на свободных поверхностях жидкости в питателе и приемнике.
При малых скоростях истечения или малом отношении объема вытекающей жидкости к объему резервуара задача может рассматриваться как квазистатическая, т.е. к истечению жидкости в течение малого отрезка времени можно применять уравнение Бернулли.
Основная задача, возникающая при рассмотрении истечения в условиях переменного напора, состоит в определении времени, за которое потребуется для истечения заданного количества жидкости. Очевидно, что уменьшение напора в процессе истечение будет приводить к уменьшению скорости истечения и, как следствие, к увеличению времени, которое необходимо для истечения заданного объема жидкости в сравнении со временем истечения того же количества жидкости при постоянном напоре.
Рассмотрим задачу опорожнения открытого цилиндрического резервуара через донное отверстие. Изменением коэффициента расхода в процессе истечения пренебрегаем (рис. 10.7). Известными считаем:
· 
- исходный напор;
· 
- конечный напор;
· 
- диаметр резервуара;
· 
- диаметр отверстия;
· - коэффициент расхода для донного отверстия.
Рис. 10.7
|
Определим время опорожнения резервуара 
.
При текущем уровне жидкости в резервуаре 
скорость истечения равна
 .
| (а) |
Изменение уровня жидкости в резервуаре 
легко найти, вычислив объем жидкости вытекающей из резервуара за время
 .
| (б) |
Из (а) и (б) следует
 .
| (в) |
Интегрирование зависимости (в) на отрезке времени от начала истечения ( 
) до его окончания ( 
), когда геометрический напор изменяется от 
до 
дает следующий результат
 .
| (в) |
Если вычислить объем жидкости, вытекающей из такого же резервуара при постоянном напоре за время , то легко заметить, что объем жидкости, истекающей при постоянном напоре, будет в два раза больше. Действительно
 .
| (г) |
При решении задачи об истечении из резервуаров иной формы (рис.10.8) в условиях переменного напора необходимо учитывать, как изменение площади сечения резервуара по высоте 
, так и зависимость коэффициента расхода от устройства отверстия истечения.
Рис. 10.8
|
Истечение жидкости через насадки при постоянном напоре
Насадком называют короткую трубу, присоединенную к отверстию в тонкой стенке. Если стенка резервуара имеет значительную толщину (резервуар бетонный), то стенки канала отверстия можно рассматривать, как насадок.
Насадки по геометрической форме делятся на три типа (рис10.9):
· цилиндрические;
· конические;
· коноидальные.
Рис. 10.9
|
Различают насадки внешние и внутренние. При движении жидкости внутри насадка образуется сжатое сечение, в области которого наблюдается вакуум. Образование вакуума
объясняется тем, что скорость в сжатом сечении больше скорости на выходе из насадка, что следует из уравнения Бернулли, т.к. гидравлические потери на длине насадка незначительны. В связи с образованием вакуума насадок увеличивает пропускную способность отверстия.
Рис. 10.10
|
Расчетные формулы для скорости истечения из насадка и расхода жидкости остаются такими же как и для случая истечения из отверстия с острой кромкой. Необходимые изменения учитываются за счет коэффициентов 
 ;  .
| (10.9) |
При истечении через горизонтальный цилиндрический насадок получены следующие опытные данные по коэффициенту расхода при разных числах Рейнольдса
| № п/п | 
| 
|
| 0,73 | |
| 0,80 | |
| 0,82 |
Если сравнить расход жидкости через цилиндрический насадок и отверстие в стенке одного диаметра, то легко установить, что при турбулентном режиме истечения (Re > 104) расход через насадок будет больше на 32%.
 .
| (г) |
Таким образом, если необходимо увеличить расход жидкости через отверстие, то достаточно присоединить к внешней стенке резервуара цилиндрический насадок. Приведем сравнительную таблицу эффективности различных насадков по отношению к отверстию.
Табл. 10.2
| № п/п | Объект истечения | 
|
| 
| |
| Отверстие | 0,97 | 0,62 | 1,0 | ||
| Насадок | внешний цилиндрический | 0,82 | 0,82 | 1,32 | |
| внутренний цилиндрический | 0,71 | 0,81 | 1,14 | ||
конический сходящийся (  )
| 0,97 | 0,95 | 1,53 | ||
| конический расходящийся | 0,45 | 0,45 | 0,72 | ||
| коноидальный | 0,97 | 0,97 | 1,56 |