Приведем другое решение.

Решение.

С учетом наценки горшок станет стоить 90 + 0,2 · 90 = 108 рублей. Разделим 1100 на 108:

Значит, можно будет купить 10 горшков.

Ответ: 10.

2.При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.

Определите по рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.

Решение.

Из графика видно, что через два часа работы фонарика напряжение в цепи будет 1,2 вольта.

Ответ: 1,2.

3.Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

Решение.

Найдем квадрат радиуса круга

Площадь фигуры равна трем четвертым площади этого круга. Поэтому

см².

Ответ: 15.

4.На конференцию приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.

Решение.

Всего в семинаре принимает участие 4 + 4 + 2 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает четвертым, окажется из Швеции, равна

Ответ: 0,4.

5.Найдите корень уравнения .

Решение.

Извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения, получаем , откуда .

6.Найдите хорду, на которую опирается угол 120, вписанный в окружность радиуса .

Решение.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Ответ: 66.

7.На рисунке изображён график функции y = f (x), определённой на интервале ( 3; 11). Найдите наибольшее значение функции f (x) на отрезке [3; 10].

Решение.

Из графика находим что наибольшее значение функции f (x) на отрезке [3; 10] равно 3.

Ответ: 3.

8. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Решение.

Объем пирамиды с площадью основания и высотой равен

Ответ: 24.

9.Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 9.

10.Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком значении угла (в градусах) время полeта составит 2,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью м/с? Считайте, что ускорение свободного падения м/с .

Решение.

Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

Таким образом, наименьшее значение угла равно 90°.

Ответ: 90.

11.На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение.

Обозначим – число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает деталей, . На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:

Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час

Ответ: 25.

12.Найдите точку максимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума

Ответ: 9.

13.Решите уравнение

Решение.

Ответ: .

14.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

Решение.

Проведём из точки перпендикуляр к Треугольник — равнобедренный, следовательно, — середина — средней линии равнобедренного треугольника следовательно, точка является также серединой высоты Прямая параллельна прямой пересечения плоскостей и Следовательно, — искомый линейный угол. Найдём

Значит,

Ответ:

15.Решите неравенство:

Решение.

Пусть тогда

Введём замену решим квадратное неравенство:

Вернёмся к переменной

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

16.В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Решение.

Обозначим Тогда по свойству биссектрисы: и откуда

Получаем:

Значит, Тогда

Ответ:

17.Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.

Решение.

Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце первого года вклад составит 1,1S, а в конце второго — 1,21S. В начале третьего года вклад составит 1,21S + 2, а в конце — 1,331S + 2,2. В начале четвёртого года вклад составит 1,331S + 4,2, а в конце — 1,4641S + 4,62.

По условию, нужно найти наибольшее целое S, для которого выполнено неравенство

откуда Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, размер первоначального вклада составляет 7 млн рублей.

Ответ: 7 млн рублей.

Приведем другое решение.

Ясно, что первоначальный вклад не мог равняться 11 млн руб., поскольку дважды пополнялся на 2 млн руб., но остался меньше 15 млн руб. Не мог он быть равным и 10 млн руб., поскольку пополнение такого вклада на 10% увеличивает его на миллион, а за 4 года было 4 таких пополнения. Аналогично проверяя 9, 8 и 7 млн рублей, убедимся, что наибольшим возможным размером начального вклада является 7 млн руб.

18.Найдите все значений a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Запишем первое уравнение в виде Решения первого уравнения системы совпадают с решениями уравнений и при условии

При уравнение имеет единственное решение при любом значении a.

При уравнение принимает вид откуда C учётом условия получаем, что при решений нет, а при

При уравнение принимает вид откуда C учётом условия получаем, что при решений нет, а при имеет одно решение.

Определим значения a, при которых возможны совпадения решений из трёх разобранных выше случаев. Имеем: либо откуда либо откуда либо откуда

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при имеет два решения при и , имеет три решения при и

Ответ:

19.Группу школьников нужно перевези из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью.

Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?

Решение.

Тип А: 2 автобуса; n рейсов каждый; m + 7 человек в автобусе

Тип В: 3 автобуса; n 1 рейс; m человек