ВЫЧИТАНИЕИ ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – этооперация, обратная сложению: длялюбых комплексных чиселZ1и Z2 существует, и притом только одно,число Z, такое, что:

Z+ Z2=Z1

Если к обеим частям равенстваприбавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1<sub/>– Z2

Число Z=Z1+Z2 называют разностью чиселZ1и Z2.

Деление вводится как операция,обратная умножению:

Z×Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Z=/>

Из этого уравнения видно, что Z2/>0

Геометрическое изображениеразности комплексных чисел

Рисунок 4

Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствуетразность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль/> разности двух комплексныхчиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длинавектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как суммувекторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двухкомплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которыесоответствуют этим числам.

Это важное геометрическоеистолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехомиспользовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i.Найти разность Z2 – Z1и частное />

Z2– Z1<sub/>= (3 + 4·i) – (4+ 5·i) = –1 – i

/>=/>=/>

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯФОРМА

КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА

Рисунок 5

Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называетсяалгебраической формойкомплексногочисла. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записикомплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическуюформу записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·iвыражаются через его модуль />= rи аргумент j следующим образом:

A=r·cosj; B= r·sinj.

Число Z можно записать так:

Z= r·cosj+i·/>·sinj = r·(cosj +i·sinj)

Z = r·(cosj +i·sinj) (2)

Эта запись называется тригонометрическойформой комплексного числа.

r =/>– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

СВОЙСТВАМОДУЛЯ И АРГУМЕНТА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формыудобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1= r1·(cosj1<sub/>+i·sinj1),Z2<sub/>= r2·(cosj2<sub/>+i·sinj2).Тогда:

Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=

=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)].

Таким образом, произведениекомплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить поформуле:

Z1Z2=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)](5)

Из формулы (5) следует, чтоприумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.