Дифференцирование функции – это означает нахождение её производной.
Лекция №6
4.4. Производная функции
Переходим к дифференциальному исчислению. Дифференциальное исчисление основывается на понятии производной функции.
Введем понятие производной функции. Пусть на некотором множестве D задана непрерывная функция у = f(х). Возьмем произвольную точку х из этого множества (хÎD) и дадим аргументу приращение 
х. Причем так, чтобы (х+ х)ÎD При этом функция получит приращение: 
.
Определение: Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
, когда приращение аргумента стремится к нулю 
.
Производная обозначается: 
.
Если функция у = f(x) имеет конечную производную в каждой точке множества D, то производная 
является также функцией от х. Название производной можно рассматривать как функцию, произведенную от исходной функции у = f(x).
геометрический и физический смысл производной
Геометрически производная 
определяет угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(x), т.е. 
.
Пусть на графике функции у = f(x) задана точка М1(х1,у1). Проведем касательную K и нормаль N к графику функции в заданной точке. Нормаль – это прямая перпендикулярная к касательной.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в заданной точке 
, а угловой коэффициент нормали из условия N┼K равен 
.
Тогда можно записать уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке М1(х1,у1), используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:
- ур. касательной; 
- ур. нормали.
Физический смысл производной заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движения.
Пусть материальная точка двигается по закону у = f(t), где у - пройденный путь за время t. Тогда скорость движения в момент времени t = t0 , будет равна:
.
Ниже будет дан пример расчета скорости и ускорения, исходя из физического смысла первой и второй производных.
4.5. дифференцирование функций
Определение: Функция у = f(x) называется дифференцируемой на множестве D, если в каждой точке этого множества существует конечная её производная, т.е. для каждого хÎD существует конечный предел 
.
Дифференцирование функции – это означает нахождение её производной.
Теорема. Для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой на множестве D необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке хÎD этого множества приращение функции ∆у можно было представить в виде: ∆у=А*∆х+α(∆х)*∆х, где А – множитель, который определяется значением производной в точке х: А=f/(x); α(∆х) – б.малая функция при ∆х®0.
Действительно, если ∆у=А*∆х+α(∆х)*∆х, то существует конечный предел:
.
дифференциал функции
Определение:Дифференциалом функции у=f(x) называется главная линейная часть приращения функции, которая обозначается в виде:
dy= А*∆х=f /(x)* ∆х.
Если возьмём линейную функцию у=х, то дифференциал этой функции будет равен: dх=(x)/* ∆х=1*∆х=∆х или dх =∆х, т.е. дифференциал аргумента равен его приращению.
Тогда дифференциал любой функции будет равен: dy=f /(x)*dх. Откуда производную можно представить в виде отношения дифференциала функции к дифференциалу аргумента: 
.
Используя обозначение дифференциала, приращение функции можно представить в виде: ∆у=dy+α(∆х)*∆х. Второй нелинейный член приращения: α(∆х)*∆х является б.малой величиной более высокого порядка, чем ∆х и ввиду его малости можно отбросить из выражения. Тогда приращение функции приблизительно равно её дифференциалу: ∆у » dy = f/(x)* ∆х.
Если представить приращение функции в виде: ∆у=f(x+∆х)-f(x) » f/(x)* ∆х, тогда можно записать f(x+∆х) »f(x) + f/(x)* ∆х. Данная формула используется для приближенного расчета значения функции в точке x+∆х по известному значению в точке х.
Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Если функция y=f(x) является дифференцируемой в точке х, то в этой точке она непрерывна.
Отметим, что всякая дифференцируемая на множестве D функция является непрерывной на этом множестве. Однако обратное утверждение не верно – не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Таблица производных элементарных функций
1. С /= 0,гдеС =const
2.  ,
где показатель  -число 3. 
4.  ,где е = 2,71...
5. 
6. 
7. 
| 8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
|
Основные правила дифференцирования
Пусть даны две дифференцируемые функции: f(x) и j(x).
1. Правило дифференцирования суммы, разности функций:
;
2. Правило дифференцирования произведения:
;
3. Правило дифференцирования частного (дроби):
.
4. Правило дифференцирования сложной функции.
Пусть дана функция у = f(u), где u = u(x) - промежуточный аргумент или промежуточная функция. Тогда у=f(u(x)) называется сложной функцией. Производная от сложной функции вычисляется по формуле: 
.
Пример: 
, т. к. (sin u)/=(sinu)/* u/ где u = x3.
4.7. Исследование функций с помощью производных
4.7.1. основные теоремы дифференциального исчисления
Основные теоремы дифференциального исчисления лежат в основе исследования функций с помощью производных.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения внутри отрезка в некоторой точке х=c, то производная в этой точке равна нулю: f /(c) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) внутри отрезка в точке х=c имеет наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, т.к. угловой коэффициент касательной, который определяется значением производной в этой точке равен нулю: кк=f /(c)=0.
Теорема Ролля. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка [а,b]существует точка х=с, в которой производная равна нулю: f /(c) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), принимающей на концах этого отрезка равные значения f(a)=f(b), существует такая точка х=с внутри отрезка, в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох.
Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [а,b], то внутри этого отрезка существует такая точка х=с, в которой производная равна
f /(c) = 
.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), существует такая точка х=с внутри отрезка [а,b], в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна секущей, соединяющей график на концах отрезка.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.малых или б.больших функций в точке х=х0 или на бесконечности при 
равен пределу отношения их производных: 
Правило Лопиталя используется для вычисления пределов при раскрытии неопределенностей типа: 
.
Примеры. Вычислить пределы:
1. 
;
2. 
.
4.7.2.Признак монотонности функций
Определение:Функция f(x) называется монотонной на интервале, если она на нем или только возрастает, или только убывает.
Если функция монотонно возрастает на интервале, то большему значению аргумента х2>x1, соответствует большее значение функции: f(x2)>f(x1).
Если функция монотонно убывает на интервале, то большему значению аргумента х2>x1, соответствует меньшее значение функции: f(x2)<f(x1).
На рисунке на интервале 
функция монотонно возрастает , а на интервале 
монотонно убывает.
Введем обозначения Dх = х2 - х1 - приращение аргумента и приращение функции: 
у = f(x2) - f(x1). Для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеют одинаковые знаки, а следовательно, отношение 
>0. Для убывающей функции приращения аргумента и функции имеют противоположные знаки, а следовательно, отношение 
< 0. Так как первая производная функции равна 
, то по знаку производной можно определять участки возрастания и убывания функции.
Необходимый и достаточный признак монотонности функции
Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема на интервале 
и ее производная положительна у¢>0, то функция на этом интервале монотонно возрастает, а если производная отрицательна у¢<0, то функция на интервале монотонно убывает.
Свяжем это с геометрическим смыслом первой производной, которая определяет угловой коэффициент касательной. Для возрастающей функции угол наклона касательной острый 00<a<900, а следовательно, у/=tga>0. Для убывающей функции этот угол тупой 900<a<1800, у/=tga<0.
Отметим, что если в точках первая производная равна нулю или не существует, то в этих точках функция не возрастает и не убывает. Здесь возможны:
· точки перегиба, в которых выпуклость графика функции сменяется вогнутостью или наоборот;
· точки локального экстремума, в которых участок возрастания функции сменяется участком убывания или наоборот.
Определение: Точки, в которых первая производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками I рода.
4.7.3. Локальные экстремумы функций
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума (или минимума) функции, если в некоторой окрестности точки х0 функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, т.е. для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется условие f(x) 
f(x0) (или f(x) 
f(x0)).
Точки локального максимума или минимума объединены общим названием - точками локального экстремума функции.
Отметим, что в точках локального экстремума функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения лишь в некоторой локальной области. Возможны случаи, когда по значению уmax уmin .
Необходимый признак существования локального экстремума функции
Теорема. Если непрерывная функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то в этой точке первая производная либо равна нулю, либо не существует, т.е. локальный экстремум имеет место в критических точках I рода.
В точках локального экстремума либо касательная параллельна оси 0х , либо имеются две касательные (см. рисунок). Отметим, что критические точки являются необходимым, но недостаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум имеет место только в критических точках I рода, но не во всех критических точках имеет место локальный экстремум.
Например: кубическая парабола у = х3, имеет критическую точка х0=0, в которой производная у/(0)=0, но критическая точка х0=0 не является точкой экстремума, а в ней имеет место точка перегиба (см. ниже).
Достаточный признак существования локального экстремума функции
Теорема. Если при переходе аргумента через критическую точку I рода слева направо первая производная у / (x)
1) меняет знак с “+” на “-”, то непрерывная функция у(х) в этой критической точке имеет локальный максимум;
2) меняет знак с “-” на “+”, то непрерывная функция у(х) имеет в этой критической точке локальный минимум
3) не меняет знак, то в этой критической точке нет локального экстремума, здесь имеет место точка перегиба.
Для локального максимума область возрастания функции (у/ 0) сменяется на область убывания функции (у/ 0). Для локального минимума область убывания функции (у/ 0) сменяется на область возрастания функции (у / 0).
Пример: Исследовать функцию у = х3 + 9х2 + 15х - 9 на монотонность, экстремум и построить график функции.
Решение:
1) Найдем критические точки I рода, определив производную (у/) и приравняв ее нулю: у/ = 3х2 + 18х + 15 =3(х2 + 6х + 5) = 0
Решим квадратный трехчлен с помощью дискриминанта: х2 + 6х + 5 = 0 (а=1, в=6, с=5) D= 
, 
, х1к = -5, х2к = -1.
2) Разобьем числовую ось критическими точками на 3 области и определим в них знаки производной (у/). По этим знакам найдем участки монотонности (возрастания и убывания) функций, а по изменению знаков определим точки локального экстремума (максимума и минимума).
Результаты исследования представим в виде таблицы, из которой можно сделать следующие выводы:
1. На интервале 
у /(-10)> 0 функция монотонно возрастает (знак производной у¢ оценивался по контрольной точке х = -10, взятой в данном интервале);
2. На интервале (-5 ; -1) у /(-2)< 0 функция монотонно убывает (знак производной у¢ оценивался по контрольной точке х = -2, взятой в данном интервале);
3. На интервале 
у /(0)> 0 функция монотонно возрастает (знак производной у¢ оценивался по контрольной точке х = 0, взятой в данном интервале);
1.При переходе через критическую точку х1к= -5 производная меняет знак с "+" на "-" , следовательно эта точка является точкой локального максимума
(ymax(-5) = (-5)3+9´(-5)2 +15´(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
2.При переходе через критическую точку х2к= -1 производная меняет знак с "-" на "+" , следовательно эта точка является точкой локального минимума
(ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).
х -5 (-5 ; -1) -1
y / + 0 - 0 +
Y 16 -16
max min
3) Построение графика выполним по результатам исследования с привлечением дополнительных расчетов значений функции в контрольных точках:
· строим прямоугольную систему координат Оху;
· показываем по координатам точки максимума (-5; 16) и минимума (-1;-16);
· для уточнения графика рассчитываем значение функции в контрольных точках, выбирая их слева и справа от точек максимума и минимума и внутри среднего интервала, например: у(-6)=(-6)3 +9´(-6)2+15´(-6)-9=9; у(-3)=(-3)3+9´(-3)2+15´(-3)-9=0;
у(0)= -9 Þ (-6;9); (-3;0) и (0;-9) – расчетные контрольные точки, которые наносим для построения графика;
· 
показываем график в виде кривой выпуклостью вверх в точке максимума и выпуклостью вниз в точке минимума и проходящей через расчетные контрольные точки.
4.7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба
Определение:График дифференцируемой на интервале (a;b) функции называется выпуклым (или вогнутым), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.
Так график кубической параболы у=х3 на интервале 
выпуклый и лежит ниже своих касательных, а на интервале 
вогнутый и лежит выше своих касательных.
Отметим, что выпуклость и вогнутость графика функции можно определять по знаку её второй производной. Для кубической параболы у=х3 график на интервале выпуклый, а вторая производная на этом интервале отрицательна у//=(3x2)/=6x<0(при x<0). На интервале её график вогнутый, а вторая производная на этом интервале положительна у//=6x>0(при x>0). Это связано с тем, что вторая производная определяет поведение первой производной. Для выпуклого участка угловой коэффициент касательной, который определяется первой производной, убывает, а следовательно вторая производная отрицательна, а для вогнутого участка наоборот угловой коэффициент касательной возрастает, а следовательно вторая производная положительная.
необходимыЙ и достаточныЙ признак выпуклости и вогнутости
Теорема. Если на интервале (а;b) вторая производная непрерывной функции положительна у//>0, то график функции вогнутый, а если вторая производная отрицательна у//<0, то график функции выпуклый.
Определение: Точка, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Необходимый признак существования точек перегиба
Теорема. Если непрерывная функция y=f(x) имеет точку перегиба хп, то в этой точке вторая производная равна нулю (у//=0) или не существует.
Определение: Точки, в которых вторая производная равна нулю (у//=0) или не существует называются критическими точками второго рода.
Согласно теоремы точки перегиба бывают только в критических точках второго рода, но не во всех в критических точках второго рода имеют место точки перегиба.
Достаточный признак существования точек перегиба
Теорема. Если при переходе аргументом через критическую точку второго рода хп вторая производная меняет знак, то эта критическая точка является точкой перегиба.
Так кубическая парабола у=х3 имеет точку перегиба хп=0, в которой её вторая производная у//=6хп=0 и при переходе через эту точку вторая производная меняет знак с «-» на «+».
4.7.5. асимптоты графиков функций
При исследовании поведения функций на бесконечности при х®∞ или вблизи точек бесконечного разрыва второго рода, когда у®∞ часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой.
Определение: Прямые к которым неограниченно близко приближаются графики функций называются асимптотами.
Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты имеют место в точках бесконечного разрыва второго рода, когда пределы в этих точках равны бесконечности.
Определение:Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если стремится к бесконечности хотя бы один из пределов: правый 
или левый 
.
Вертикальные асимптоты имеют место, когда функция неопределена в точке при делении на ноль.
Пример. Функция 
неопределена при
х-1=0 или х=1. В этой точке функция терпит бесконечный разрыв второго рода, т.к. 
-левый предел; 
-правый предел. Прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
Здесь же отметим, что на бесконечности при х®±∞ эта функция стремится к нулю: у=f(x) ® 0, т.к. 
=0. Горизонтальная прямая у=0, к которой стремится функция на бесконечности называется горизонтальной асимптотой.
Определение:Прямая у=b называется горизонтальной асимптотой графика функции у=f(x) при х®±∞, если равен числу b любой из пределов: 
.
Отметим, что эти пределы могут быть разными 
, а следовательно имеют место две горизонтальные асимптоты y=b1и y=b2.
Существуют также наклонные асимтоты.
Определение:Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х ®±∞, если равен нулю любой из пределов 
.
Для отыскания наклонной асимптоты используют следующую теорему.
Теорема. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали по два конечных предела 
.
С помощью этих пределов определяются параметры (k и b) наклонных асимптот. Причем пределы при х® - ∞ и при х® + ∞ вычисляются раздельно, т.к. возможны две разные наклонные асимптоты у=k1x+b1 и y= k2x+b2.
Отметим, что горизонтальная асимптота у=b является частным случаем наклонной асимптоты, когда 
.
4.7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков
Общая схема исследования функций и построения графиков включает следующие этапы:
1.Находится область определения функции D(y);
2.Находятся точки пересечения графика функции с осями координат: у(0) и у(х)=0 и определяются интервалы знакопостоянства функции;
3.Определяются точки разрыва функции, в которых нарушаются условия непрерывности, и вычисляются односторонние пределы в этих точках;
4.Находятся вертикальные асимптоты в точках бесконечного разрыва, а также наклонные и горизонтальные асимптоты при х® ± ∞;
5.Находятся критические точки первого рода, в которых первая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы монотонности, а по изменению знака определяются точки локального экстремума;
6.Находятся критические точки второго рода, в которых вторая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы выпуклости и вогнутости, а по изменению знака определяются точки перегиба;
7.Строится график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости рассчитывают несколько контрольных значений функции по её формуле.