А3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиомы стереометрии.

А1.Через любые три точки, не лежащие на данной прямой, проходит плоскость, и притом только одна;

Сл.1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна;

Сл.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна;

Сл.3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

А2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости;

А3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Основные фигуры стереометрии – точки (А, В, С…), прямые (а, b, c…), плоскости ( …), многогранники и тела вращения.

Многогранники
Призмы Пирамиды
Параллелепипед Куб Тетраэдр
     

Под секущей плоскостью объемной фигуры будем понимать плоскость, по обе стороны которой имеются точки данной фигуры.

За меру расстояния между точкой, прямой и плоскостью будем принимать длину их общего перпендикуляра.

 

2. Взаимное расположение прямых в пространстве.

В пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться.

1А Опр.Параллельными прямыми в пространстве называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. По сл. 3.Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
1Б Т1 (о транзитивности).Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
2А По сл.2.Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
3А Опр. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Т2(Признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.
3Б Опр.Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми.
3В Опр. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, имеющий концы на данных прямых и перпендикулярный к ним (расстояние между скрещивающимися прямыми).  

 

 

  1. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

В пространстве прямая и плоскость могут быть параллельными, пересекаться или прямая целиком может лежать в плоскости.

1А Опр.Прямая называется параллельной плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
1Б Т3(Признак параллельности прямой и плоскости). Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой лежащей в этой плоскости.
2А Опр. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
2Б Т4(признак перпендикулярности прямой и плоскости)Если прямая, пересекающая с плоскость, перпендикулярна к каким-нибудь двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой лежащей в этой плоскости.
2В Т5(о двух параллельных прямых, перпендикулярных третьей). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2Г Опр. Углом между прямой и плоскостью называется угол, между данной прямой и её проекцией на плоскость.
2Д Опр.Всякая иная прямая, отличная от перпендикуляра и пересекающая плоскость, называется наклонной к этой плоскости (рис. см. ниже). Опр.Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной. Т6 (о длине перпендикуляра и наклонной). 1) Перпендикуляр, проведённый к плоскости короче наклонной к этой плоскости; 2) Равным наклонным соответствуют равные проекции; 3) Из двух наклонных больше та, проекция которой больше.
2Е Т7(о трёх перпендикулярах).Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Т8 (обратная).Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной и перпендикулярно ей, перпендикулярна и проекции наклонной на данню плоскость.
3А По аксиоме 2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости

 

  1. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

В пространстве плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

1А Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  Т9 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
1Б Т10Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей 1).
1В Т11Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны (свойство параллельных плоскостей 2).
2А По аксиоме 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).  
2Б Т12 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
2В Опр.Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум лучам. Угол, образованный этими лучами называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла.