Cписок рекомендуемой литературы
Упражнения
Элементы комбинаторики
1.1В группе из двадцати студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать?
1.2Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для её заполнения требуется отметить шесть видов спорта из перечисленных в карточке сорока девяти видов?
1.3Сколько разных требований на три книги может составить читатель, если в библиотеке всего одна тысяча наименований книг?
1.4В ассортименте магазина десять видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют шесть видов, причём берётся одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить?
1.5Для составления новогодних подарков куплено шесть видов шоколадных конфет и восемь видов карамели. Для составления одного подарка используется четыре вида шоколадных конфет и пять видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)?
1.6Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок?
1.7На четвёртом курсе одного из факультетов читается шесть спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два
спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?
1.8Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восемь для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьми?
1.9Имеется колода из тридцати шести карт. Сколькими различными способами можно выбрать из неё:
а) три карты;
б) три карты, одна из которых – пиковая дама;
в) три туза;
г) три карты крестовой масти;
д) три красные карты?
1.10На девяти карточках написаны цифры от единицы до девяти. Из них выбирают три карточки и выкладывают друг за другом. Сколько различных трёхзначных чисел можно получить таким образом? Сколько различных трёхзначных чисел можно получить, если имеется десять карточек с цифрами от нуля до девяти?
1.11В забеге участвуют двенадцать спортсменов. Для выигрыша в спортивной лотерее надо правильно указать имена спортсменов, занявших первое, второе, третье места соответственно. Сколько существует способов указать имена победителей? Сколько среди этих способов таких, в которых спортсмен Петров указан первым?
1.12В первом ряду театральной ложи четыре места. Сколькими способами можно рассадить зрителей в первом ряду, если в ложу вошли восемь человек? Ответьте на тот же вопрос при условии, что первое место уже было занято до прихода этих восьмерых.
1.13У студента имеется семь учебников по разным предметам. Сколькими способами он может расставить пять учебников на полке? Сколько среди этих способов таких, в которых:
а) первым стоит учебник по теории вероятностей;
б) первым стоит учебник по теории вероятностей, а последний – по английскому язык?
1.14На карте пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трёх флажков, вывешенных в определённом порядке. Сколько различных сигналов может подать катер?
1.15В архиве сто дел. Сколько существует способов:
а) расставить десять дел на полке;
б) выдать десять дел по запросу?
1.16Сколько различных очередей можно составить из шести человек, пришедших одновременно в кассу для получения зарплаты? Сколько среди этих очередей таких, в которых первым будет гражданин Иванов?
1.17Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, записанных на пяти карточках? Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) начинаются с цифры 5;
б) являются чётными?
1.18Всего для первокурсников читается пять различных курсов лекций. На второе сентября планируется по расписанию три лекции по разным предметам. Сколькими способами можно составить расписание на второе сентября? Сколько среди них способов, в которых:
а) на первой паре читаются лекции по высшей математике;
б) второго сентября нет лекции по высшей математике?
1.19Среди двадцати человек, приглашённых на праздничный вечер, разыгрывается пять различных призов лотереи. Человек, выигравший приз, в дальнейшем розыгрыше не участвует. Сколькими различными способами могут распределиться призы между участниками лотереи (предусматривается, что каждый приз кем-то выигрывается)? Сколько среди этих способов таких, при которых:
а) призы получили пять человек, пришедших первыми;
б) Иванов получил приз, а Сидоров не получил?
1.20Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы из данных пяти языков на любой другой из этих пяти языков?
1.21Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых нет нулей и единиц?
Упражнения
2.1 События: А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный; В – все приборы доброкачественные. Что означают события: А+В, А . В?
2.2События: А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное; В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события 
и 
?
2.3Когда возможно равенство АВ = А?
2.4Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выиграет первый игрок, В – выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
2.5Назвать противоположные для следующих событий: А – выпадение двух гербов при одном бросании двух монет; В – ровно одно попадание в мишень при одном залпе двух стрелков; С – извлечение двух шаров одного цвета из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров.
2.6Завод выпускает определенного вида изделия. Какое изделие может иметь дефект первого рода (событие А) или дефект второго рода (событие В). Что означают следующие события: А+В; АВ; 
? Выразить событие С – изделие не имеет дефектов – через рассмотренные события.
2.7По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Ai – попадания при i-ом выстреле (i=1;2;3). Представить следующие события: A – все три попадания;
B – все три промаха;
C – хотя бы одно попадание;
D – ровно два попадания.
2.8Наудачу отобранная деталь может оказаться деталью 1-го сорта (событие А), 2-го сорта (событие В) или 3-го сорта (событие С). В чем состоят события: А+В; 
; АВ+С?
2.9Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А – выбранное число делится на 5. Событие В – данное число оканчивается нулем. Какие из указанных равенств являются правильными:
А + В = А; АВ = А; А + В = В; АВ = В?
2.10Два стрелка стреляют по одной цели, событие А – попадание первого стрелка в цель, событие В – попадание второго стрелка в цель. В чем состоят события: 
2.11Событие А состоит в том, что студент – юноша.
Событие В – юноша не курит; событие С – юноша живет в общежитии. В чем состоит событие 
? При каком условии 
; 
2.12Из первых ста натуральных чисел наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что это число делится хотя бы на одно из чисел 2 и 3?
Решить, используя теорему сложения вероятностей.
2.13 В читальном зале 6 учебников по теории вероятностей, из них 3 в переплете. Взяты наугад 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника находятся в переплете.
2.14 Продавец обслуживает в магазине два отдела. Вероятность того, что в течение часа ему придется отпустить товар из первого отдела, равна 0,7; из второго отдела – 0,9. Какова вероятность, что в течение часа продавец отпустит товар из обоих отделов? Какова вероятность, что в течение часа он вообще не будет отпускать товар?
2.15В некотором производстве, изготовляющем массовое количество изделий, 96% всей продукции составляет стандартная продукция, 85% стандартной продукции составляют изделия первого сорта. Случайным образом отбирается одно изделие. Какова вероятность, что оно окажется изделием первого сорта?
2.16Рабочий обслуживает 2 станка. Вероятность того, что в течение часа один станок потребует его внимания, равна 0,2; другой – 0,3. Какова вероятность, что в течение часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего?
2.17Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что станок (любой) в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего:
а) все четыре станка;
б) ни один станок;
в) по крайней мере, один станок.
2.18Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,3; вторым – 0,7. Два стрелка стреляют одновременно. Какова вероятность того, что цель не будет поражена?
2.19В магазин поступило 14 телевизоров, из которых 5 требуют дополнительной регулировки. Какова вероятность того, что среди двух отобранных случайным образом для продажи телевизоров потребуют регулировки:
а) хотя бы один телевизор;
б) оба телевизора.
2.20Завод изготовляет определенного типа изделия, причем каждое изделие с вероятностью Р1 может иметь дефект. После изготовления изделие осматривается контролером, который обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью Р2. В случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Если же дефект не обнаружен, то изделие пропускается в готовую продукцию. Определить вероятность того, что выбранное наугад изделие с дефектом пропущено в готовую продукцию.
2.21Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле (вероятность попадания не меняется от выстрела к выстрелу).
2.22Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время:
а) совместной работы комбайнов;
б) работы только одного комбайна;
в) простоя двух комбайнов.
2.23Имеется 25 электрических лампочек, из которых 4 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными.
2.24При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов; вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Определить вероятность того, что разрыва цепи не произойдет.
2.25В лотерее участвует 1000 билетов, из которых на один билет выпадает выигрыш 200 руб., на 10 билетов – 50 руб., на 20 билетов – 10 руб. На остальные билеты выпадает выигрыш 1 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 10 руб. при покупке одного билета.
2.26Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания при одном выстреле в первую зону равна 0,18, во вторую – 0,22, в третью – 0,3. Определить вероятность промаха.
2.27Партия из ста деталей подвергается контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной дефектной детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия не будет принята, если она содержит три процента дефектных деталей?
2.28Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20 % – юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?
2.29Три исследователя, независимо один от другого, производят измерение некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показателей прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.
Вопросы для самоконтроля
1.Что понимается под суммой двух событий? Приведите примеры.
2.Какие события называются совместными, а какие – несовместными? Приведите примеры.
3.Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Приведите примеры их использования.
4.Что называется полной группой событий? Приведите примеры.
5.Какие события называются противоположными? Как связаны вероятности противоположных событий?
6.Что понимается под произведением двух событий? Приведите примеры.
7.Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.
8.Что понимается под условной вероятностью? Как она вычисляется? Приведите примеры.
9.Сформулируйте теорему умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Приведите примеры.
Упражнения
3.1 Магазин получил однородный товар с двух складов, причем с первого склада было получено в 1,5 раза больше, чем со второго. Известно, что 80% изделий с первого склада и 50% изделий со второго склада являются первосортными. Какова вероятность того, что взятая наугад единица товара в этом магазине окажется первого сорта?
3.2 Имеются 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по два черных и два белых шара, а в одной урне – 5 белых шаров и один черный шар. Из одной наугад взятой урны извлечен шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым? 3.3 Два товароведа проверяют изделия на стандартность, причем первый товаровед проверил 55%, а второй – 45%. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным для первого товароведа равна 0,95; для второго – 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед?
3.4 В тире имеется 9 ружей, из которых пристрелянными являются только два. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8; а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из одного наудачу выбранного ружья мишень поражена. Определить вероятность того, что взято пристрелянное ружье.
3.5 Для контроля продукции из 3-х партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других – все годные? Считать, что вероятность выбора детали из каждой из 3-х партий одна и та же.
3.6 Из ста студентов, пришедших сдавать экзамен: 80 подготовились к экзамену, а 20 не подготовились. Вероятность того, что подготовившейся студент сдаст экзамен равна 0,9; неподготовившийся студент сдаст экзамен равна 0,05. Наудачу выбранный студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что он к экзамену был подготовлен?
3.7 Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое число).
3.8 В магазин от двух поставщиков поступила женская обувь в одинаковых упаковках. От первого поставщика поступило 480 пар, из них 360 пар черного цвета. От второго поставщика поступило 320 пар, в том числе 120 пар обуви черного цвета. Какова вероятность того, что она поступила от второго поставщика?
3.9 Два товароведа производят приемку партии изделий по качеству. Вероятность того, что очередное изделие попадает к первому товароведу, равна 0,4, а ко второму – 0,6. Первый товаровед выявляет дефектное изделие с вероятностью 0,95, второй – с вероятностью 0,8. Одно из дефектных изделий было признано годным к эксплуатации. Какова вероятность того, что изделие проверял второй товаровед?
3.10 Укупорка банок томатного сока производится двумя автоматами, продукция которых поступает в общий конвейер. Производительность второго автомата в 1,5 раза выше производительности первого. Доля банок с дефектами укупорки в среднем составляет 0,5% у первого и 0,02% у второго автомата. Какова вероятность того, что взятая наугад банка сока будет иметь дефекты укупорки?
3.11 Покупатель может приобрести некоторое изделие в двух магазинах. Вероятность обращения его в каждые из магазинов зависит от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к моменту прихода покупателя нужное ему изделие уже будет распродано, равна 0,2 для первого и 0,6 для второго магазина. Покупатель посетил один из этих магазинов и приобрел изделие. Какова вероятность того, что он купил его в первом магазине?
3.12 Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс: вероятность обращения его в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятности того, что в кассах билетов уже нет, такие: для первой кассы – 0,1, для второй – 0,5. Пассажир обратился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел билет в первой кассе?
3.13 На базу поступает чай от двух чаеразвесочных фабрик. От первой фабрики поступает чая в 4 раза больше, чем от второй. Первая фабрика поставляет 5% дефектных упаковок, вторая – 10%. Найти вероятность того, что случайно выбранная упаковка, оказавшаяся дефектной, поступила от первой фабрики.
3.14 Товаровед овощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию первым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию – первосортной. Это происходит с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт партии яблок?
3.15 Имеется две партии однородных изделий. Первая партия состоит из 10 изделий, среди которых 2 дефектных. Вторая партия состоит из 20 изделий, среди которых 6 дефектных. Из первой партии берется случайным образом 3 изделия, а из второй 2 изделия. Эти 5 изделий смешиваются и образуется новая партия. Из первой смешанной партии берется наудачу одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.
3.16 В ящике находится 6 новых теннисных мячей и 4 игральных. Из ящика наугад вынимаются два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращаются в ящик. Для следующей игры из ящика снова берут два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.
3.17Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Что более вероятно, попал первый стрелок или нет?
Ответ: более вероятно, что попал первый стрелок
3.18 В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживается первым операционистом и 40 – вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом , составляют 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.
3.19 Имеются три урны. В первой урне два белых и один черный шар, во второй – три белых и один черный, в третьей – два белых и два черных шара. Наугад выбирают одну из урн и из нее вынимают шар. Найти вероятность того, что это шар белый.
3.20 40% автомашин собирается из деталей высокого качества, а остальные – из деталей обычного качества. Если автомашина собирается из деталей высокого качества, то вероятность безотказной работы в течение трех лет равна 0,95, а если из деталей обычного качества, то эта вероятность равна 0,7. Купленная автомашина безотказно работала в течение трех лет. Найти вероятность того, что она собрана из высококачественных деталей.
3.21 При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний 
Их вероятности в данных условиях: P( 
)=0,6, P( 
)=0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезни вероятность положительной реакции равна 0,9, отрицательной – 0,1; в случае положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ произвели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной (событие А). Требуется найти вероятность каждого заболевания после проделанных анализов.
3.22 В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98,88 и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?
3.23 В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви была отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это: а) сапоги, б) туфли?
3.24 Из коробки, содержащей 3 белых и 3 черных шара, переложены 2 шара в коробку, содержащую 4 белых и 4 черных шара. После этого из второй коробки извлекли шар, который оказался белым. С какой вероятностью переложенные шары были одного цвета?
3.25 В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% - из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором цехе – 95%. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.
3.26 Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса, которые включают 20%, 50% и 30% водителей соответственно. Вероятности того, что в течение года водитель попадет в аварию, равна 0,01; 0,03; 4,01 соответственно для каждого класса. Наугад выбранный водитель два года подряд из пяти лет срока страховки попадал в аварию. Какова вероятность того, что он относится: а) к первому классу; б) к третьему классу?
3.27 Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в других – 3/4 доброкачественных?
3.28 Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.
3.29 Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый производит деталей в 3 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго 0,015. Одна взятая наудачу деталь оказалось годной для сборки. Найти вероятность того, что она выработана на втором станке.
3.30 На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом и 30% – вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 штук удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.
Вопросы для самоконтроля
1. Когда используется формула полной вероятности? Приведите примеры.
2. Каков смысл формулы Байеса? Приведите примеры ее использования.
Упражнения
4.1 Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет (появится):
а) четыре раза;
б) ни разу;
в) хотя бы один раз.
4.2 Что вероятнее выиграть у равносильного противника-шахматиста: две партии из четырех или три из шести? Ничья во внимание не принимается.
4.3 В семье трое детей. Какова вероятность того, что:
а) все они мальчики,
б) один мальчик и две девочки.
Считать вероятность рождения мальчика 0,51, а девочки – 0,49.
4.4 Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превышает установленной нормы, равна 0,75. Найти:
1) вероятность того, что в ближайшие шесть суток расход электроэнергии в течение четырех суток не превысит нормы;
2) расход электроэнергии не превысит нормы не менее чем пять суток из шести.
4.5 При оценке качества продукции установлено, что в среднем 10% продукции, выпускаемой фабрикой, имеет различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в партии из шести пар, поступившей в магазин, будут иметь дефекты отделки три пары?
4.6 Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что по крайней мере один из четырех билетов выиграет?
4.7 Батарея произвела шесть выстрелов по военному объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти:
1) наивероятнейшее число попаданий;
2) вероятность наивероятнейшего числа попаданий;
3) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.
4.8 Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, в трех и в четырех магазинах.
4.9 Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
4.10 Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен равна 0,9. выписано 80 чеков. Какое наивероятнейшее число чеков будет оплачено?
4.11 Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят пять абонентов?
4.12 Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировки будет повреждено:
а) ровно три изделия;
б) более трех изделий.
4.13 Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно равна 0,001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
4.14 На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?
4.15 Отбирается 1000 изделий. Доля брака составляет 0,001. Найти вероятность того, что в выборке окажется не более одного бракованного изделия.
4.16 На лекции по теории вероятностей присутствуют 84 студента. Какова вероятность того, что среди них есть два студента, у которых сегодня день рождения?
4.17 Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 100 раз событие А – появление герба – наступит ровно 60 раз.
4.18 Найти такое число m, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать, что среди 800 новорожденных более m девочек. Считать, что вероятность рождения девочки равна 0,485.
4.19 При оценке качества продукции было установлено, что в среднем 30% выпускаемой фабрикой обуви имеют различные дефекты отделки. Какова вероятность того, что в полученной магазином партии из 189 пар обуви этой фабрики:
1) будут иметь дефект отделки ровно 60 пар;
2) не будут иметь дефектов отделки от 126 до 140 пар обуви?
4.20 Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем 90% выпускаемых изделий не имеют дефектов. Какова вероятность того, что среди 400 выбранных наугад и проверенных изделий не будут иметь дефектов: 1) ровно 363 изделия;
2) от 354 до 372 изделий?
Вопросы для самоконтроля
1.Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры независимых испытаний.
2.Какая последовательность независимых испытаний называется схемой Бернулли?
3.Сформулируйте условия задач, для решения которых применяется формула Бернулли.
4.Что такое наивероятнейшее число появлений события? Как оно определяется?
5.Асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности Pn(m) при n:
а) формула Пуассона;
б) локальная формула Муавра-Лапласа;
в) интегральная формула Муавра-Лапласа, условия применения этих формул.
Упражнения
5.1 Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, а вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень, построить график этого распределения.
5.2 Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Составить ряд распределения числа попаданий и построить график этого распределения. Составить функцию распределения F( 
) и построить её график.
5.3 В организованной лотерее среди 50 билетов два билета выигрывают вещи по 10 рублей и один билет – 30 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для человека, который приобрел один билет за один рубль.
5.4Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдано пять патронов и стрельба производится до первого попадания, либо до окончания патронов. Составить закон распределения числа использованных патронов.
5.5 В коробке имеется три лампочки, каждая из которых с вероятностью р=0,1 имеет дефект. Из коробки наугад вынимается лампочка и ввинчивается в патрон. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Построить закон распределения случайной величины Х – числа вынутых лампочек, найти её математическое ожидание и дисперсию. Составить функцию распределения вероятности F( ) и построить её график.
5.6 Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого – 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75. Случайная величина Х – число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Составить закон распределения случайной величины Х и построить его график. Найти математическое ожидание М( 
).
Вычислить: 1) 
;
2) вероятность того, что не более двух станков потребуют
внимания рабочего.
5.7 Три стрелка произвели по мишени по выстрелу с вероятностью попадания 0,6; 0,8; 0,9. Составить закон распределения числа попаданий. По найденному закону найти вероятность:
1) хотя бы одного попадания;
2) более одного попадания;
3) менее двух попаданий;
4) хотя бы одного промаха.
5.8 Найти математическое ожидание числа выпавших очков при однократном подбрасывании одной игральной кости.
5.9 Случайная величина Х принимает три возможных значения : -1; 0; 1 с вероятностями соответственно р1, р2, р3 . Найти закон распределения случайной величины Х, если известны М(Х)=0,3; М(Х2) = 0,7
5.10 Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р2=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3 ,зная, что М(Х) =8
5.11 Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85% , вторым – 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти: а) математическое ожидание,
б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.
5.12 Задан ряд распределения:
| Х | ||||||
| р | 0,40 | 0,20 | 0,20 | 0,05 | 0,10 | 0,05 |
Найти М(Х), (Х) и М (2Х2 + 3).
5.13 Даны законы распределения независимых случайных величин:
| х | -4 | ||
| р | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
| У | ||
| р | 0,5 | 0,5 |
Найти М(Z) и D(Z), если Z = (Х+У)/2
5.14 Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
| Х | -4 | -2 | |||||
| р | 0,05 | р | 0,12 | 0,23 | 0,32 | 0,14 | 0,04 |
Найти:
1) неизвестную вероятность р;
2) математическое ожидание М(Х); дисперсию D(Х) и среднее
квадратическое отклонение (Х);
3) функцию распределения F( ) и построить её график;
4) закон распределения случайной величины У, если значения заданы функциональной зависимостью 
..
5.15 Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти:
1)плотность вероятности случайной величины Х;
2) математическое ожидание М(Х);
3) построить графики функций F( ) и f(x) .
5.16 Дана плотность вероятности f(x) случайной величины Х:
f(x) 
Найти функцию распределения F( ). Какова вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу 
5.17 Кривая распределения случайной величины Х задана графиком (рисунок 5.9)
Рисунок 5.9 – Плотность распределения НСВ Х
Найти:
1) постоянный параметр С;
2) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х);
3) функцию распределения F( )
5.18 Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
5.19 Дана функция:
f(x) 
При каком значении функция f(x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины. Определить значение , найти математическое ожидание М(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х).
5.20 Случайная величина Х в интервале (0; ) задана плотностью вероятности f(x)=0,5sin ; вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию D(Х).
5.21 Случайная величина Х – время безотказной работы токарного станка. Известно, что плотность распределения случайной величины Х имеет вид:
f(x) 
Найти:
1) значение параметра А;
2) функцию распределения F( );
3) определить вероятность того, что случайная величина Х по
падает в интервал (-3; ln2);
4) построить график функций f(x) и F( ).
Вопросы для самоконтроля
1.Определение случайной величины.
2.Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры случайных величин.
3.Способы задания закона распределения вероятностей дискретной случайной величины.
4.Функция распределения F( ), её свойства.
5.Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.
6.Вероятность попадания дискретной и непрерывной случайных величин на промежуток.
7.Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины; формулы для их нахождения.
8.Формулы для нахождения математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины.
Упражнения
6.1 Монету бросают пять раз. Составить ряд распределения случайной величины Х – число выпадений герба.
6.2 На абонементное обслуживание поставлено пять телевизоров. Известно, что для группы из пяти телевизоров математическое ожидание числа отказавших за год равно единице. Если телевизоры имеют одинаковую вероятность безотказной работы, то какова вероятность что за год потребуется хотя бы один ремонт?
6.3 Приемщица за один час принимает в среднем две заявки. Предполагается простейший поток заявок. Чему равна вероятность поступления не менее четырех заявок за четыре часа? (Воспользоваться распределением Пуассона)
6.4 Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов по цели до первого попадания.
6.5 Вероятность сдать заказ в ателье равна 
. Настойчивый клиент обходит все имеющиеся в городе ателье, пока не добьется успеха. Какова вероятность, что ему это удастся не раньше, чем с третьего раза, если по статистике среднее число попыток равно 5.
6.6 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения пять минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут.
6.7 Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом две минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – времени ожидания поезда.
6.8 Радиосистема, имеющая тысячу элементов (с интенсивностью отказов 
), прошла испытание и принята заказчиком. Требуется определить вероятность безотказной работы системы в интервале
, где 
час.
6.9 Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону 
при 
и 
при 
. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
6.10Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение 
.
Найти вероятность того, что за 
часа элемент: 1) откажет;
2) не откажет.
6.11 Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
6.12 Случайная величина Х – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов
6.13 Математическое ожидание нормально распределенной величины Х равно 
и среднее квадратическое отклонение 
. Написать плотность распределения вероятности случайной величины Х.
6.14 Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью
Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х.
6.15 Пусть срок службы отдельной электролампочки данной партии нормально распределенная случайная величина Х с параметрами 
час, 
час. Определить вероятность того, что срок службы взятой наугад лампочки, из данной партии:
1) находится в пределах от 980 час до 1036;
2) отклоняется от среднего срока службы час не более, чем на ±24 час
6.16Пусть вес отдельного яблока (в граммах) есть случайная величина Х, плотность распределения вероятности которой описывается функцией:
Чему равны математическое ожидание М(Х) и среднее квадратическое отклонение 
этой случайной величины? Определить вероятность того, что вес Х взятого наугад из данной партии яблока:
1) будет находиться в пределах от 124г до 148г;
2) отклоняется от среднего веса не более, чем на ±8г
6.17 Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Принимая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 
мм, найти вероятность того, что наугад взятый шарик будет годным.
6.18 Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием a=10мм и средним квадратическим отклонением 
мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
6.19 Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно 2см, а математическое ожидание равно 16см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение величины Х.
6.20 При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром 
мм. Производится три независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2мм
Вопросы для самоконтроля
1.Каковы параметры биномиального распределения случайной величины? Каков их смысл? Приведите примеры.
2.Каковы параметры распределения Пуассона дискретной случайной величины? Каков их смысл? Приведите примеры.
3.Равномерное распределение и его числовые характеристики.
4.Показательное распределение и его числовые характеристики.
5.Нормальное распределение и его числовые характеристики.
6.Функция Лапласа, ее свойства. Правило трех сигм.
7.Как влияют параметры 
и 
на форму кривой Гаусса? Каков их вероятностный смысл?
8.Как можно вычислить вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал?
Приложение А
Таблица А.1 – Значения функции Гаусса: 
| x | ||||||||||
| 0,0 | 0,3889 | |||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | ||||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 |
Продолжение таблицы А.1
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | ||||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 | ||||||||||
| 2,5 | ||||||||||
| 2,6 | ||||||||||
| 2,7 | ||||||||||
| 2,8 | ||||||||||
| 2,9 | ||||||||||
| 3,0 | ||||||||||
| 3,1 | ||||||||||
| 3,2 | ||||||||||
| 3,3 | ||||||||||
| 3,4 | ||||||||||
| 3,5 | ||||||||||
| 3,6 | ||||||||||
| 3,7 | ||||||||||
| 3,8 | ||||||||||
| 3,9 |
Приложение Б
Таблица Б.1 – Нормированная функция Лапласа 