Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (6.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида 
. Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1, у2 и у3: 
где все коэффициенты аij (i,j= 1,2,3) - постоянные. Будем искать частное решение системы (6.6) в виде: 
где а, β, γ, k - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6). Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель 
получим: 
Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: 
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно К. Рассмотрим возможные случаи. Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k1 k2, k3. Для каждого корня ki (i=1,2,3) напишем систему (6.8) и определим коэффициенты 
(один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем: для корня k1 частное решение системы (6.6): 
для корня 
для корня 
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (6.6) записывается в виде 
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: 
Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации, применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида 
Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k2=а- ib не даст новых линейно независимых действительных решений.
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности m (m=2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде: а) если m=2, то 
б)если m=3, то 
,
Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А,В,С,... ,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6.6)
23.Устойчивость решений дифференциальных уравнений.Асимптотическая устойчивость. Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.
Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений 
(24.1) с начальными условиями yi(t0) = yi0 .
Определение 24.1. Решение φi (t) (ǐ = 1,2,…,n) называется устойчивым по Ляпунову, если 
такое, что для всякого решения yi (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам 
, для всех 
справедливы неравенства 
(24.2) (то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех 
).Если хотя бы для одного решения yi (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φi (t) называется неустойчивым. Если решение φi (t) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию 
(24.3)
при 
, то это решение называется асимптотически устойчивым. Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.
На рисунке чёрным изображена устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (1, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории.
На рисунке чёрным изображена неустойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.2, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории
На рисунке чёрным изображена асимптотически устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.3, 0), и две, начинающиеся вблизи неё, траектории.