Типы точек покоя. Узел, седло.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

(24.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

. (24.5)

Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости .Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид

(24.6)

и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

, (24.7)

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Точки покоя. Точка фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой, если и .Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.Исследование особых точек системы.Если система неоднородная, а j_i(t) – ее решение, то с помощью замены y_i = x_i(t) – j_i(t) систему можно свести к однородной, причем решение j_i(t) исходной системы будет соответствовать нулевому решению полученной однородной системы. Таким образом, на устойчивость исследуют нулевое решение соответствующей однородной системы. Пусть мы рассматриваем характеристическое уравнение некоторой системы: При n=2:

устойчивый узел

2) k₁ ¹ k₂, k₁ > 0, k₂ > 0

Неустойчивый узел

3) k₁ ¹ k₂, k₁ > 0, k₂ < 0

Седло неустойчивая

Типы точек покоя. Фокус. Центр.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

(24.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

. (24.5)

Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости .Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид

(24.6)

и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

, (24.7)

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Точки покоя. Точка фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой, если и .Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.Исследование особых точек системы.Если система неоднородная, а j_i(t) – ее решение, то с помощью замены y_i = x_i(t) – j_i(t) систему можно свести к однородной, причем решение j_i(t) исходной системы будет соответствовать нулевому решению полученной однородной системы. Таким образом, на устойчивость исследуют нулевое решение соответствующей однородной системы. Пусть мы рассматриваем характеристическое уравнение некоторой системы: При n=2:

центр(устойчивый) центр(устойчивый)

Центр(устойчивый)

Фокус устойчивый.

26. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

27. Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

№28. Система дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка :

Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями , рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями

+ 8 =0, + 2 =0 ∞ <x< +∞ 0 <t< ∞

(x, 0) = f(x), (x, 0) = d(x)

Эта задача может соответствовать определению давления и плотности , как функция пространственной координаты x и времени t по известным распределениям этих величин в нач. момент.

Запишем систему уравнений в матричной форме

+ =

+ A = (8.7)

A = = = =

Введение новой неизвестной функции v = с помощью преобразования u = pv, где p- матрица , по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.

Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :

det (A –λ E)=0

или = 0 ó – 16 = 0 = 4 = - 4

Найдём собственный вектор соответствующий собственному значению = 4 из системы

(A – E) ( ) = 0 = =1 , =2 => Аналогично найдем вторую СВ,соот-щую = - 4

= = 1, = - 2 Тогда матрица Р будет иметь вид

P= = = det p= 4

AP = = = = B

Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определения v получится очень простая система два уравнения относительно новых оказываются независимыми .После этого по формуле u=pv находится искомая функция ,но сначала выясним, как выглядит система для определения v ,продифференцировав обе части соотношения по u=pv получаем :

= p = p (8.8)

Теперь подставим соотношения (8.8) в систему : + A = 0

+ AP = 0 │*

+ A =0; + B = 0 (8.9)

Раньше мы уже видели , что B

Запишем (8.9) в развернутой форме : (8.10)

Получилась система из 2х несвязанных уравнений, которые решаются независимо ,их решениями будут : + =0

- =0 = x- 4t = = ϕ (x-4t) : = x+4t = = (x+4t)

Для получения общего решения нужно выполнить по формуле :u=pv

= =

(x, t) =

(x, t) =

Решается задание Коши:

│

4 = +2 (x) = (f(x)+2g(x)) 4 Ψ(x)= 2 , Ψ(x)= (2g(x)- f(x)) =>

Ответ : (x, t) = (f(x-4t)+2g(x-4t))- (2g(x+4t)-f(x+4t)) (x, t) = (f(x-4t)+2g(x-4t)+ (2g(x+4t)-f(x+4t))

Замечание : часто численные методы ориентированы на решение систем уравнений , а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему ур-ний первого порядка.

29.Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда.