ЗАНЯТИЕ 14. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение системы ДУ к одному уравнению высшего порядка
Общие сведения. Учитывая, что в предлагаемых для самостоятельных упражнений заданиях мы ограничиваемся системами, состоящими из двух уравнений, все общие выражения относим только к системам двух дифференциальных уравнений: 
(1)
где функции 
, 
– заданные, дифференцируемые.
Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).
1). Продифференцируем уравнения (1.1) и (1.2) системы (1) по 
, учитывая, что 
– некоторые функции независимой переменной : 
. (2)
Воспользовавшись уравнениями (1.1) и (1.2), запишем выражение (2) в виде:
. (3)
2). Из выражений (1.1) и (3) составим систему уравнений: 
(4)
Для удобства, в системе уравнений (4) принято: 
, 
. Применяя общие правила решения системы уравнений, выразим (считая, что это возможно!) из уравнения (4.1) функцию 
и подставим её в уравнение (4.2):
. (5)
3). Уравнение (5) – дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции 
. Решая это уравнение, получим: 
, (6)
где 
, 
– произвольные постоянные. Используя решение , вычисляем 
и записываем: 
.
4). Используя решения и , оформляем общее решение исходной системы (1).
Пример 1–412: Решить систему уравнений: 
(1)
Решение:
Замечание: система уравнений не является линейной, применим метод сведения системы уравнений к одному уравнению 2-го порядка относительно 
или 
.
1). Продифференцируем по t уравнение (1.1): 
=– 
, учтём (1.2) =– 
. Далее учитываем из (1.1): 
= 
, после чего получаем уравнение: 
, или 
. Последнее равносильно уравнению 
.
2). Интегрируя уравнение , получаем: 
= 
, или 
.
3). Учитывая уравнение (1.1), из выражения = получаем: 
.
4). Общее решение записывается в виде системы: 
.
Ответ: общее решение системы: .
Пример 2–414: Решить систему уравнений: 
(1)
Решение:
1). Умножив (1.1) на и учитывая (1.2), получим: 
. Интегрируя последнее, легко получаем: 
.
2). Перепишем (1.1), применяя тождественные преобразования: 
= 
= 
+ 
. Учитывая (1.2), запишем: = + 
, или 
=– 
. Последнее уравнение легко интегрируется (если иметь в виду 
): 
.
3). Используя выражения и , легко получить (сложив эти выражения!): 
. Модифицируя постоянные: 2 ; 2 , запишем: 
. Возводя последнее выражение в квадрат, и учитывая выражение , получим: 
= 
. Используя 
, нетрудно получить 
= 
.
Замечание: Пример хорошо иллюстрирует возможности импровизации при решении системы ДУ применением метода сведения системы к одному уравнению высшего порядка.
Ответ: общее решение системы: 
.
Пример 3–416: Решить систему уравнений: 
(1)
Решение:
1). Из уравнения (1.1) получим: 
= 
, аналогично из (1.2): 
= . Эти два выражения дают: = 
.
2). Учитывая , перепишем (1.1): = 
= 
. Или в виде: = 
– однородное уравнение в стандартной форме. Его стандартное решение даёт: 
. Замечание: проверка условия: 
здесь не нужна из-за участия произвольной постоянной величины .
Ответ: общее решение системы: 
.
Пример 4–418: Решить систему уравнений: 
= 
= 
(1)
Решение:
1). Из уравнения: = получаем: 
. Учитывая полученное выражение, запишем уравнение: 
= или: =1+ 
.
2). Полученное уравнение стандартным алгоритмом приводится к уравнению с разделяющимися переменными! Пусть: 
, вычислим производную по переменной , имеем: 
. Тогда 
, окончательно: 
– переменные разделились! Интегрируя последнее, получаем выражение: 
, или 
.
Ответ: общее решение системы: , .
Пример 5–420: Найти общее и частное решения: 
, 
. (1)
Решение:
1). Продифференцируем уравнение (1.2): 
=– 
= 
. Учитывая уравнение (1.2) получим уравнение: 
, которое не содержит переменной и решается понижением порядка. 
. Тогда имеем: 
, или (так как из уравнения (1.2): 
) уравнение: 
– уравнение с разделяющимися переменными, откуда: 
и далее выражение: 
.
2). Дифференцируем выражение: и используем уравнение (1.2). Полученное выражение для функции : 
.
3). Общее решение уравнения: , .
4). Используя заданные начальные условия, имеем: 
, 
, откуда получаем величины 
, 
. Записываем частное решение: 
, 
.
Ответ: Частное решение: , .
Пример 6–422*: Для системы уравнений: 
и функций 
и 
.
проверить, являются ли соотношения 
первыми интегралами системы.
Решение:
Замечание: 
является первым интегралом системы 
, 
тогда и только тогда, когда: 
. (1)
1). Проверим уравнение (1) для функции 
: 
– тождественно. Является.
2). Проверим уравнение (1) для функции 
: 
. Не является.
Ответ: соотношение 
– является, а соотношение 
– не является.
Пример 7–427: Решить систему уравнений: 
(1).
Решение:
1). Перепишем уравнение (1.1): 
. Для дальнейшего использования уравнение (1.2) запишем в виде: 
.
2). Продифференцируем уравнение (1.1): 
. Учитывая выражения для функции 
и для произведения 
, получим уравнение 
, которое после умножения на 
. принимает вид: 
– уравнение Эйлера. (2)
3). Применим подстановку: 
.Вычисляя производные 
, 
и учитывая уравнение (2), получаем уравнение: 
. Его корни: 
= 
, 
= 
.
4). Записываем ФСР: 
= 
и 
= 
. Общее решение: 
= 
.
5). Вычислим производную: 
. Учитывая полученное ранее выражение , получаем: = 
.
Ответ: общее решение системы = ; = .
Замечание: обратим внимание на особенности применения способа решения системы ДУ сведением к уравнению высшего порядка для одной из искомых функций: здесь интенсивное применение средств математического анализа сочетается с достаточно тонкими средствами школьной алгебры!..
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
| Дом. | Л-2, Гл. 10 | № 413, 415, 417, 419, 421, 429. |
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое «нормальная форма» записи системы уравнений 1-го порядка?
2. Как уравнение n-го порядка представить в виде системы уравнений 1-го порядка?
3. Как систему уравнений 1-го порядка сводят к одному уравнению n -го порядка?
4. Как записывают начальные условия для системы трёх уравнений 1-го порядка?
< * * * * * >