Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!

Прочти, реши и опять прочти!..

Настоящее методическое пособие предназначено помочь студентам в освоении теоретических вопросов предмета «Дифференциальные уравнения» путём использования подробно решённых задач и примеров.

Одновременно, пособие должно помочь наиболее мотивированным студентам развивать навыки самостоятельной работы, что очень важно при подготовке инженера любой специальности.

Тем, кто захочет воспользоваться возможностью показать себя постоянно и эффективно работающим, привлечь к себе внимание преподавателей и научных руководителей, приобрести авторитет среди своих товарищей, пособие тоже окажет помощь.

Рассмотренные и доступные с самого начала семестра материалы помогут качественно готовиться и к лекциям, и практическим занятиям, и к различным контрольным испытаниям.

СОДЕРЖАНИЕ:

•◄●►•

Замечание: если в рассматриваемом Задании пример имеет номер 3-9, это значит, что цифра 3 указывает порядковый номер примера в этом Задании, а цифра 9 указывает номер примера из Задачника, указанного в Семестровом плане студентов.

ЗАНЯТИЕ 1. Основные понятия. Теорема существования и единственности ДУ 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

☺ ☻ ☺

Основные понятия:

Дифференциальным уравнением (ДУ) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).

Решить ДУ – значит найти все его решения!

Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!

••• ≡•••

Пример 1–1: Показать, что при любом действительном значении параметра заданная функция является решением ДУ: . (1)

Решение:

1). Разделим уравнение на . Получаем уравнение в виде: . (2)

2). Для нахождения производной заданной функции вспомним: , так как имеем: - табличный интеграл! Тогда: = .

3). Подставим заданную функцию и ее производную в уравнение (2), которое равносильно исходному уравнению (1): → тождество.

4). Это значит, что заданная функция является решением заданного уравнения.

Ответ: заданная функция является решением заданного уравнения.

Пример 2–4: В заданном семействе: выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию: .

Решение:

1). Выделить из семейства кривых кривую, которая проходит через точку (0,1) – это значит вычислить значение произвольной постоянной , при условии, что =0, =1.

2). Подставим =0, =1 в выражение семейства: , откуда =1.

3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .

Ответ: уравнение кривой: .

Пример 3–9: Составить дифференциальное уравнение семейства парабол: . (1)

Решение:

1). Преобразуем выражение семейства (известная операция выделения полного квадрата): . При непрерывном изменении параметра ось параболы смещается влево при значении параметра , вправо при значении ; одновременно вершина параболы движется по параболе .

2). Вычислим производную для заданного семейства: . (2)

3). Для получения дифференциального уравнения нужно исключить параметр из выражения (1) или из выражения (2):

а) умножив выражение (2) на , получим уравнение =[учтём (1)] = ;

б) получено дифференциальное уравнение: = .

Ответ: ДУ для семейства парабол = .

Пример 4–16: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Решение:

1). Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается из исходного уравнения приравниванием = . В нашем случае каждая изоклина – это прямая: = . На рисунке изоклины выделены «синим» цветом. На каждой изо­клине черточка («зеленая») отражает кон­крет­ное значение , определяющее изо­клину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.

2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показы­вают направление «поля». Возникает «зри­тельный образ», который определяет «при­сутствие некоторой кривой», касатель­ные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемая «интегральная кривая» (одна из них выделена «красным» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.

Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.

Пример 5–26: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не может иметь решения в виде , в частности в виде функции . Это значит, что дифференциал не может быть равным 0. В то же время, функция =0 есть решение уравнения (1).

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2) в виде: + =0. (3)

4). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (3). При получении общего решения уравнения (3) применим два принципиально разных способа использования произвольной постоянной величины:

→ или . (4)

→ или . (5)

Замечания: 1. При получении выражений (4) и (5) принципиальным было применение условия y≠0. При получении записи (5) также необходимо потребовать выполнения условия C≠0!..

2. Использование записи (5) удобнее в случае решения задачи Коши: вычисление постоянной C совсем просто, при использовании (4) пришлось бы применять логарифмы!..Если общее решение уравнения воспринимать как совокупность кривых, то записи эквиваленты!..

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .

Пример 6–31: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функций: – прямые, параллельные оси , и , то есть ось .

2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Так как решения и учтены, примем теперь и , и запишем уравнение в виде:

. (2)

3). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (2). Получаем общее решение уравнения (2):

→ . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение исходного уравнения можно получать из общего при значении =0; решения также формально можно получать из общего решения.

Пример 7–41: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Преобразуем заданное уравнение к виду: = . Известно, что такое уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными!

2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!

3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.

Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (2)

5). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.

Пример 8–43: Решить дифференциальное уравнение: , . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решение: – ось .

2). Переменные в уравнении разделяются. Так как решение уже учтено, примем теперь , и запишем уравнение в виде: . (2)

3). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

4). Используя начальные условия , вычисляем: и получаем частное решение уравнения: – гипербола, её график включает две ветви. Начальные условия выделяют правую ветвь гиперболы!

Ответ: – частное решение ДУ: правая ветвь гиперболы.

Пример 16–167: Найти уравнение кривой линии, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

Решение:

В Примере 1–18 Главы 1 пособия получено выражения: OT= – длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной; абсциссу точки касания обозначим D= .

Согласно условию задачи и в соответствии с принятыми обозначениями необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: ; (1)

▪ Случай-2: . (2)

Случай-1.

1). Запишем дифференциальное уравнение (1) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

3). Пусть теперь и . Перепишем уравнение в виде = – переменные разделились. Интегрируем уравнение: – = = . Используя табличные интегралы и исключая логарифмы, можем записать общее решение:

= , или = . (3)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение 1. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

— Сместить график вправо на 1, лучше сместить ось на 1 влево.

— Сместить график вверх на 1, лучше сместить ось на 1 вниз.

Учёт параметра в записи (3) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (3), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .

Случай-2.

1). Запишем дифференциальное уравнение (2) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

3). Пусть теперь и . Перепишем уравнение в виде = – переменные разделились. Интегрируем уравнение: – = = . Используя табличные интегралы и исключая логарифмы, можем записать общее решение:

= , или = . (4)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение –3. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

— Сместить график влево на 1, лучше сместить ось на 1 вправо.

— Сместить график вниз на 3, лучше сместить ось на 3 вверх.

Учёт параметра в записи (4) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (4), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .

Ответ: Случай-1: = – общее решение и частное: = .

Случай-2: = – общее решение и частное: = .

☻