ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

Вопросы к экзамену по Математическому анализу

Семестр

 

1. Понятие множества и подмножества.

2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Вена. Декартово произведение двух множеств.

3. Основные законы алгебры множеств.

4. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грань множества.

5. Числовые промежутки. Окрестность действительного числа (точки).

6. Числовая последовательность и её предел.

7. Понятие функции.

8. Способы задания функции.

9. Некоторые типы функций.

10. Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Определения, графики, свойства.

11. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Определения, графики, свойства.

12. Логарифмические и показательные функции: определения, графики, свойства.

13. Понятие предела функции. Правило вычисления предела.

14. Односторонние пределы.

15. Бесконечно малая (б.м.) и бесконечно большая (б.б) величины. Виды неопределённостей.

16. Основные теоремы о пределах.

17. Эквивалентные б.м. величины.

18. Раскрытие неопределённостей, связанных с алгебраическими функциями. Раскрытие неопределённостей вида и .

19. Первый замечательный предел. Цепочка эквивалентностей, как следствие из первого замечательного предела.

20. Второй замечательный предел. Цепочка эквивалентностей, как следствие из второго замечательного предела.

21. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

22. Классификация точек разрыва.

23. Задача о скорости, приводящая к понятию производной.

24. Определение производной. Механический смысл производной

25. Геометрический смысл производной

26. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Гладкая функция.

27. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

28. Производная сложной функции (теорема, примеры).

29. Производные высших порядков.

30. Дифференциал функции, его геометрический смысл

31. Правило Лопиталя

32. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия (возрастание и убывание функции).

33. Точки минимума и максимума. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

34. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Достаточные условия существования точек перегиба.

35. Общая схема исследования функции и построение графика.

36. Понятие неопределённого интеграла.

37. Свойства неопределённого интеграла.

38. Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла: непосредственное интегрирование, внесение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям (на примерах).

39. «Неберущиеся» неопределённые интегралы.

40. Задача о вычисление площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла.

41. Свойства определённого интеграла.

42. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла.

43. Методы вычисления определённого интеграла: замена переменной, интегрирование по частям (на примерах).

44. Вычисление площади плоской фигуры.

45. Несобственные интегралы первого и второго рода.

46. Понятие дифференциального уравнения: определение, порядок ДУ, виды решения.

47. Геометрическое изображение решения дифференциального уравнения первого порядка.

48. Задача Коши для ДУ 1-го порядка.

ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.