Постановка вариационной задачи расчета
РАСЧЕТ КОМПОЗИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Введение
Подкрепленные панели являются часто используемыми несущими элементами силовых конструкций, поэтому научить корректно строить аналитические расчетные модели является основной задачей монографии. Построение общего подхода к решению произвольной задачи часто приводит к необоснованным осложнениям. Панели могут иметь различные граничные условия закрепления, различные способы нагружения в ее плоскости как сосредоточенными, так и распределенными силами. Так как задачи решаются в линейной постановке, то любую сложную проблему можно разложить на простые, решать каждую из них отдельно и затем использовать принцип суперпозиции. Аналитические решения имеют преимущество перед современными разностными методами: позволяют получить прямую аналитическую связь между параметрами. Это преимущество удобно использовать в задачах проектирования, если аналитическое решение достаточно просто, но обладает необходимой степенью точности. Для определения напряженно-деформированного состояния в элементах панели, которое позволит оценить их прочность, используется вариационный метод В.З. Власов. Решение проводится в перемещениях, которые в соответствии с этим методом определяются с учетом условий нагружения и закрепления панелей. Такой подход к решению задач позволяет учесть способ и место приложения сил и определить концентрацию напряжений и области их расположения.
Постановка вариационной задачи расчета
Подкрепленная панель состоит из тонкой многослойной композиционной пластины, подкрепляющих эту пластину продольных и поперечных элементов, работающих на растяжение и изгиб, и узлов крепления. Для такой сложной конструкции можно получить разрешающие уравнения равновесия, используя вариационный подход, который позволяет в расчете объединить элементы в единую конструкцию [2]. Для построения расчетных моделей рассмотрим подкрепленную по контуру панель, показанную на рис.3.1, где приведены оси координат, геометрические параметры и один из способов точечного крепления конструкции. Запишем полную энергию представленной системы 
в виде суммы потенциальной энергии 
и работы внешних сил 
в общем виде
.
Здесь 
- потенциальная энергия рассматриваемой конструкции, выраженная через деформацию 
; 
- объемные нагрузки; 
- перемещения вдоль рассматриваемых координат; 
- известные поверхностные силы; 
- объем рассматриваемого объекта; 
- площадь поверхности тела, где действуют известные силы .
Запишем составляющие энергии плоского напряженного состояния панели:
; (3.1)
(3.2)
где 
, 
– средние постоянные по толщине пластины нормальные и касательное напряжения 
, а 
, 
, 
– соответствующие деформации в панели; 
, 
, 
– напряжение, деформация и площадь поперечных сечений в продольных подкрепляющих элементах панели; 
и 
– поверхностные силы в обшивке, параллельные осям 
и 
соответственно; 
и 
– сосредоточенные силы; индексы 
и 
– номера сил, прикладываемые в точках с соответствующими координатами , ; 
и 
– функции перемещений вдоль координат и соответственно; 
и 
– внешние распределенные силы, приложенные на поперечной границе панели; 
и 
– реакции изгиба и удлинения поперечных балок; 
– номер балки.
Тогда усилия в пластине будут равны 
; 
; 
, где 
– толщина многослойной пластины.
Рис. 3.1. Подкреплённая панель