Управление автономной системой
Рассмотрим метод решения задач оптимального управления при отсутствии ограничений на фазовые координаты. Система (9.75) называется автономной, если в ее правую часть явно не входит время t.
Пусть в фазовом пространстве Х заданы две точки x0 = ( 
) и x1 = ( 
). Если начальное и конечное положения изображающей точки в фазовом пространстве определены по всем n координатам, то задачу об оптимальном управлении называют задачей с закрепленными концами.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется среди допустимых управлений u(t), t0 ≤ t ≤ t1, т.е. кусочно-непрерывных вектор-функций u(t) 
U (моменты t0 и t1 не фиксированы), переводящих фазовую точку системы (9.75) из заданного начального положения x0 (x(t0) = x0) в заданное конечное положение x1 (x(t1) = x1), найти управление и траекторию при ограничениях вида (9.76) или (9.77), минимизируя при этом функционал
i = 1:n, j = 1:m.
Управление u(t)итраектория х(t), решающие поставленную задачу, называются оптимальными.
Особое внимание уделяется частному случаю, когда f0 = 1. В этом случае функционал
задает время движения. Управление и траектория, минимизирующие функционал, называются оптимальными по быстродействию.
Уравнения Эйлера (9.10) представляют собой систему n уравнений второго порядка. Такую систему всегда можно свести к системе 2n уравнений первого порядка. Наиболее удобны уравнения Эйлера в так называемой форме Гамильтона.
Введем новые переменные
(9.80)
и функцию
, (9.81)
где ψi – канонические переменные, H – функция Гамильтона.
Из выражения (9.81) следует, что
, i = 1:n (9.82)
Уравнения Эйлера (9.10) перепишутся в виде
, i = 1:n. (9.83)
Из выражения (9.81) также следует
, i = 1:n. (9.84)
Объединяя уравнения (9.83), (9.84) получаем так называемую Гамильтонову форму уравнений Эйлера (2n уравнений Эйлера-Гамильтона)
(9.85)
Пример 9.8. Рассмотрим двигатель КПДН-3-V с независимой обмоткой возбуждения. Мощность двигателя — 8,5 кВт; номинальная скорость вращения — 1300 об/мин= 21,6 об/с,маховой момент двигателя CD2 равен 1 кГ∙м2;номинальный ток — 45 А;допустимая кратность тока 3,6; допустимая скорость вращения — 1560 об/мин,т. е. 1,2 от номинальной скорости. Двигатель через редуктор приводит во вращение исполнительный механизм, причем для отработки полного цикла перемещения двигатель должен повернуться на 130 радиан.
Решение.С учетом момента инерции исполнительного механизма механическая постоянная времени электропривода Тм= 0,7 с, следовательно, единицей угла перемещения будет
α0 = 2π·21,6·0,7 = 95 рад,
таким образом, заданный для отработки в течение цикла угол перемещения будет равен:
α = 130/95 = 1,35.
Цикл перемещения должен занимать 2 с, число циклов — 1000 в час, т. е. 2 с продолжается работа двигателя и 1,6 с — пауза. Момент сопротивления, приведенный к валу двигателя, Мс= 3,2 кГ∙м,в то время как номинальный момент двигателя
Мн= 975·8,5/1300 = 6,4 кГ∙м,
т.е. µ0 = 0,5. Требуется определить, способен ли выбранный двигатель обеспечить заданный темп работы и каковы параметры оптимальной диаграммы тока.
Вычисляем Т :
Т = 2/0,7 = 2,86;
в то время как допустимая величина для Q (принимая условия охлаждения во время работы и во время паузы одинаковыми)
Qдоп= 3,6/2 = 1,8.
Следовательно, выбранный нами двигатель при оптимальном законе управления удовлетворяет ограничениям по нагреву, тогда как при законе управления ί — const мы имели бы
т. е. нагрев двигателя превысит допустимый, и потребуется установка более мощного двигателя.
Произведем проверку оптимального закона на величину максимального тока и максимальной скорости в режиме оптимального управления.
Имеем:
следовательно, максимальный ток якоря в начале цикла будет составлять i0 + µ0 = 1,5, т. е. будет меньше допустимого. Максимальная скорость вращения
т. е. также меньше допустимой.
Изменим условия. Пусть тот же двигатель должен за 2 сотработать перемещение 238 рад,т. е. α = 2,5.
В этом случае в режиме оптимального управления имеем:
Однако
что превышает допустимую скорость. Следовательно, необходимо перейти на режим управления с участком постоянной скорости. Параметры оптимальной диаграммы определяем по формулам:
Таким образом, максимальный ток imax= i0+ µ0= 2,57, что допустимо. Окончательно, при оптимальном управлении Q = 4,04, т. е. длительность паузы должна составлять 3,04 от длительности работы и допустимое число включений в час
Пример 9.9. Рассмотрим двигатель, разгоняющий механизм, который имеет большой маховой момент, равный 12,08∙104 кГ∙м2;момент сопротивления механизма— 244 кГ∙м,скорость вращения — 600 об/мин.
Так как наименьшие тепловые потери будут в том случае, когда момент двигателя, разгоняющего механизм, будет равен удвоенному моменту сопротивления, выберем двигатель с моментом Μ = 488 кГ∙м,что при двукратной перегрузочной способности будет соответствовать номинальному моменту Мн= 244 кГ∙ми номинальной мощности
и, следовательно, время разгона исполнительного механизма от нуля до номинальной скорости будет равно 790 с или 13,2 мин (в данном случае время разгона равно механической постоянной времени, т.е. Т = 1).
Определим величину перегрева двигателя в конце цикла разгона. Для двигателя мощностью 150 кВтпостоянная времени нагрева составляет 45 мин,т. е. n = 13,2/45 = 0,294. Следовательно, в конце разгона перегрев обмоток
т. е. будет на 2,4% превосходить нормальный перегрев обмоток в длительном режиме при номинальном токе. Такой перегрев является вполне допустимым.
Так как в данном случае ввиду очень большой величины маховых масс процесс разгона протекает медленно и множитель е-nτ уже заметно отличается от единицы, то при выборе закона управления имеет смысл учитывать теплоотдачу. Оптимальная диаграмма тока будет иметь вид:
Задавшись условием, что в конце цикла разгона перегрев обмоток должен быть равен номинальному, получим два уравнения для определения Т и i0:
Решив систему, получим: Т = 0,82; i0 = 2,45. Следовательно, ток якоря в начале разгона равен 2,45 от номинального, а в конце разгона 1,92 от номинального; время разгона будет 0,82·3,2 = 10,8 мин, или на 18% меньше, чем при прямоугольной диаграмме тока.