Скалярное произведение векторов, заданных в координатах
Из (3.7) получаем формулу для выражения угла между двумя векторами
(3.9)
В частности, или , то есть скалярный квадрат равен квадрату модуля.
скалярное произведение векторов, заданных в координатах
пусть даны два вектора в координатах 
, 
. Умножим их, записав в компонентах и используя свойства скалярного произведения
где 
, 
, 
, так как 
- взаимно перпендикулярны; 
, 
, как скалярные квадраты единичных векторов. Таким образом,
. (3.10)
Если 
, то скалярный квадрат 
, но 
, как было показано выше, следовательно, 
, откуда
, (3.11)
а если вектор задан координатами начальной М1 и конечной М2 точек, как в формуле (3.4), то его модуль
(3.12)
Очевидно, что формулу (3.9) можно записать, используя (3.10) и (3.11), в виде
(3.13)
Эта формула позволяет вычислять угол между векторами, заданными в координатах.
Пример 3.1. Найти угол между векторами 
, 
.
Решение. По формуле (3.13) получим
, 
Все, что было сказано о геометрических векторах в пространстве трех измерений, распространяется на векторы, заданные на плоскости, то есть двухмерные.
3.3. Линейная зависимость векторов
Линейной комбинацией векторов 
называется сумма произведений этих векторов на действительные числа 
,то есть сумма 
, (3.14)
которая тоже является вектором. Числа называются коэффициентами линейной комбинации.
Пример 3.2. Составить линейную комбинацию векторов 
= (3; -2; 4) и 
=(1; -1; -5) с коэффициентами 
= 2, 
= -3 .
Решение. Вычислим сначала 2 
и -3 
:
2 
= 2(3; -2; 4) = (6; -4; 8); -3 
= -3(1; -1; -5) = (-3; 3; 15).
Теперь составим линейную комбинацию
2 
- 3 
=(6; -4; 8)+ (-3; 3; 15)=(3; -1; 23)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию 
= 
, причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.
Если из системы векторов нельзя составить нулевую линейную комбинацию, то система векторов называется линейно независимой.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. На плоскости можно найти линейно независимую систему из двух векторов (не больше), в трехмерном пространстве - из трех, но не большего числа векторов и так далее.
3.4. Векторное произведение двух векторов.
Смешенное произведение трех векторов.
Определение. Векторное произведение вектора 
на вектор 
дает некий вектор 
, который строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади параллелограмма (AOBL на рис. 3.4), построенного на векторах и , т.е. 
;
2) его направление перпендикулярно плоскости параллелограммы;
и из двух возможных вариантов перпендикулярности направление выбирается так, чтобы векторы , , составляли правую систему.
Т.е. из вершины вектора поворот от до должен смотреться против часовой стрелки.
|
| C |
| В |
| О |
| А |
| L |
|
|
|
|
Векторное произведение обозначается:  или  . По определению векторное произведение коллинеарных векторов есть нуль-вектор, т.к. АOBL в этом случае будет иметь нулевую площадь.
|
Рис. 3.4
Пример 3.3. Найти векторное произведение орт векторов (единичных базисных векторов) 
.
Решение.
1) Длины орт векторов равны единице, поэтому площадь строенной на них параллелограммы (квадрата) равна единице.
2)Так как перпендикуляр к плоскости, содержащей 
и 
есть ось OZ, то искомое векторное произведение может быть либо вектор 
либо 
.
3)Из этих двух возможных векторов следует брать , так как векторы 
образуют правую систему. Итак, 
.
Аналогично можно показать, что: 
, 
, 
и т.д.
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Пусть даны векторы 
и 
, тогда
= 
. (3.15)
Легко запоминается другая форма записи:
= 
. (3.16)
Определение. Три вектора (или большее число векторов) называются компланарными , если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Определение. Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов 
(взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора 
на векторное произведение 
, т.е. число 
. Обозначают также 
. Если система трех векторов 
правая, то >0 (если левая, то <0).
Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
Даны векторы 
, 
, 
, тогда смешанное произведение вычисляется по формуле:
= 
. (3.17)
Если же векторы компланарны, то =0.
Чтобы три вектора лежали в одной плоскости (были компланарными) необходимо и достаточно обращение в нуль их смешанного произведения.
Признак компланарности трех векторов в координатной форме:
= 0. (3.18)
Геометрический смысл смешанного произведения: Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком плюс, если система правая (и со знаком минус, если эта система левая).
Пример 3.4. Определить объем пирамиды с вершинами А(1,2,-1), В(0,1,0), С(-3,4,2), D(1,0,0).
Решение. Объем пирамиды составляет 1/6 часть объема параллелепипеда построенного на векторах АВ, АС, АD , а объем параллелепипеда найдем как модуль смешенного произведения этих трех векторов. Сначала найдем координаты этих векторов: АВ(-1;-1;1), АС(-4;2;3), AD(0;-2;1). Подставляя координаты в формулу (3.17) получим объем параллелепипеда:
mod(-4) = 4. Значит объем пирамиды равен 4/6.
Уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид
, (3.19)
где 
произвольная точка на прямой, а 
координаты направляющего вектора (указывающего направленность прямой).
Уравнение прямой может быть записано в общем виде:
, или 
(3.20)
где 
– направляющий вектор, а 
- вектор нормали (направленный по перпендикуляру к прямой).
(3.20) называется общим уравнением прямой.