Для уменьшения трудоемкости построений и повышения их точности рекомендуется выполнять работу по формированию многоугольников сил на листе миллиметровой бумаги формата А4.

Задача 4. Расчет фермы с треугольной решеткой аналитическим и графическим способами.

Задание.

Определить опорные реакции. Выполнить расчет фермы с треугольной решеткой аналитическим и графическим способами.

ПРИМЕР РАСЧЕТА 1

Задача 4. Расчет плоской статически определимой фермы.

Задание: Определить усилия в стержнях методом вырезания узлов аналитически.

Решение.

Вычертим расчетную схему фермы.

Определяем опорные реакции.

Сначала определяем непарную реакцию:

; .

Определяем вертикальные опорные реакции:

; ,

;

Проверка:

; .

Опорные реакции определены верно.

Определяем усилия методом вырезания узлов.

Рассмотрим равновесие узла 1.

Первоначально предполагаем, что усилия в стержнях 1-2 и 1-3 положительные, то есть имеет место растяжение.

; ; .

Вычисляем косинус и синус угла .

;

Тогда (знак «минус» говорит о том, что первоначальное усилие 1-2 было выбрано неверно, то есть стержень 1-2 не растянут, как предполагалось, а сжат).

; ; .

Проверка правильности определения усилий в узле 1:

; .

Рассмотрим равновесие узла 3.

; ;

Рассмотрим равновесие узла 2.

; ; .

; ;

Рассмотрим равновесие узла 4.

; .

; ;

Рассмотрим равновесие узла 5.

Ввиду симметрии схемы фермы и ее загружения, имеем

, , , , ,

Проверим правильность определения усилия :

; ;

Все полученные значения усилий сводим в таблицу:

Усилие	,	,	,	,	,	,
Значение

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ 2

Задание.

Выполнить расчет фермы с треугольной решеткой аналитическим и графическим способами.

Дано: расчетная схема фермы

Решение.

1. Проведение количественногокинематического анализа

Для проведения кинематического анализа необходимо заменить опорные связи их шарнирно-стержневым аналогом и обозначить эти сечения.

Степень статической неопределимости расчетной схемы типа ферма определяется по формуле:

ü число узлов фермы: ;

ü число стержней фермы: ;

ü число опорных стержней: .

Имеем,

, следовательно ЗРС статически определима.

Особенностью расчетной схемы типа ферма является наличие в сечениях ее стержней только продольных усилий, что обеспечивается как способом приложения нагрузки (сосредоточенные силы в узлах-шарнирах), так и способом соединения стержней фермы в узлах расчетной схемы – безмоментными шарнирами.

Введем систему координат, оси которой определяют правило знаков для реактивных сил, заменяющих действие на конструкцию опорных связей. Реакции до их определения будем считать положительно направленными.

При выборе уравнений равновесия для определения реакций опорных связей необходимо подобрать такие уравнения, из которых однозначно бы определялась только одна из реакций и, таким образом, не учитывалось бы влияние двух других реакций. Это позволит нам исключить взаимовлияние получаемых результатов.

: .

Итак, реакции опорных связей определены, что позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в значениях»), как это сделано на рис. 1.4.4.

Проверка:

2. Определение продольных усилий в стержнях фермы аналитическим способом.

Для определения усилий растяжения-сжатия в плоских фермах с простой треугольной решеткой применяются метод сквозных сечений и метод вырезания узлов.

При использовании метода сквозных сечений расчетную схему расчленяют на две части, таким образом, чтобы число неизвестных усилий в сечении было не более двух.При этом каждое усилие должно определяться из отдельного уравнения равновесия и не должно выражаться через усилия в других стержнях.

При использовании метода вырезания узлов усилия в стержнях, сходящихся в рассматриваемом узле, определяют из уравнений равновесия в проекциях сил на оси X и Y глобальной системы координат.

Укажем виды сечений, порядок их следования (рис. 1.4.6), чтобы иметь возможность составить уравнения, необходимые для определения усилий в стержнях, попавших в соответствующее сечение последовательности.

Уравнение в проекциях сил рекомендуется применять тогда, когда нельзя составить уравнение в моментах.

Уравнение в моментах требует вычисления расстояния от точки приведения до линии действия усилия, а уравнение в проекциях сил – вычисления значений тригонометрических функций угла между осями стержней.

Так как заданная расчетная схема является симметричной по нагрузке (узловая нагрузка, реактивные силы) и очертанию решетки, то достаточно определить усилия в стержнях половины фермы, так как усилия в стержнях другой половины будут такими же.

Для удобства дальнейших вычислений предварительно найдем высоту стойки 3–4 ( ) и расстояние от узла 2 ( ) до нижнего пояса фермы, используя подобие треугольников (см. рис. 1.4.5), и покажем их на расчетной схеме (рис. 1.4.6).

;	Рис. 1.4.5

Располагая системой нагрузок «в значениях», системой сечений, основными размерами расчетной схемы (см. рис. 1.4.6), можно приступать к непосредственному определению продольных усилий в стержнях заданной фермы (рис. 1.4.7-1.4.11).

Рис. 1.4.6

Важно отметить, что неизвестные усилия на рисунке отсеченной части расчетной схемы считаются положительными (действуют «от узла»), а их истинный («инженерный») знак устанавливается решением соответствующего уравнения.

Рис. 1.4.7	где (растяжение); (сжатие)
Рис. 1.4.8	где (растяжение); где (сжатие)
Рис. 1.4.9	(сжатие); (сжатие)
Рис. 1.4.10	где (растяжение); где , (растяжение)
Рис. 1.4.11	где (сжатие)

Решение задачи об определении продольных усилий в ферме представлено в табл. 3.

Таблица 3

Номер стержня	1–2	1–3	2–3	2–4	3–4	3–5	4–5	4–6	6–5
9–10	7–10	7–9	8–9	7–8	5–7	5–8	6–8
Знак усилия	+	–	–	+	–	–	+	+	–
Усилие , P	1,118		1,118	2,237	2,5		1,414	1,118

4. Определение продольных усилий в стержнях фермы графическим способом.

Идея графического способа определения усилий в стержнях фермы основана на том, что треугольник равновесных сил можно построить по одному заданному вектору силы и известным направлениям двух других векторов, линии действия которых проведены через начало и конец заданного вектора. При этом заданный вектор может быть представлен отдельной силой (внешней или внутренней) или равнодействующей некоторой совокупности сил.

При реализации графического способа необходимо строгое соблюдения нескольких правил:

1) построения выполняются для упорядоченных последовательностей узлов, причем набор каждого уровня должен состоять из узлов, в которых сходятся не более двух неизвестных усилий;

2) в качестве шаблона для проведения линий, параллельных некоторому направлению, используются оси расчетной схемы с одного и того же рисунка;

3) при построении многоугольников сил (для расчетной схемы в целом и для отдельных узлов) выбирается единственное, общее для всех последующих рассуждений, направление обхода сил (против часовой стрелки);

4) масштаб геометрических построений назначается таким образом, чтобы погрешность определения усилий по расстояниям между точками рисунка не превышала 5-7 %.

Для уменьшения трудоемкости построений и повышения их точности рекомендуется выполнять работу по формированию многоугольников сил на листе миллиметровой бумаги формата А4.

Поскольку все реакции опорных связей уже определены (см. п. 2), приступаем к построению многоугольника внешних сил. Эта процедура основана на понятии «внешнего поля».

Внешние поля (рис. 1.4.12) делят плоскость чертежа вне расчетной схемы на части, границами между которыми являются векторы внешних сил. Каждое поле получает свое имя в виде буквы, благодаря чему при пересечении границы полей возникает возможность именования соответствующих векторов сил двумя буквами: одна буква соответствует началу вектора, а вторая – его концу.

Рис. 1.4.12

Начало вектора силы определяется той буквой, поле которой названо первым при пересечении границы смежных полей в выбранном направлении обхода.

Многоугольник внешних сил в данном примере строится путем обхода внешних полей против часовой стрелки, начиная с поля «А», как это показано на
рис. 1.4.12. По мере пересечения границ внешних полей соответствующая внешняя сила в назначенном масштабе наносится на поле диаграммы усилий (рис. 1.4.13).

Поскольку равновесие расчетной схемы соответствует нулевым значениям главного вектора и главного момента внешних сил, постольку многоугольник внешних сил должен получиться замкнутым. Если это реализуется в ходе построения, то можно утверждать, что реакции в расчетной схеме найдены верно.

Рис. 1.4.13

Дальнейшие построения связаны с определением внутренних сил (усилий) в стержнях фермы. В основе этой процедуры лежит построенный многоугольник внешних сил (см. рис. 1.4.13), а приведенные выше приемы рассуждений применяются к полям, окружающим каждый узел.

Важно помнить, что выбор узла при построении многоугольника сил, в нем сходящихся, определяется тем, что в узле может сходиться не более двух неизвестных усилий. При этом направление обхода полей узла должно соответствовать направлению обхода, использованному при построении многоугольника внешних сил, т. е. против часовой стрелки.

На рис. 1.4.14-1.4.22 последовательно отображены результаты построения многоугольников сил в узлах заданной расчетной схемы. Для пояснения совершаемых действий используются следующие обозначения:

« » – означает, что проводится линия по направлению, параллельному пересекаемому стержню фермы, обозначенному парой букв;

«через ...» – точка вектора, через которую проводится параллельная прямая, упоминаемая выше;

«» – поле, с которого начинается обход полей, расположенных вокруг узла;

« » – вектор силы, участвующей в создании многоугольника равновесных сил, сходящихся в текущем узле.

Рис. 1.4.14
Рис. 1.4.15
Рис. 1.4.16
Рис. 1.4.17
Рис. 1.4.18
Рис. 1.4.19
Рис. 1.4.20
Рис. 1.4.21
Рис. 1.4.22

В данном примере реализуется последовательность узлов, основанная на результатах текущих построений (каждый последующий узел превращается в узел с двумя неизвестными усилиями вследствие решения задачи о равновесии предыдущего узла) и включает узлы 1, 2, 3, 4.

Однако узел 5 уже не может рассматриваться вслед за узлом 4, поскольку к этому моменту содержит три неизвестных усилия ( , и ). Поэтому далее выбирается узел 6 с двумя неизвестными усилиями ( и ), а за ним становится возможным перейти к узлу 5 с неизвестными к этому моменту усилиями и . Далее аналогично рассматриваются узлы 8, 7 и, наконец, построения в узле 9 с единственным неизвестным усилием завершают решение задачи.

Определение величины усилия проводится измерением длины построенного вектора, а знак усилия определяется тем, как вектор направлен по отношению к рассматриваемому узлу: если направление «от узла», то в соответствии с «инженерным» правилом знаков это означает «положительность» искомого усилия; если же направление «к узлу» – «отрицательность» усилия.

Решение задачи в окончательном виде представлено на рис. 1.4.23 и табл. 4. Следует подчеркнуть, что данные табл. 4 получены измерением усилий на рис. 1.4.14-1.4.22 с использованием выбранного масштаба построений.Рис. 1.4.23 носит название «диаграммы Максвелла-Кремоны» или «диаграммы усилий».

Таблица 4

Номер стержня	1–2	1–3	2–3	2–4	3–4	3–5	4–5	4–6	6–5
9–10	7–10	7–9	8–9	7–8	5–7	5–8	6–8
Знак усилия	+	–	–	+	–	–	+	+	–
Усилие , P	1,1		1,1	2,2	2,5		1,4	1,1

При соблюдении правил построения диаграмма усилий позволяет быстро и достаточно точно решить задачу об определении усилий в статически определимой расчетной схеме типа «ферма». Поэтому графический способ определения усилий рекомендуется всегда, когда допустимая погрешность определения усилий находится в пределах 10 %.

Так как продольные усилия в стержнях заданной фермы, вычисленные аналитическим и графическим способами (соответственно табл. 3 и табл. 4) имеют схожие значения, то можно утверждать, что оба расчета были сделаны верно.

Рис. 1.4.23