Расчетно-графическая работа
Введение
В данной работе необходимо определить закон распределения вероятностей результата измерения по исходным данным. Расчетно-графическая работа включает в себя расчетно-пояснительную записку.
Расчетно-графическая работа
Выборка результатов измерений соответствующей варианту: 5,7,7,9,9,4,5,8,6,8,10,6,11,12,10,10,17,15,13,12.
Разобьем выборку на 5 интервалов, определим величину интервала:
.
Занесем данные в таблицу 1.
Таблица 1 – Результаты наблюдений
| х | 4-6,6 | 6,6-9,2 | 9,2-11,8 | 11,8-14,4 | 14,4-17 |
| Середина интервала | 5,3 | 7,9 | 10,5 | 13,1 | 15,7 |
Частота 
|
Вычислим оценки 
и 
:
;
,
где 
коэффициент смещения (таблица 2).
Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму. При построении разбиение на интервалы осуществляется таким образом, чтобы измеренные значения оказались серединами интервалов.
Таблица 2 – Значения коэффициента 
в зависимости от количества наблюдений n
| n | Mk | n | Mk | n | Mk |
| 1,253 | 1,025 | 1,013 | |||
| 1,128 | 1,023 | 1,012 | |||
| 1,085 | 1,021 | 1,010 | |||
| 1,064 | 1,019 | 1,008 | |||
| 1,051 | 1,018 | 1,007 | |||
| 1,042 | 1,017 | 1,006 | |||
| 1,036 | 1,016 | 1,006 | |||
| 1,032 | 1,015 | 1,005 | |||
| 1,028 | 1,014 | 1,004 |
Рисунок 1 – Гистограмма
По виду гистограммы предположительно идентифицируем опытное распределение нормальным.
Определим, содержит ли результат наблюдения х=17 грубую погрешность.
1. Проверка по критерию "3". Вычисляем удаленность подозрительного результата от центра распределения: 
.
Определим границу погрешности: 
.
Так как, то можно сделать вывод, что результат x=17 не содержит грубой погрешности.
2. Проверка по критерию Смирнова 
. Из таблицы 3 для принятого уровня значимости q =0,05 и объема выборки n=20 найдем 
. Наличие грубой погрешности в результате х=17 не подтверждается, т. к.:
.
Таблица 3 – Квантили распределения k
Объем выборки 
| Предельное значение k при уровне значимости q | ||||
| 0,100 | 0,050 | 0,0010 | 0,005 | 0,001 | |
| 1,282 | 1,645 | 2,326 | 2,576 | 3,090 | |
| 1,632 | 1,955 | 2,575 | 2,807 | 3,290 | |
| 1,818 | 2,121 | 2,712 | 2,935 | 3,403 | |
| 1,943 | 2,234 | 2,806 | 3,023 | 3,481 | |
| 2,036 | 2,319 | 2,877 | 3,090 | 3,540 | |
| 2,111 | 2,386 | 2,934 | 3,143 | 3,588 | |
| 2,172 | 2,442 | 2,981 | 3,188 | 3,628 | |
| 2,224 | 2,490 | 3,022 | 3,227 | 3,662 | |
| 2,269 | 2,531 | 3,057 | 3,260 | 3,692 | |
| 2,309 | 2,568 | 3,089 | 3,290 | 3,719 | |
| 2,457 | 2,705 | 3,207 | 3,402 | 3,820 | |
| 2,559 | 2,799 | 3,289 | 3,480 | 3,890 | |
| 2,635 | 2,870 | 3,351 | 3,539 | 3,944 | |
| 2,696 | 2,928 | 3,402 | 3,587 | 3,988 | |
| 2,792 | 3,015 | 3,480 | 3,662 | 4,054 | |
| 2,860 | 3,082 | 3,541 | 3,716 | 4,108 | |
| 3,076 | 3,285 | 3,723 | 3,892 | 4,263 | |
| 3,339 | 3,534 | 3,946 | 3,946 | 4,465 | |
| 3,528 | 3,703 | 4,108 | 4,263 | 4,607 |
3. Проверка по критерию Романовского. Определяем характеристики распределения без учета подозрительного результата ( 
):
По таблице 4 находим коэффициент Стьюдента при объеме выборки 
и доверительной вероятности P = 0,95; 
. Наличие грубой погрешности подтверждается, т. к.:
.
Таблица 4 – Критерий Стьюдента 
(квантили Стьюдента)
| Довери- тельная вероят- ность Р | Число степеней свободы k | |||||||||||||
| ||||||||||||||
| 0,90 | 2,35 | 2,13 | 2,01 | 1,94 | 1,86 | 1,81 | 1,78 | 1,73 | 1,72 | 1,70 | 1,68 | 1,67 | 1,66 | 1,64 |
| 0,95 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,31 | 2,23 | 2,18 | 2,10 | 2,07 | 2,04 | 2,02 | 2,00 | 1,98 | 1,96 |
| 0,99 | 5,84 | 4,60 | 4,03 | 3,71 | 3,36 | 3,17 | 3,06 | 2,98 | 2,82 | 2,75 | 2,70 | 2,86 | 2,62 | 2,58 |
4. Проверка по критерию Шовене. При нахождении характеристик распределения участвуют все наблюдения. Вычисляем квантиль z по формуле:
.
По таблице значений функции Лапласа [1] определяем вероятность выхода результатов за квантиль 
:
.
Тогда ожидаемое число наблюдений с результатом 
Ом:
.
Так как 
, то приходим к выводу об отсутствии грубой погрешности в результате наблюдения .
5. Проверка по критерию Ирвина. Для полученных экспериментальных данных определяют коэффициент по формуле:
.
Затем этот коэффициент сравним с табличным значением 
, значения которого приведены в таблице 5. Т. к. =1.15<1.3=q, то нулевая гипотеза не подтверждается, т. е. результат x=17 не содержит грубой погрешности.
Таблица 5 – Критерий Ирвина
| Число измерений n | Уровень значимости | |
| 
| |
| 2,8 | 3,7 | |
| 2,2 | 2,9 | |
| 1,5 | 2,0 | |
| 1,3 | 1,8 | |
| 1,2 | 1,7 | |
| 1,1 | 1,6 |
6. Проверка по критериювариационного размаха. Для его использования определяют размах вариационного ряда упорядоченной совокупности наблюдений 
:
.
Выполним проверку по следующему неравенству:
, (1)
где 
выборочное среднее арифметическое значение, вычисленное после исключения предполагаемого промаха (для Xcp=14, );
критериальное значение (таблица 6).
Таблица 6 – Критерий вариационного размаха
|
| 8 –9 | 10 –11 | 12 – 15 | 16 – 22 | 23 – 25 | 26 – 63 | ||||
| 1,7 | 1,6 | 1,5 | 1,4 | 1,3 | 1,2 | 1,1 | 1,0 | 0,9 | |
Неравенство 1 выполняется: 
.
Таким образом, результат x=17 не содержит грубой погрешности.
7. Проверка по критерию Диксона. При использовании критерия вычисляют коэффициент Диксона (наблюдаемое значение критерия) для проверки наибольшего или наименьшего экстремального значения в зависимости от числа измерений. В таблице 7 приведены формулы для вычисления коэффициентов.
Для данного варианта: 
.
Таблица 7 – Формулы коэффициентов Диксона
| Объем выборки
| Коэффициент Диксона | Для наименьшего экстремального значения параметра | Для наибольшего экспериментального параметра |
| 3 – 7 | 
| 
| 
|
| 8 – 10 | 
| 
| 
|
| 11 – 13 | 
| 
| 
|
| 14 – 25 | 
| 
| 
|
Таблица 8 – Критериальные значения коэффициентов Диксона (при принятом уровне значимости q)
| Коэффициент Диксона | Число измерений |  при уровне значимости 
| |||
| 0,1 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | ||
|
| 0,886 0,679 0,557 0,482 0,434 | 0,941 0,765 0,642 0,560 0,507 | 0,976 0,846 0,729 0,644 0,586 | 0,988 0,899 0,780 0,698 0,637 | |
|
| 0,479 0,441 0,409 | 0,554 0,512 0,477 | 0,631 0,587 0,551 | 0,683 0,636 0,597 | |
|
| 0,517 0,490 0,467 | 0,576 0,546 0,521 | 0,538 0,605 0,578 | 0,679 0,642 0,615 | |
|
| 0,462 0,472 0,452 0,438 0,424 0,412 0,401 0,391 0,382 0,374 0,367 0,360 | 0,546 0,525 0,507 0,490 0,475 0,462 0,450 0,440 0,430 0,421 0,413 0,406 | 0,602 0,579 0,559 0,542 0,527 0,514 0,502 0,491 0,481 0,472 0,464 0,457 | 0,641 0,616 0,595 0,577 0,561 0,547 0,535 0,524 0,514 0,505 0,497 0,489 |
Вычисленные для выборки по формулам значения коэффициентов Диксона 
сравним с табличным значением критерия Диксона 
(таблица 8). Нулевая гипотеза об отсутствии грубой погрешности выполняется, если выполняется неравенство 
.
Если 
, то результат признается грубой погрешностью и исключается из дальнейшей обработки. В нашем случае:r=-0.6<0.45=rq, т.е. грубая погрешность отсутствует.
Поскольку все критерии (7 из 7) показали отсутствие грубой погрешности, то результат наблюдения можно оставить в выборке.
Исключение систематических погрешностей измерений.
Если приведенные результаты представить графически, то можно увидеть на графике прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке 2.
Рисунок 2 – График результатов
Модуль переменной составляющей систематической погрешности определим по формуле:
, (2)
где 
разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений (по аппроксимирующей прямой);
общее число результатов;
порядковый номер измерения.
Разность 
определяется по аппроксимирующей прямой.
В данном варианте с=13, тогда 
.
Округлив значение 
до сотых долей (точность получениярезультатов) и исключим из результатов измерений, т. е.:
, (3)
где 
поправка, вносимая в каждый результат.
Как видно, поправка представляет собой погрешность, взятую с обратным знаком.
Систематическая погрешность, определенная по формуле 2 примет значения:
| 0.65 | 1.3 | 1.95 | 2.6 | 3.25 | 3.9 | ||||
Внеся исправления, получаем новую последовательность результатов: 3,35; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,37; 3,36; 3,36; 3,37; 3,37; 3,36; 3,38; 3,37; 3,38; 3,38; 3,40.
Определим статистические функции распределения. Результаты (без исключения грубых и систематических погрешностей, после упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены таблицей 9.
Таблица 9 – Промежуточные значения интервального ряда
| Границы интервалов | Середины интервалов 
| Частота попадания в интервалы 
| Статистическая вероятность (частость) 
|
| 3,36 – 3,388 | 3,374 | 0,10 | |
| 3,388 – 3,416 | 3,402 | 0,25 | |
| 3,416 – 3,444 | 3,430 | 0,40 | |
| 3,444 – 3,472 | 3,458 | 0,15 | |
| 3,472 – 3,50 | 3,486 | 0,10 | |
| 1,0 |
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы:
Рисунок 3 – Гистограмма результатов измерений
Определенные ранее среднеарифметическое и среднеквадратическое отклонения :
; 
.
Вычислим дифференциальную функцию распределения 
для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала и занесем в таблицу 10:
. (4)
А затем, пользуясь статистической таблицей [1], определим дифференциальную функцию 
.
Таблица 10 – Вероятностные параметры распределения
| Середины интервалов
|  , 
| 
| 
| 
| 
|
| 3,374 | -1,392;1,392 | 0,1415 | 0,1071 | 0,0823 | 0,10 |
| 3,402 | -0,635;0,635 | 0,3156 | 0,2388 | 0,2628 | 0,35 |
| 3,430 | 0,122 | 0,3924 | 0,2970 | 0,5478 | 0,75 |
| 3,458 | 0,878 | 0,2636 | 0,1995 | 0,8106 | 0,90 |
| 3,486 | 1,635 | 0,1002 | 0,0758 | 0,9489 | 1,0 |
Используя свойство нормального распределения 
, находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интервалов применим зависимость:
, (5)
где h – ширина интервала, в нашем случае она равна 0,028.
Значения нормальной функции распределения находятся по таблице [2] или по формуле:
.
Для построения статистической функции распределения воспользуемся формулой для дополнительных вычислений:
. (6)
;
;
;
;
;
.
Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке 4.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Рисунок 4 – Кривые интегральной функции распределений
При малых объемах выборки 
для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий d. По заданным условиям уровень значимости 
.
Вычислим выборочное среднее арифметическое X, несмещенную и смещенную 
оценки СКО:
Ом;
Ом;
Ом.
Проверяим согласие по критерию 1. Для этого определим значение d:
Ом.
При n =20; 
; 
из таблицы 12 находим квантили распределения d (после интерполяции):
; 
.
Гипотеза о нормальности распределения по критерию 1, при выбранном уровне значимости подтверждается, так как:
;
или
.
Проверка по критерию 2. По таблицам 12, 13 находим значения 
; 
; 
, т. е. находим произведение 
и сравниваем его с максимальным отклонением. Гипотеза о нормальности распределения по критерию 2 справедлива, так как в выборке нет ни одной разницы, превышающей значение:
.
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости 
.
Таблица 11 – Квантили распределения статистики d
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,9359 | 0,9073 | 0,8899 | 0,7409 | 0,7153 | 0,6675 | |
| 0,9137 | 0,8884 | 0,8733 | 0,7452 | 0,7236 | 0,6829 | |
| 0,9001 | 0,8768 | 0,8631 | 0,7495 | 0,7304 | 0,6950 | |
| 0,8901 | 0,8625 | 0,8570 | 0,7530 | 0,7360 | 0,7040 | |
| 0,8827 | 0,8625 | 0,8511 | 0,7559 | 0,7404 | 0,7110 | |
| 0,8769 | 0,8578 | 0,8468 | 0,7583 | 0,7440 | 0,7167 | |
| 0,8722 | 0,8540 | 0,8436 | 0,7604 | 0,7470 | 0,7216 | |
| 0,8682 | 0,8508 | 0,8409 | 0,7621 | 0,7496 | 0,7256 | |
| 0,8648 | 0,8481 | 0,8385 | 0,7636 | 0,7518 | 0,7291 |
Таблица 12 – Квантили 
интегральной функции Лапласа
| Р | 0,90 | 0,95 | 0,96 | 0,97 | 0,98 | 0,99 |
| 1,65 | 1,96 | 2,06 | 2,17 | 2,33 | 2,58 |
Таблица 13 – Значения 
и 
, соответствующие различным и 
| 
|  при уровне значимости равном
| ||
| 0,01 | 0,02 | 0,05 | ||
| 0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
| 11 – 14 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
| 15 – 20 | 0,99 | 0,99 | 0,98 | |
| 21 – 22 | 0,98 | 0,97 | 0,96 | |
| 23 – 27 | 0,98 | 0,98 | 0,97 | |
| 28 – 32 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
| 33 – 35 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
| 36 – 49 | 0,99 | 0,99 | 0,98 |
Проверим с помощью 
критерия гипотезу о нормальном законе распределения погрешностей в указанном эксперименте.
Расположим экспериментальные данные в порядке возрастания: 3,36; 3,38; 3,39; 3,39; 3,40; 3,40; 3,40; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,42; 3,44; 3,44; 3,44; 3,46; 3,46; 3,47; 3,48; 3,50.
Вычисляем значение величины 
:
.
Вычисляем значение величины 
:
, (7)
где значения коэффициентов 
берутся из таблицы 14.
Т. к. 
формула 7 примет следующий вид:
.
Коэффициенты 
, взятые из таблицы 14, имеют следующие значения:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
.
Находим расчетное значение критерия:
.
При определенном уровне значимости q (q=0,05) проверяем выполнение условия:
, (8)
где 
критическое значение критерия, взятое из таблицы 15.
.
По критерию условие (8) выполнено. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась.
Таблица 14 – Значение коэффициентов 
|
| 
| ||||||||||||||||
| k k-1 k-2 k-3 k-4 | 0,7071 | 0,6872 0,1677 | 0,6646 0,2413 | 0,6431 0,2806 0,0875 | 0,6233 0,3031 0,1401 | 0,6052 0,3164 0,1743 0,0561 | 0,5888 0,3244 0,1976 0,0947 | 0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399 | 0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695 | ||||||||
|
|
| ||||||||||||||||
| k k-1 k-2 k-3 k-4 k-5 k-6 k-7 k-8 k-9 | 0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303 | 0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539 | 0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240 | 0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433 | 0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 | 0,4996 0,3234 0,2498 0,1902 0,1402 0,0987 0,0545 0,0182 | 0,4982 0,3206 0,2456 0,1876 0,1378 0,0954 0,0516 0,0174 0,0054 | 0,4964 0,3178 0,2412 0,1851 0,1336 0,0911 0,0476 0,0168 0,0034 | 0,4942 0,3154 0,2387 0,1828 0,1304 0,0876 0,0436 0,0152 0,0022 0,0008 | ||||||||
Таблица 15 – Критические значения критерия
|
| Уровень значимости | ||
| 0,01 | 0,02 | 0,05 | |
| 0,753 | 0,756 | 0,767 | |
| 0,687 | 0,707 | 0,748 | |
| 0,686 | 0,715 | 0,762 | |
| 0,713 | 0,743 | 0,788 | |
| 0,730 | 0,760 | 0,803 | |
| 0,749 | 0,778 | 0,818 | |
| 0,764 | 0,791 | 0,829 | |
| 0,781 | 0,806 | 0,842 | |
| 0,792 | 0,817 | 0.850 | |
| 0,805 | 0,828 | 0,859 | |
| 0,814 | 0.837 | 0,866 | |
| 0,825 | 0,846 | 0,874 | |
| 0.835 | 0,855 | 0,881 | |
| 0,844 | 0,863 | 0,887 | |
| 0,853 | 0,870 | 0,893 | |
| 0,862 | 0,878 | 0,899 | |
| 0,874 | 0,885 | 0,906 | |
| 0,881 | 0,894 | 0,911 |
3.Список используемой литературы:
1. Третьяк, Л. Н. Обработка результатов наблюдений : учеб. пособие / Л.Н. Третьяк. – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.
2. Третьяк, Л. Н. Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями : учеб. пособие / Л. Н. Третьяк. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2002. – 60 с.
3. Сергеев, А. Г. Метрология, стандартизация, сертификация : учебник для студентов вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Терегеря. – М. : Юрайт, 2010. – 820 с.