Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Задача №1.

 

1. Через фокус параболы y² = 4x проведена прямая, пересекающая директрису в точке с ординатой 5 . Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения директрисы с осью Ох и перпендикулярной первой прямой.

 

2. Найти уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ох, если её эксцентриситет равен = 0.8, а прямая, проходящая через его левый фокус, перпендикулярна прямой x + y = 10 и проходит через точку А(0, 4).

 

3. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если известно, что две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через фокус параболы и точку пересечения директрисы с осью Ох, пересекаются в точке А(–3, 4), а параметр параболы положителен.

4. Найти большую полуось эллипса , если прямая, проходящая через его левый фокус, перпендикулярна прямой x + 2y + 1 = 0 и проходит через точку А(–2, 6).

 

5. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ох, если прямая 4x + 3y – 20 = 0 проходит через правый фокус гиперболы и перпендикулярна асимптоте с положительным угловым коэффициентом.

 

6. Найти точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы , если известно, что точка А(1, 12) лежит на прямой, проходящей через левый фокус гиперболы.

 

7. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если точка А(–3, 6) лежит на прямой, которая проходит через ее фокус и перпендикулярна прямой, соединяющей точку В(6, 9) и точку пересечения директрисы параболы с осью Ох (параметр параболы положителен).

 

8. Определить координаты точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы эллипса , если известно, что точка А(–2, 6) лежит на прямой, проходящей через его правый фокус.

9. Через правый фокус гиперболы проведена прямая, перпендикулярная асимптоте с положительным угловым коэффициентом. Определить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы и делящей пополам отрезок первой прямой между осями Ох и Оу.

 

10. Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси Ох, если ее эксцентриситет равен 1.25, а взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через фокусы гиперболы, пересекаются в точке А(0, 5).

 

 

Задача №2.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти: 1) длину ребра А₁А₂ и направляющие косинусы ; 2) косинус угла между рёбрами А₁А₂ и А₁А₃; 3) площадь грани А₁А₂А₃; 4) уравнение грани А₁А₂А₃; 5) объём пирамиды и её высоту, опущенную из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.

1. А₁ ( 2, 0, 3), А₂ (–2, 5, 0), А₃ (–2, 0, 5), А₄ (–1, 3,–2).

2. А₁ ( 4, 2, 5), А₂ ( 0, 7, 2), А₃ ( 0, 2, 5), А₄ ( 1, 5, 0).

3. А₁ ( 2, 2, 8), А₂ ( 5, 8, 0), А₃ ( 0, 6, 5), А₄ ( 7, 4, 7).

4. А₁ ( 2, 4, 3), А₂ ( 4, 7, 2), А₃ ( 0, 8, 5), А₄ ( 5, 3, 7).

5. А₁ ( 1, 3, 2), А₂ ( 6, 5, 2), А₃ ( 3, 8, 5), А₄ ( 2, 5, 6).

6. А₁ ( 8, 4, 4), А₂ (–4, 6, 0), А₃ ( 4, 6, 5), А₄ ( 5, 8, 1).

7. А₁ (–1, 6, 0), А₂ ( 3, 0, 4), А₃ ( 3, 5, 5), А₄ ( 2, 8, 7).

8. А₁ ( 4, 4, 3), А₂ ( 2, 7, 3), А₃ ( 2, 4, 5), А₄ ( 4, 7, 1).

9. А₁ ( 6, 4, 2), А₂ ( 8, 3, 3), А₃ ( 3, 4, 5), А₄ ( 6, 8, 5).

10. А₁ ( 5, 5, 1), А₂ ( 4, 3, 6), А₃ ( 1, 3, 6), А₄ ( 6, 2, –1).

Задача №3.

 

1. Доказать, что прямые

параллельны и найти расстояние между ними.

 

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости x – 3y + 2z +1 =0 с прямыми:

 

3. Определить угол между прямой

и плоскостью, проходящей через точки: А(2,3,–1); В(1,1,0); С(0,–2,1).

 

4. Даны прямые:

Убедиться, что они лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.

 

5. Найти угол, который образуют прямая

с плоскостью x – y – z + 1 =0. Найти координаты точки пересечения прямой с этой плоскостью.

6. При каком значении "l " плоскость 5x – 3y + lz + 1 =0 будет параллельна прямой

7. Определить угол между прямой

и плоскостью, проходящей через точки: А(2,–3,–1), В(4,–1,0), С(0,–2,0).

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2,–3, 5), перпендикулярной плоскостям: 2x + y – 2z + 1 = 0 и x + y + z – 5 =0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости 5x + y + 3z – 4 = 0.

10. Составить уравнение проекции прямой

на плоскость x + y – z + 1 = 0