Методические положения расчета перспективных технико-экономических показателей деятельности предприятия на основе экстраполяционного метода прогнозирования

Постановка задачи

В лабораторной работе № 1 необходимо составить прогноз величины технико-экономического показателя yt производственной деятельности предприятия отрасли, предсказав его возможную величину на основе статистических данных о его изменении за несколько предыдущих лет.

Исходные данные для расчета даются в табл. П. 1.1 и представляют собой информацию о величине прогнозируемого показателя на интервале времени за несколько предыдущих лет [t1; t2 …tn].

Совокупность числовых значений показателя yt образует динамический ряд yt = {y1, y2…yn} на отрезки времени T = {t1, t2…tn}. Количество числовых значений, необходимых для решения поставленной задачи, должно быть не менее 8.

 

Методические положения расчета перспективных технико-экономических показателей деятельности предприятия на основе экстраполяционного метода прогнозирования

 

Этап 1. Установление наличия и тесноты связи между величиной прогнозируемого показателя и фактором времени.

1.1. Определение точечной оценки коэффициента корреляции по формуле:

 

, (1.2)

где yti – текущее значение показателя yt (t = 1…n),

ti - текущее значение показателя t (i = 1…n),

n – количество лет, за которые собраны статистические данные о значении показателя yt.

По величине ryt определяется сила взаимосвязи yt и t при наличии между ними линейной связи. Чем ближе ryt к «+1» или «–1», тем ближе связь между yt и t к линейной. Наличие нелинейной связи определяется с помощью корреляционного отношения (расчет см. далее).

 

1.2. Проверка значения рассчитанного коэффициента корреляции по критерию :

 

(1.3)

где - коэффициент оценки достоверности гипотезы о значимости коэффициента парной корреляции (табл. П.1.1);

k = n - 2 – число степеней свободы (характеристика суммы квадратов (отклонений) показывает, сколько отклонений в сумме квадратов может изменяться "свободно”);

- вход в таблицу ;

- уровень значимости гипотезы.

При выполнении критерия (1.3) гипотеза о значимости коэффициента парной корреляции подтверждается, т. е. величина yt зависит от фактора времени.

 

Этап 2. Выбор вида математической модели, описывающей взаимозависимости yt и t.

2.1. Построение графика изменения показателя yt на интервале [t1, tn].

2.2. Выбор вида математической модели, описывающей взаимозависимость yt и t .

Наиболее простой путь выбора формы кривой, описывающей динамику показателя yt ,визуальный – выбор формы кривой на основе графически построенного ряда динамики (этап 2.1). В табл. 1.1 приводится перечень наиболее употребляемых видов кривых, на основе которых выбирают математическую модель и анализируют данные.

 

Таблица 1.1

Визуальный выбор формы взаимосвязи

График функции Вид зависимости Уравнение тренда
    Прямая  
    Парабола 2-го порядка  
t
t
Уt
Уt

 

 

 Парабола 3-го порядка  
  Показательная кривая (экспонента)  

В большинстве случаев практически приемлемым является метод характеристик прироста, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста [4]. Расчет количественных оценок приростов показателя, дополненный визуальным выбором формы взаимосвязи, уменьшает риск неправильного выбора модели для прогнозирования.

2.3. Расчет параметров тренда .

1. Расчет параметров тренда, выбранного для экстраполяции, осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК), сущность которого сводится к минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных (формула 1.4).

. (1.4)

 

На основе МНК параметры уравнения тренда определяются с помощью системы нормальных уравнений.

Нормальные уравнения для расчета параметров прямой имеют вид

 

(1.5)

 

Для параболических зависимостей параметры уравнения находят, решая соответствующие системы алгебраических уравнений [2, с. 27-29], или используя встроенные функции Ехсеl.

При выполнении данной лабораторной работы следует учитывать, что в практических исследованиях в основном используются следующие функции: линейная, показательная (экспонента), параболическая (2-го и 3-го порядка), гипербола. Поэтому при форме связи следует отдавать предпочтение именно этим зависимостям (для упрощения расчетов). При выполнении вычислений на компьютере на практике осуществляется перебор всех поддающихся вычислению моделей и производится выбор наилучшей из них. Лучшей считается та модель, для которой приведенные критерии оценки точности принимают наименьшее значение.

2. Параметры тренда также можно определить в Excel по следующей последовательности действий:

1. Данные заносятся в таблицу.

2. Выбирается меню «Вставка» – «Диаграмма» – «Точечная».

3. Правой кнопкой мыши щелкните на точки графика, в появившемся окне выберите «Добавить линию тренда».

4. Открывшееся диалоговое окно представлено на рис. 1.2.

5. Далее выбирается наиболее подходящий тип зависимости для вашей кривой (линейная, логарифмическая и т. д.).

6. Перейдите ко вкладке «Параметры».

7. Отметьте флажком «Показать уравнение на диаграмме», нажмите ОК.

 

Рис. 1.2. Построение линии тренда и параметров уравнения тренда

 

Полученное уравнение можно в дальнейшем использовать для прогноза и получения его точечного значения.

 

Этап 3. Расчет критериев точности математической модели.

3.1. Определение расчетных значений моделируемого показателя , подставляя значения аргументов (t) в полученное уравнение тренда.

3.2. Расчет отклонения фактических значений yt от расчетных по формуле:

 

. (1.6)

 

3.3. Расчет среднего квадратического отклонения.

, (1.7)

где n - число наблюдений,

р – количество расчетных коэффициентов в уравнении тренда.

 

3.4. Расчет средней относительной ошибки

 

. (1.8)

 

Критерии (1.7) и (1.8) показывают степень точности воспроизведения моделью реального изменения моделируемого показателя.

3.5. Важным критерием надежности модели является эмпирическое корреляционное отклонение

 

, (1.9)

где S2– общая дисперсия,

- остаточная дисперсия.

 

S2= , (1.10)

где - математическое ожидание показателя (среднее значение), вычисленное по заданному динамическому ряду.

 

Корреляционное отношение характеризует тесноту связи между yt и t при нелинейных зависимостях, его значения находятся в пределах от 0 до 1. Если зависимость линейна, то .

Поскольку можно утверждать, что если ryt = 0, 0, то в совокупности с графическим анализом зависимости yt и t с помощью коэффициента парной корреляции можно оценивать наличие взаимосвязи как при линейной, так и нелинейной корреляционной зависимости.

Это условие может быть использовано в качестве критерия линейности модели. Если условие выполняется, то линейность регрессии подтверждается.

 

Этап 4. Прогнозирование показателя yt.

1. Расчет точечной оценки прогноза показателя осуществляется подстановкой величины ti = n+1 в полученное уравнение тренда.

2. Расчет интервальной оценки прогноза осуществляется по зависимости

 

(1.11)

, (1.12)

где tgk – статистика Стьюдента, определяемая (приложение 2, табл. П. 2.1) по выходам k= n-2 и p = 1- /2;

n -число наблюдений в динамическом ряду;

t n+1 - величина t для прогноза года;

- математическое ожидание t;

- среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений yt от расчетных (см. формулу 1.7).

 

Тема: Методы экспоненциального сглаживания

Лабораторная работа № 2