РАЗДЕЛ 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
· Излагается теория дифференциальных уравнений первого порядка
· Описываются основные типы уравнений первого порядка
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ У' =F(X,Y). ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
О п р е д еле н и е. Дифференциальным уравнением, называется уравнение вида F(x,y,y',…, y(n) = 0, где F(t0,t1,t2,…, tn+1) — функция, определенная в некоторой области D пространства Rn+2, х — независимая переменная, у — функция от х, у',…, у( n ) - ее производные.
О п р е д еле н и е. Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных у, входящих в уравнение.
Функция f(x) называется решениемуравнения на промежутке (а; b), если для всех х из (а;b)выполняется равенство: F(x,f(x),f'(x),..., f( n )(x)) = 0. Интегральная кривая— это график решения.
Пусть исследуемое уравнение имеет вид: у' =f(x,y). Это уравнение первого порядка, разрешенное относительно у'. (Термин "разрешенное" означает, что у' выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вила F(x,y,y') = 0, из которого выразить у', может быть и не удастся). Сформулируем важнейшую теорему.
Теорема(О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть 
- непрерывная функция в области D 
R2, причем 
- также непрерывен в D. Тогда для любой точки 
задача Коши:
имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть два ее решения у1 и y2, определенные на интервалах (a1;b1) и (a2;b2), содержащих точку x0, то они совпадают, на пересечении (а;b) этих интервалов.
Замечание.Говорят, что решение y1(x) дифференциального уравнения на интервале (a1;b1) есть продолжение решения у2(х) на (a2;b2), если (a2;b2) 
(a1;b1) и у1(х) ≡ у2(х) на (a2;b2). Также говорят, что решение у(х) — максимальное или непродолжаемое относительно D, если у(х) не обладает продолжениями, целиком лежащими в D.
На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.
Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения у' =f(x,y) представляет собой у' - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке (х, у), а правая часть f(x,y) задает его численное значение f(x,y) в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направленийна области D, т.е. к каждой точке (х,у) D прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интегральной кривой.
Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку (х.у) D проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая. Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.