Ы.АЛТЫНСАРИН АТЫНДАЫ АРАЛЫ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫ ИНСТИТУТЫ

Жаратылыстану жнк апараттандыру факультеті

Математика жне физика кафедрасы

Дріс кешені

Геометрия негіздері пні бойынша

5В010900-Математика мамандыына арналан


Дріс кешеніні рылымы

Дріс. Математикалы структура ымы, изоморфизм

Жоспары

1. Математикалы структура ымы, изоморфизм.

2. Аксиомалар системасыны интерпретациялары (модельдері)

3. Структураларды изоморфизмі

 

Дріс тезисі

атынас ымын еске тсірейік. Ешайсысы бос жиын болмайтын М1 , М2, ... , Мn жиындары берілсін. Кез келген блімше жиын М1, М2, ... , Мn жиындарыны ішінде аныталан n ар атынас деп аталады. Егер (m1, m2,…, mn) болса, онда m1, m2,…, mn, мнда (mi ) элементтері атынасында дейді.

Егер жне, сондытан, болса (мнда Мnдрежесі – М жиыныны n-ші декартты дрежесі), онда n-ар атынасы М жиыны ішінде аныталан дейді.

бинар атынас болан жадайда (n=2) (m1,m2) орнына деп жазады. Егер жиыны стінде

алгебралы операция (композицияны ішкі заы) аныталан болса, онда оны блімше жиын арылы, мнда ретінде алып, Е жиыныны ішінде аныталан тернар атынас (n=3) рлінде арастыруа болады.

Егер Е жиыныны стінде операторларыны жиыны болатын

Композицияны сырты заы аныталса, онда оны блімше жиыны арылы, ретінде алып, , Е жиындарыны жиындарыны ішінде аныталан тернар атынас ролінде арастыруа болады.

Егер біз декартты кбейтіндіден р трлі екі блімше жиын, мысалы, 1 мен 2 бліп шыарса, онда біз М1 , М2, ... , Мn жиындарыны системасында р трлі екі атынасты анытаймыз. 1 2 боландытан, 1 атынасыны 2 атынасынан асиеттері бойынша згешелігі болмай оймайды.

Математика зіні алдына ондай масат оймайды да. Математиктер белгілі бір маынада мселені керісінше арастырады деуге болады: олар асиеттері алдын ала берілген атынастары болатын жиындарды іздеп тауып, соларды зерттейді.

Бос емес р трлі жиындарды бір шекті системасын алайы. арапайымдылы шін ш жиынды – E, F, G жиындарын алсата болады. E, F, G жиындарыны системасында аныталатын атынастарды 1, 2, ... , к арылы белгілейік. Бл атынастарды E×F×G декартты кбейтіндіні алдын ала берілген блімше жиындары ретінде арастырмай-а, тек айын тжырымдап, берілген А1 , А2, ... , Аt (1)асиеттерді анааттандыруы туралы ана талап ояйы.

Берілген асиеттерді анааттандыратын атынастарыны системасы бір емес, бірнешеу болуы да ммкін . мны бір арапайым мысалы мынадай.

- наты сандарды R жиыны стінде аныталан алгебралы операция болсын (операциясын атынасы ретінде арастыруа болатындыы жоарыда айтылан), біз осы атынасты мынадай асиеті болуын талап етейік: (коммутативтік). жиыныны стінде болатын екі коммутативтік операция бар (басаша айтанда, А1 асиеті бар атынасыны екі мні болады), олар наты сандардаы

райсысыны алдын ала берілген (1) асиеттері болатын 1,...,kатынастарыны барлы системаларыны жиынын Т арылы белгілейік. Егер Т болса, онда элементіE, F, G жиындарыны стінде Т текті структураны (длірек айтанда Т текті математикалы структураны) анытайды дейді.

Т жиынын анытайтын, айын трде тжырымдалан асиеттер Т текті стуктураны аксиомалары деп аталады, ал E, F, G жиындары – текті структураны базасы деп аталады. Текті бірдей бірнеше структураа бір арнайы атау беріледі. Мысалы, группалар структурасы, n лшемді евклидтік кеістікті структурасы т.с.с.

Мысал: (группалар структурасы)

Базассы бір ана Е жиынынан трады, атынастар системасы бір ана атынастан трады, ол тмендегі трт аксиоманы анааттандырады:

А1: атынасы – Е жиыныны стінде аныталан алгебралы операция;

А2:((a,b),c)=(a(b,c)), (ассоцитивтік);

А3: (бейтарап элементтерді болуы);

А4: (а элементіне симметриялы а/ элементіні болуы).

Белгілі текті структура аныталан жиыа арнайы атау беріледі. Сонда жоарыда арастырылан мысалыда біз «Е группа » дейміз, ал толы трде айтанда былай деу керек: «Е жиыны стінде группа структурасыны текті структурасы аныталан».

Егер база бірнеше жиыннан, мысалы ш,аиап айтанда E, F, G жиындарынан ралса, онда детте оларды біреуі, мселен Е жиыны басты роль атарады да, аландары аныталатын структурада кмекші роль атарады. Ондайда бл структуралар Е жиыныны стінде аныталан дейді де Fпен G жиындарын кмекші жиындар ретінде арастырады.

Мселен берілген К рісі стіндегі n лшемді векторлы кеістікті структурасын анытаанда база екі жиыннан, атап айтанда V жиыны мен К жиынынан ралады, біра онда К кмекші роль атарады.

Т текті структуралар теориясы дегеніміз – р айсысы Т-ны анытайтын аксиомаларды логикалы салдары болып табылатын сйлемдерді (теоремаларды) жиыны. Группалар теориясы, саиналар теориясы, аффиндік кеістікті теориясы, евклидтік кеістікті геометриясы т.с.с. осындай Т текті структураларды теориялары болып табылады.

Математикада математикалы структуралар ана зерттелінеді. Оны негізгі дісі – аксиоматикалы діс: онда рбір текті структурасы зіне сйкес аксиомаларды тізімі бойынша аныталады, одан рі таза жолмен логикалы сол текті структурасыны теоремасы жасалады.

Аксиомалар системасыны интерпретациялары (модельдері)

рбір жиыны стінде кез келген структураны анытауа болады деп ойламау керек. Мысалы: Е={0,1,2,3,4,5}жиыны стінде R рісі стіндегі n лшемді векторлы кеістік структурасын анытауа болмайды,алайда ол структура жиыны стінде оай аныталады.

Сондытан математикалы структураны анытаанда жадайы екі себептен туады, ол себептер мынандай:

а) берілген база ажетті текті структураны руа ммкіндік бермейді, біра базаны баса бір жолмен тадап аланда структура рылады;

б) ажетті структураны руа ммкіндік беретін база болмайды (базаалай алынса да, бола береді).

Соы жадайда Т жиынын анытайтын А1 , А2, ... , Аt аксиомалары системасыны айшылыыбар дейді. Ал егер арастырылан структураны анытайтын база болса (демек, болса), онда ол аксиомалар системасын айшылысыз дейді.

1, 2, ... , к атынастарына наты маына берерліктей жне А1 , А2, ... , Аt аксиомалары оындалатын бір наты М жиыны табылады делік. Ондайда А1 , А2, ... , Аt аксиомалар системасыны интерпретациясы рылды дейді де, М жиыныны зн Т текті структураны моделі дейді.

Мысалы. М жиыны элементтері наты сндар болатын екінші ретті квадрат матрицалар жиыны болсын. деттегі діспен матрицаларды осу жне оларды R рісіндегі наты сандара кбейту операциларын олданып, М жиыны наты сандарды R рісі стіндегі 4 лшемді векторлы кеістікті моделі болатындыын креміз.

Сонымен, А1 , А2, ... , Аt аксиомалар системасыны айшылысыздыын длелдеу шін оны йтеуір бір интерпретациясын ру жеткілікті болады.

Ескертпе. Егер Т текті структураларды анытайтын база болса, онда ол текті структураларды А1 , А2, ... , Аt аксиомалар системасы айшылысыз система деп аталады дедік. Кейде аксиомаларды мндай системасын маынасы бойынша айшылысыз система деп атайды.

Егер системадан логикалы бірі екіншісін теріске шыарарлы екі трлі орытынды жасалмайтын болса, онд аксиомаларды ол системасын ішкі айшылысыз система деп атайды.

Сонымен, егер математикалы логика задары арылы логикалы орытынды шыару техникасын зерттеп арастырмай, тек геометрия мселелерімен шектелсек, біз аксиомаларды берілген системасыны маынасы бойынша айшылысыздыы жніндегі мселені ана шеше аламыз.