Структураларды изоморфизмі

А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасы айшылысыз, жне сондытан негізгі атынастары ₁, ₂, ... , _к болатын Т текті структураларды анытайтын болсын.

М^/ жиыны стінде _i атынастара наты ^/₁, ₂^/, ... , _к^/ маыналар берілсінде, солар бойынша А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны брі де орындалатын болсын. Сонда М^/ жиыны стінде структурасы аныталады деуге болады. Сондай діспен М^// жиыны стінде _i атынастарыны наты ^//₁, ₂^//, ... , _к^// маыналары болатындай структурасы аныталсын. Егер

Яни элементтері атынасында, олара сйкес

элементтері атынасында биекция бар болса, онда жне структуралары изоморфты структуралары деп аталды. Мысалы. Т абелдік группа структурасыны тегі болсын. Осы тектегі наты екі структураны арстырайы:

- аддитивтік группа ретінде наты сандарды R жиыны,

- мультипликативтік группаретінде о сандарды R₊жиыныы.

заы арылы берілетін , биекциясын арастырайы.

болатындытан , демек, жне структуралары изоморфты структуралар болады.

стінде структурасы аныталан М жиыныны зіне – зіні изоморфизмі сол жиынны автоморфизмі деп аталады.

Мылалы. n лшемді векторлы кеістікті стінде аныталан рбір азындамайтын сызыты оператор сол кеістікті автоморфизмі болып табылады.

НЕГІЗГІ ДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ОСЫМША ДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с:

Дріс таырыбы: Аксиомалар жйесiні айшылысыздыы туелсiздiгi жне толыктыы

Жоспары:

1. Аксиомалар жйесіні арама-айшылысыздыы.

2. Аксиомалар жйесіні туелсіздігі.

3. Аксиомалар жйесіні толытыы.

Дріс тезисі

Біз бір А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасын тжырымдады дедік. Ол аксиомалар системасы арылы аныталатын Т текті структуралар туралы сз етуден брын екенін тексеру керек.

Ол шін осы аксиомалар системасыны бір интерпретациясын ру жеткілікті болатындыын білеміз. Интерпретацияны ранда біз системаны ішк айшылытары болмайтындыына кзімізді бден жеткізетін «жеткілікті трде сенімді» ымдарды ана пайдалануымыз керек. Тек сол жадайда ана А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны ситемасы ішкі айшылысыз болады жне теориясынан, біз ол теореманы аншалыты заа дамытсата бірін-бірі теріске шыаратын екі теорема шыпайды.

Егер А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасы айшылысыз болса, онда ол система ешандай структураны анытамайды: атынастарда А₁, А₂, ... , А_tасиеттері боларлы база - E, F, G жиындары болмайды. Сондытан аксиомаларды ондай системасы пайдасыз болады, айтуа трарлы нтиже бермейді.

Сонымен, біз теорясын ратын А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасы айшылысыз болу керек. Бл асиомалар системасыны андай да болса да ойылатын аса манызды талап.

Жоарыда айтыландай, аксиомалар системасыны ішкі айшылысыздыы жніндегі мселені тек математикалы логика задары арылы ана шешуге болады.

Геометрияда арастырылатын аксиомалар системаларыны структураларын анытайтын интерпретациялар ранда біз р трлі сандар жиынын пайдаланамыз. Сондытан берілген А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасы айшылысыздыын, математикалы логика задарына сйенбей-а, біз мына йарыма келеміз. «Егер арифметика айшылысыз болс, онда А₁, А₂, ... , А_tаксиомаларыны системасы да айшылысыз».

Бізге аксирмаларыны системасы айын тжырымдалан базаны E, F, G жиындары стінде аныталатын ₁, ₂, ... , _катынастары анааттандыратын, талаптарды тізбесі екендігі млім, біра мндаы атынастарды здері E ×F× G декартты кбейтіндіні блімше жиындары ретінде аныталып берілмеген. аксиомаларыны системасы наты атынастарды системаларыны системасындаы аксиомаларды брін де анааттандыратын бкіл Т жиынын анытайды.

Аксиомаларды системасы айшылысыз болсын, басаша айтанда, Т текті структураларды теориясын ру ммкін болсын. Сонда мынадай сра туады: берілген текті структураларды анытау шін системасындаы аксиомаларды брі де ажет пе, яни, Т жиынын згертпей, айтылып отыран аксиомаларды санн кемітуге болмас па екен?

А аксиомасы системасындаы аксиомаларды бірі жне болсын. Егер системасыны кез келген интерпретациясы системасыны да интерпретация болып табылса, онда А аксиомасы системасыны алан аксиомаларына туелді аксиома деп аталады.

Бл жадайда системасыны аксиомалары орындалса, А аксиомасы да орындалады. Демек, теориясында А сйлемі системасындаы алан аксиомаларды салдары болады.

системасындаы бір А аксиомасын оны теріке шыаратын аксиомасымен ауыстырайы та, аксиомаларды содан кейін рылан жаа системасын деп белгілейік. Сонда: системасыны рбір интерпретциясы системасыны интерпретациясы болады. Егер А аксиомасы системасыны алан аксиомаларына туелді болса, онда А аксиомасы системасыны интерпретациясында да орындалуа тиіс. Біра _i атынастарыны айсысыболса да рі А, рі аксиомаларыны асиеттеріне атарынан ие бола алмайды.

Сондытан, А аксиомасы системасыны алан аксиомаларыа туелді болса, онда аксиомаларды системасы айшылыты болып шыады.

Сонымен, аксиомасыны системасындаы алан аксиомалара туелсіздігін длелдеу шін, аксиомаларды

Системасы маынасы бойынша айшылысыз болатындыын длелдеу жеткілікті.

Мысалы. Абельдік группалар структурасын анытайтын аксиомаларды системасы аксиомаларынан жне

аксиомасынан ралады. А₅ аксиомасыны акиомаларына туелсіз екенін длелдейік.

Ол шін аксиомаларды системасыны айшылысыздыын длелдеу жеткілікті, мндаы аксиомасы А₅аксиомасыны терістеуі, атап айтанда

Алайда системасыны айшылысыздыы коммутативті емес группаларды болуынан шыады.

Егер А аксиомасы системасындаы аксиомаларды аландарына туелді болса. Онда оны аксиомалар тізімінен шыарып сызып тастап, теориясын тек системасыны ана аксиомаларын пайдаланып руа болады.

рине, системасындаы аксиомаларды райсысы аландарына туелсіз боланы жасы. Кейде берілген системасындаы аксиомаларды аландарына туелділерін біртіндеп тауып алып, сызып тастап, аксиомалары біріне-бірі туелсіз система растыруа болады.

Алайда берілген системасындаы кейбір аксиомаларды сол системаларды алан аксиомаларына туелділігі немесе туелсіздігі жнінде мселе ою маынасыз болады. Мысалы, группаны структурасын анытайтын аксиомаларыны системасында А₃ аксиомасыны сол системадаы алан ш аксиомаа туелділігі немепсе туелсіздігі жнінде мселе ою орынсыз болады, йткені А₄ аксиомасын тжырымдаанда А₃аксиомасы орындалады деп есептеледі.

Ескертпе. Егер А аксиомасы системасындаы алан аксиомалара туеліз болса, онда аксиомаларды системасы айшылысыз болады жне ол Т текті структураларды анытайды. Ондай жадайлармен III тарауда, Гильберт аксиомаларыны системасын арастыранда, кездесеміз.

₁, ₂, ... , _катынастарыны асиеттерін сипаттайтын аксиомаларды айшылысыз системасы берілсін. Тмендегі шарттарды анааттандыратын А аксиомасы бар делік:

а) А аксиомасы жаа атынастар туызбайды;

б) ол системасыны аксиомаларына туелсіз;

в) аксиомаларды системасына айшылысыз.

Осы ш шарт орындаланда аксиомаларды системасы толымсыз система деп аталады. Ал егер ондай А аксиомасы болмаса, онда системасы аксиомаларды толы системасыдеп аталады.

Аксиомаларды системасы толымсыз болмын, яни жоарыда айтылан а), б), в) шарттарды анааттандыратын А аксиомасы табылсын. Сонда в) шарты бойынша аксиомаларды системасы айшылысыз болады, ал б) шарты бойынша А аксиомаларды системасындаы аксиомалара туелсіз боландытан, аксиомаларды системасы айшылысыз болады. системасыны интерпретацияларыны бірін арылы, системасыны интерпретацияларыны бірін арылы белгілейік. жне боландытан, жне интерпретациялары да аксиомаларды системасыны интерпретациялары болып табылады.

Біра интерпретациясында А аксиомасы орындалып, интерпретациясында А аксиомасы орындалатындытан, системасышін пен интерпретациялары изоморфты болмайды.

Сонымен, аксиомаларды системасы толымсыз болса, онда оны зара изоморфты болмайтын интерпретациялары болады. Сондытан, аксиомаларды системасыны толы екендігін длелдеу шін, оны барлы интерпретацияларыны зара изоморфты екендігін длелдеу жеткілікті болады.

1-мысал. Біз кітапты 2-блімінде R рісі стіндегі барлы n лшемді аффиндік А_n кеістіктері изоморфты болатындыын длелдегенбіз. Сондытан, R рісі стіндегі n лшемді аффиндік кеістікке арналан Вейль аксиомаларыны {1,2} системасы толы система болады.

R рісі стіндегі n лшемді евклидтік Е_n кеістікке арналан Вейль аксиомаларыны {1,2,3} системасы толымдылы асиеті болады.

Мселе мынада:айтылып отыран 3-аксиома системаа жаа атынас кшірулер кеістігінде векторларды ортогональды атынасын енгізеді. Сондытан Е_n кеістігіні {1,2,3} аксиомалары анытайтын Т структурасыны тегінен згеше болады жне болады.

2-мысал. Группалар структурасын анытайтын аксиомаларыны системасына жаа атынас енгізбейтін жне алдыылара туелсіз А₅ аксиомасын осу арылы айшылысыз аксиомаларыны системасын руа болатындыы аксиомалар системасыны толымсыздыы жнінде орытынды жасауа ммкіндік береді.

Аксиомаларды системасы айшылысыз жне Т текті структураларды анытайтын болсын. Егер осы структураларды брі изоморфты болса, онда теориясын бір мнді теория дейді. Ал, Т текті структураларды кейбіреуі ана изоморфты болып, кейбіреулері изоморфты болмаса, онда теориясын кп мнді теория дейді.

Біз енді А_n кеістігіні геометриясы мен Е_n кеістігіні геометриясы - бір мнді теориялар, ал группалар теориясы - кп мнді теория дей аламыз. «Кп мнді теорияларды зерттеу - азіргі математиканы классикалы математикадан айырмашылыын сипаттайтын е крнекті белгісі».