Дріс таырыбы: Кейбір теоремаларды длелдеу. Мектеп геометрия курсыны аксиомалар жйесі жне оны Вейль аксиомаларымен байланысы

Жоспары:

1. Планиметрияны кейбір теоремаларын длелдеу
2. Стереометрия теоремаларын длелдеу мысалдары

Дріс тезисі

Планиметрияны кейбір теоремаларын длелдеу

Біз бл параграфта тек бір П жазытыында раналасан фигураларды ана арастырамыз.

Естеріізге сала кетейік, жазытыты озалысы( немесе орын ауыстыруы) деп біз оны кез келген екі нктесіні арасындаы ашытыты сатайтын трлендіруін айтамыз. Егер бізге ортонормаланан репер берілсе, онда R реперін R^/ реперіне аударатын бір ана озалыс болады, онда ол нкте осы озалысты нтижесінде R^/ реперіні М^/ нктесіне кшеді, бл нктені координаталары да сол x,y болады. озалыс ш нктені атынасын згертпейді, демек, тзуді тзуге, кесіндіні кесіндіге, сулені сулеге, жарты жазытыты жарты жазытыа аударады.

F₁ мен F₂ фигураларыны бірін екіншісіне аударатын озалыс болса, бл фигуралар конгурент немесе біріні орныныа екіншісі сай келетін) фигуралар деп аталады.

озалыстар группа растырандытан, фигураларды конгуренттік асиеті барлы фигуралар жиыны стіндегі эквиваленттік атынас болып табылады.

1- теорема Жазытыта [ОХ) жне [О^/ Х^/) сулелері, (ОХ) тзуімен шектелген П₀ жарты жазытыы, (ОХ) тзуімен шектелген П₀ жарты жазытыы берілсін. Онда жазытыты [ОХ) сулесін [О^/ Х^/) сулесіне П₀ жарты жазытыына аударатын бір ана озалысы болады.

Мынадай ортонормаль реперлерді арастырайы (142- сурет)

 

 

R реперін R^/ реперіне аударатын f озалысы [ОХ) сулесін [О^/ Х^/) сулесіне П₀ жарты жазытыын П₀ жазытыына аударады.

 

2- теорема ( кесінділерді лшеп салу туралы). Жазытыта[ОХ) сулесі мен [АВ) кесіндісі берілсін. Онда Мндай В^/ нктесі біреу ана болады.

Мынадай ортонормаль реперлерді арастырайы (143 – сурет)

R реперін R^/ реперіне аударатын f озалысы болады.

3- теорема.

[AB] [A ^/B^/] ,боландытан f|f ([AB])= [A ^/B^/] озалысы болады (144- сурет) f озалысы А нктесі жатпайтын [BС] сулесін f(А)=A^/ нктесі жатпайтын В^/ нктесінен басталатын сулесіне аударады. Сондытан|f ([BС])= [В ^/С^/) ал шарт бойынша [BС] [В ^/С^/] онда 2 теореманы салдары бойынша:

2. Бізге [AB] жне[СD] екі кесінді берілсін. Кез келген [ОХ) жне[OВ^/] [AB] жне [OD^/] [СD] кесінділерін салайы. (145- сурет) .

Сонда тмендегідей жадайларды болуы ммкін:

1) . Ал [AB] жне [СD] кесінділері [OВ^/] кесіндісіне когурентті, сондытан [AB] [СD]

2) . Онда [AB] кесіндісі [СD] кесіндісінен лкен, ал [СD] кесіндісі [AB] кесіндісінен кіші дейді де, былай жазады:

[AB]> [СD] немесе [СD]< [AB]

4- теорема ( брышты лшеп салу туралы). Жазытыта

а) (АВ) тзуімен шектелген П₀ жарты жазытыында жататын дес ВАС брышы берілсін;

б) [О^/ Х^/) сулесі жне (OX) тзуімен шектелген П₀ жарты жазытыы берілсін. Онда П₀ жарты жазытыында сулесі болады. Мндай [О^{/ /}) сулесі біреу ана болады.

4 теорема бойынша озалысы болады.

ВАС дес брышы П₀ мен жарты жазытытарыны илысуы болаандытан (146- сурет), f озалысы ВАС брышын дес брышына аударады.

5- теорема [ОС) сулесі АОВ брышыны абыраларыны арасында, ал [О^/ С^/) сулесі АОВ брышыны абыраларыны арасында жатсын. Сонда егер <АОС <А^/ О ^/С^/ жне <СОВ С^/ О ^/В болса ^/<АОВ <А^/ О ^/В^/ болады.( 147 –сурет)

Екі дес брыш <ВАС мен <MNL , берілсін (148- сурет)

Бір [О Х) сулесін жне (ОХ) тзуімен шектелгенП₀ жарты жазытыын алаы 4- теорема бойынша П₀ жарты жазытыында мына шарттарын анаатттандыратын [О) жне [ОZ) сулелері болады. зіні сыбайлас брышына конгурэнт болатын брыш тік брыш деп аталады.

6- теорема. Тік брыштар болады.

Мынадаай ортогональ реперлерді арастырайы

 

Мнда (151- сурет). озалысы бары млім дес брыштары рі сыбайлас, рі конгурэнт. Сондытан бл брыштарды райсысы тік болады.

Вейльді 3 –аксиомасына сай етіліп, кшірулер кеістігінде билиниялы форма арылы аныталан векторларды ортогональдыы туралы ым евклидтік нктелік кеістіктегі тік брыш ыммен тыыз байланысты болып келеді.

7- теорема. <ХО тік брыш векторлары бір біріне ортогональ.

Дес кпбрыш тік брыштан лкен болса, доал брыш деп аталады, ал тік брыштан кіші болса – сйір брыш деп аталады. Екі тзу а жне в илысанда трт брыш ралады, олар нмірленіп 1,2,3,4 деп крсетілген 153- сурет. Егер осыларды біреуі тік брыш болса, алан шеуі де тік брыштар болады.. Бл жадайда а жне в тзулері тік брыш жасап илысады немесе а жне в тзулері зара перпендикуляр дейді, ал оларды райсысын екіншісіне тскен перпендикуляр деп атайды. зара перпендикуляр тзулерде жататын кесінді( сондай а екі суле кесінді мен тзу, суле мен тзу, кесінді мен суле) зара перпендикуляр делінеді.

векторлары тік брыш жасап. О нктесінде илысатын а жне в тзулеріні баыттаушы векторлары болсын 154 сурет

8 теорема. А тзуі мен В нктесі берілсін В нктесі арылы а тзуіне перпендикуляр теді, ол біреу ана болады.

Салдар. Бір тзуге тсірілетін екі перпендикуляр илыспайды ( егер олар илысатын болса, онда оларды илысу нктесінен берілген тзуге екі перпендикуляр жргізілген болар еді, ол жйіт 8 –теоремаа айшы келер еді)

Бдан кейін мына теоремаларды длелдеуге болады:

1. Те бйірлі шбрыш туралы теорема

2. шбрыштарды конгурэнттігіні бірінші, екінші, шінші белгілері

3. шбрышты сырты брышы туралы теорема

4. мынадай теорема: егер р трлі екі тзу а жне в тзулері, бір жазытыта жатса жне олар шінші бір с тзуімен илысанда ралатын брыштар шін тмендегі ш шартты бірі орындалатын болса

а) сйкес брыштар конгурэнт болса (<а <2)

б) ішкі брыштар конгурэнт болса (<1 <3)

в) ішкі ттас брыштарды осындысы (<1+<4) жазы брыш болса онда алан екі шарт та орындалады жне а,в тзулері илыспайды. 155 сурет

Естеріізге салайы Вейль аксиомалары арылы рылан геометрияда здеріні баыттаушы векторлары коллинеар болатын екі тзу, а жне в тзулері параллель тзулер деп аталады. Мндай тзулер бір жазытыта жатады жне олар илыспайды немесе беттескен тзулер болады.. Анытамадан мынандай салдар шыады:

1) берілген А нктесі арылы берілген а тзуіне параллель болып, бір ана тзу теді;

2) Паралельдік дегеніміз- барлы тзулер жиыны стіндегі эквиваленттік атынас;

3) Егер параллель а жне в тзулеріні жазытыында жататын с тзуі алдыы екі тзуді бірін иып тетін болса, онда ол екіншісін де иып теді;

4) Егер екі тзу параллель болса, онда олар кез келген июшы тзумен мынадай брыштар растырады( параллель тзулерді асиеттер):

а) конгурэнт сйкес брыштар растырады;

б) конгурэнт ішкі айыш брыштар растырады;

в) ттас екі брышыны осындысы жазы брыш болатын ішкі брыштар растырады

3-4 салдарлар керісінше йару тсілімен оай длелденеді.

9- теорема . шбрышты ішкі брыштарыны осындыс жазы брыш болады

Кез келген АВС шбрышын 156 сурет алайы. А нктесі арылы а(ВС) тзуін жргізейік. Сонда <1 <В , <2 <С. Ал(<1+<2+<А)- жазы брыш. Сондытан (<А+<В+<С)- осындыс жазы брыш.

Салдар: шбрыштарды сырты брышы зімен сыбайлас емес екі ішкі брышыны осындысына конгурэнт болады.