Евклидті «Негіздемелері». Евклид системасын сынау. V постулат

Евклид (б.э. дейінгі 330 - 275 жылдар) – Платон мектебіні трбиесін алан алым, кейін александрияда математикадан саба берген. Оны «Негіздемелерінде» геометрияны негізгі арнасы жйелі трде баяндалан, бл ебекті зор шеберлікпен жазыландыы сонша, геометрия асырлар бойы осы шыарма бойынша оытылып келген.

Евклидті «Негіздемелері» 13 кітаптан (яни тараудан) ралады.

1- кітап. шбрыштар туралы теоремалар, параллель тзулерді теориясы, шбрыштар мен кпбрыштарды те шамалы болу шарттары, Пифагор теоремасы.

2- кітап. Кпбрышты оан те шамалы болатын квадрата айналдыру.

3- кітап. Шебер.

4- кітап. Іштей жне сыртттай сызылан кпбрыштар, дрыс n- брышты салу жолдары (n=5,6,10, ал n=3 жадай 1-кітапты арастырылан болатын).

5- кітап. Пропорциялар теориясы.

6- кітап. Кпбрыштарды састыы.

7, 8, 9- кітап. Геометриялы жолмен баяндалан арифметика.

10- кітап. Орта лшемі жо шамалар.

11, 12, 13- кітап. Бларда стереометрияны негіздемелері баяндалан, ал 13- кітап тгелімен дрыс кпжатар жніндегі ілімге арналан.

Геометрияны Евклидті тсында алымдара млім болан бірталай материалы «Негіздерде» айтылмаан.

Постулаттар. I. Кез келген нктеден баса бір кез келген нктеге дейін тзу сызы жргізуге болатындыы талап етіледі.

II. рбір (шектеулі) тзуді ажетінше соза беруге болатындыы талап етіледі.

III. Кез келген центрден кез келген радиуспен шебер сызуа болатындыы талап етіледі.

IV. Тік брыштарды бріні бірдей болуы талап етіледі.

V. рдайым екі тзуді шінші бір тзу иып ткенде шінші тзуді бір жаында осындысы екі тік брышты осындысынан кем ішкі ттас брыштар ралатын болса, шектеусіз созанда алашы айтылан екі тзуді иылысатындыы жне осындыны екі тік брышты осындысынан кем жаында иылысатындыы талап етіледі.

Аксиомалар. І. райсысы з алдына шінші бір шамаа те екі шама біріне бірі те болады..

ІІ. Те шамалара те шамаларды осанда шыатын осындылар да те болады.

VII. Біріні орнына екіншісі дл келетін фигуралар біріне бірі те болады.

Содан кейін Евклид геометрияны теоремаларын баяндайды, бл теоремаларды райсысы брын арастырылан теоремаларды, постулаттарды жне аксиомаларды ана пайдаланып длелдеуге боларлытай етіліп, реттелген жйе бойынша орналастырылады.

Теорема.рбір А а нктесі арылы а тзуіне параллель болатын бір ана тзу теді.

Теорема (кері теорема). Егер а тзуінен тысары жататын рбір а нктесінен сол а тзуіне параллель болатын бір ана тзу тетін болса, онда V постулат дрыс болады (оны теорема ретінде длелдеуге болады).

Тік брышты шамасын d рпімен белгілейік. Жазы брыш екі тік брышты осындысындай болады, сондытан b шамасы 2d-ге те болады.a тзуі мен Аа нктесі берілсін, А нктесі арылы екі тзу, атап айтанда, а тзуін В нктесінде иып тетін с тзуі мен

(1)

тесіздігін анааттандыратын b тзуі тсін (2 - сурет). b тзуі а тзуін иып тетіндігін жіне оларды bа иылысу нктесі с нктесімен шектелген, брыштары орналасан, П жарты жазытыында жататындыын длелдеу керек.

болатындай етіп,бір а´А тзуін жргізейік. Сонда

(1), (2)

(3)

Болатындытан, (2), (3) шыады. Бдан а´ а болатындыы крінеді (ал а´тзуі а тзуін иып теді деу таы да шбрышты сырты брышы туралы теоремаа айшы орытындыа келтірер еді, сырты брышы туралы теореманы длелдемесінде V постулат пайдаланылмайды). Біз айтылып отыран параллель тзуді біреу ана болатындыын постулат ретінде абылдады. Сондытан b тзуі а тзуін (ba´) иып теді. Енді ba П болатындыын длелдеу ана алды. жне боландытан, болады. Сондытан а жне b тзулері с тзуімен шектелген, біра мен брыштарын амтымайтын П´ жарты жазытыында иылыса алмайды, йткені иылысады деп йару, таы да шбрышты сырты брышы туралы теоремаа айшы орытындыа келеміз, олай болса, а жне b тзулерін П жарты жазытыында иылысады.

Сонымен, V постулат мынадай йарыма эквивалент (парапар) болады: Аа нктесінен тіп, берілген а тзуіне параллель болатын бір ана тзу болады.

Одан рі екі параллель тзуді шінші бір тзу иып ткенде ралатын сйкес брыштарды конгруэнт болатындыы, шбрышты ішкі брыштарыны осындысы 2d-ге те болатындыы т.б. теоремалар длелденеді. Демек, V постулат геометрияны маызды теоремаларыны кпшілігіні негізінде жатыр.

НЕГІЗГІ ДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ОСЫМША ДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с: