Дріс Гильберт аксиомаларыны системасы

Жоспары:

1. Гильберт аксиомаларыны жйесі
2. І топтаы аксиомалар
3. ІІ топтаы аксиомалар
4. ІІІ топтаы аксиомалар
5. ІV топтаы аксиомалар
6. V топтаы аксиомалар

Дріс тезисі

1899ж. неміс математигі Д. Гильбертті «Геометрия негіздемелері» атты ататы кітабы басылып шыты. Бл кітапта тыш рет евклидтік геометрияны логикалы жолмен руа жеткілікті болатын аксиомаларды тізімі келтірілді. Осы кнгі математикадаы аксиоматикалы діс пен математикалы структураларды азіргі трыдан арастырылатын теориясы (яни Н.Бурбаки тобы алыптастыран тсініктер) Гильбердті « Геометрия негіздемелерінен» басталады деуге болады.

1. Гильбердті баяндауы бойынша евклидтік кеістік структурасыны базасы ш жиыннан – E,F,G жиындарынан – трады. Бірінші Е жиыныны элементтері нктелер деп аталады да, А,В,С,. . ., ріптерімен белгіленеді, F жиынын элементтері тзулер деп аталады да, a,b,c,. . . ріптерімен белгіленеді, G жиыныны элементтері жазытытар деп аталады да . . . (немесе П, , . . .) ріптерімен белгіленеді.

Базаны жиындары стінде «тиісті» (немесе жатады), «арасында жатады» жне «конгруэнт» сздерімен белгіленетін атынастар болады. Бл атынастарды наты сипаты андай екендігі елеулі роль атармайды, тек сол атынастар тменде тізімі келтірілетін аксиомаларды анааттандыратын болса, боланы (бл аксиомалар осы атынастарды айын тжырымдалан асиеттерін крсетеді).

Гильберт аксиомаларыны тізімінде 20 аксиома бар, олар бес топа блінген.

І топтаы аксиомалар – іліктестік аксиомалары.

«Жатады», яни іліктестік белгісін біз табасы арылы белгілейміз. Бірінші топа мынадай сегіз аксиома бар:

І₁. А, ВЕ, АВ, аF Аа, Ва.

Мндай а тзуі біреу ана болады ( ол (АВ) деп те белгіленеді)

І₂. аF (А, ВЕ, АВ) Аа, Ва.

І₃. Бір тзуде жатпайтын е кем дегенде ш нкте болады. Егер А, В, С нктелері бір тзуде жатпаса, былай жазып крсетеді: А(ВС) немесе В(АС) немесе С(АВ).

І₄. А, В, СЕ, А(ВС), ПG А, В, СП.

Мндай жазыты біреу ана болады (ол (АВС) деп те белгіленеді).

І₅. ПG, АЕ АП.

І₆. (А, Ва, АВ; А, ВП, Са)СП.

Бл жадайда «а тзуі П жазытыында жатады» дейді немесе «П жазытыы а тзуінен теді» дейді.

І₇. (АП, А, П)ВА ВП, В.

І₈. А, В, С, DЕ А (ВСD).

Бл аксиомалар бойынша мынадай теореманы длелдеуге болады: кез келген жазытыта бір тзуді бойында жатпайтын ш нкте болады.

ІІ топтаы аксиомалар –рет аксиомалары.

Егер В нктесі А жне С нктелеріні арасында жататын болса, біз оны былай жазып крсетеміз: (АВС).

ІІ₁. (АВС)(СВА), А, В, С – тзуді р трлі ш нктелері.

ІІ₂. А, ВЕ, АВ, С(АВ) (АВС).

ІІ₃. Тзуді ір трлі ш нктесіні екеуіні арасында жататыныны саны бірден аспайды.

Бдан кейін, атынасын пайдаланып, кесінді мен оны ішкі нктелеріні деттегі анытамаларын жне сулені анытамасын беруге болады.

ІІ₄. (Паш аксиомасы). А, В, С нктелері бір тзуде жатпайтын нктелер, ал а тзуі (АВС) жазытыыны айтылып отыран ш нктесіні ешайсысынан тпейтін тзу болсын. Егер а тзуі [АВ]кесіндісіні ішкі нктесінен тетін болса,онда ол тзу [АС] кесіндісіні ішкі нктесінен де немесе [ВС] кесіндісіні ішкі нктесінен де теді. Айтылып отыран а тзуі [АВ], [АС], [ВС] кесінділеріні шеуін бірдей иып те алмайтындыын длелдеуге болады.

І жне ІІ топтардаы аксиомалардан шыатын кейбір теоремаларды крсете кетейік.

1. А, ВЕ, АВ, М(АВ) (АМВ).

2. рдайым тзуді р трлі ш нктесіні біреуі ана алан екеуіні арасында жатады.

3. Кез келген кесіндідегі нктелерді жиыны шексіз болады.

4. П жазытыында жататын а тзуі сол п жазытыыны а тзуінде жатпайтын нктелеріні жиынын екі блікке бледі.

Бдан кейін жарты жазыты пен оны шекарасыны деттегі анытамаларын, брыш пен оны абыраларыны анытамаларын жне кпбрышты анытамасын тжырымдауа болады.

5. Егер тзу дес брышты тбесінен тіп, оны ішкі облысындаы нктелер жиынымен р (бос) жиыннан згеше иылысу жасайтын болса, онда ол тзу штары брышты абыраларында жататын кесіндіні иып теді.

Ескерте кететін бір жйіт мынадай: біз І жне ІІ топтардаы аксиомаларды пайдаланып, тзуді нктелеріні жиыны шексіз екендігін таайындаймыз. Біра бл аксиомалар арылы тзудегі нктелерді жиыны саналымсыз жиын екендігін длелдеуге болмайды.

ІІІ топтаы аксиомалар –конгруэнттік аксиомалар.

Конгруэнттікті табасымен белгілейміз.

ІІІ₁. Егер [АВ] кесіндісі мен [ОХ) сулесі берілсе, онда В´[ОХ)[АВ][ОВ´]. Мндай нктені біреу ана екендігін длелдеуге болады.

ІІІ₂. [А´В][АВ], [А´´В´´][АВ] [А´В´][А´´В´´].

ІІІ₃. ((АВС), (А´В´С´), [АВ][А´В´], [ВС][В´С´])[АС][А´С´].

ІІІ₄. Дес АОВ брышы [О´А´) сулесі жне (О´А´) тзуімен шектелген П´ жарты жазытыы

берілсін. Онда П´ жарты жазы П´

тыында [О´В´)АОВА´О´В´ B О´ В´

атынасын анааттандыратын

бір ана [О´В´) сулесі болады. А´

(3- сурет). Сонымен атар, O A

рбір брышты зі-зіне кон- 3 – сурет.

груэнт болуы, яни рдайым АОВАОВ болуы, талап етіледі.

ІІІ₅. Егер екі шбрыш – АВС жне А´В´С´ шбрыштары шін [АВ][А´В´], [АС][А´С´], ВАСВ´А´С´, болса, онда АВСА´В´С´ болады.

IV топтаы аксиомалар – здіксіздік аксиомалары.

IV₁. (Архимед аксиомасы). [АВ] мен [СD] берілген кесінділер болсын. (4-сурет). Онда (АВ) тзуіні бойында А₁,A₂,. . ., A_n нктелеріні тмендегі шарттарды анааттандыратын шекті жиыны болады:

а) (АА₁A₂), (A₁A₂A₃), . . ., (A_n-2A_n-1A_n),

б) [АА₁][A₁A₂]. . .[A_n-1A_n][CD],

в) (АВА_n)

IV₂. (Кантор аксиомасы). Бір а тзуіні бойында [А₁B₁], [A₂,B₂], . . . кесінділеріні мынадай екі шарты анааттандыратын шексіз тізбегі берілсін:

а) рбір келесі кесінді зіні алдында айтылатын кесіндіні блігі болып табылады;

б) кез келген алдын ала берілген [СD] кесіндісі шін n[A_nB_n] [CD] тесіздігі орындалатындай n натурал сан табылады.

Онда а тзуіні бойында берілген тізбекті кесінділеріні райсысына жататын М нктесі болады. (5-сурет)

Мндай М нктесіні біреу ана болатындыы тсінікті. Шынында да, NM нктесі де берілген тізбектегі кесінділерді райсысына жатады деп йарса, n саны андай болса да, [A_nB_n] [MN] болар еді, ал ондай орытынды аксиомаа айшы келер еді.

І-ІІІ топтардаы аксиомалар сол алпында саталанда IV₁-IV₂ аксиомалары мынадай Дедекинд сйлеміне эквивалент болатындыын длелдеуге болады. [АВ] кесіндісіндегі нктелерді K₁, K₂ кластарына блшектеуі, атап айтанда K₁K₂=[AB], K₁K₂= блшектеуі, берілсін жне ол мынадай екі шартты анааттандырсын:

1) AK₁, BK₂ жне K₁K₂ кластарында А, В нктелерінен згеше нктелер де бар.

2) егер ХK₁, XA жне YK₂ болса, (AXY) атынасы дрыс болады.

Онда

М₀[AB] ((AXM₀)XK₁ жне (M₀YB)YK₂)

[AB] кесіндісіні 1-2 – шарттарды анааттандыратын К₁, K₂ кластара блшектенуін дедекиндтік има деп атайды. M₀ нктесін осы иманы шыаратын нкте дейді. Мндай нктені біреу ана болатындыын длелдеуге болады.

V топтаы аксиомалар – паралельдік аксиомасы.

а тзуі мен Аа нктесі берілсін. Онда (А,а) жазытыында жатып, а нктесінен тіп, а тзуімен иылыспайтын тзулерді саны бірден аспайды. Ондай ( А нктесінен тіп, а тзуіне параллель болатын) тзуді болатындыы жоарыда длелденген.

1- ескертпе. Гильбертті аксиоматикасын біз оу ралдарында айтылып жргеніндей етіп баяндады. Гильбертті «Геометрия негіздемелерінде» IV топты аксиомасы ретінде параллельдік аксиомасы, ал V топты аксиомалары ретінде здіксіздік аксиомалары алынан, мнда Гильберт Кантор аксиомасыны орнына баса аксиома алып, оны сызыты толымдылыты аксиомасы деп атаан. Бл аксиоманы тжырымдауы тым шбалаы, сондытан біз оны келтірмейміз.

2- ескертпе. здіксіздік аксиомаларын пайдаланып, наты сандарды R жиыны стінде тзу нктелері жиыныны ретін сатайтын биекция болатындыын длелдеуге болады. Сонымен, тзуді бойындаы нктелер, R жиынындаы сандардай, здіксіз, біріне бірі иін тіресе орналасады.

2. ш лшемді наты евклидтік кеістікке арналан Вейль аксиомаларыны системасын _W деп, ал Гильбертті I-V аксиомаларыны системасын _H деп белгілейік.

Егер Г(´) теориясында ´´ системасыны барлы барлы сйлемдері дрыс болса, ал Г(´´) теориясында ´ барлы сйлемдері дрыс болса, онда ´ пен ´´ системалары зара эквивалент системалар деп аталады. Бл жадайда біз бір ана теорияа келеміз: Г(´)=Г(´´) жне принциптік жаынан аланда аксиомаларды ´ пен ´´ системаларыны айсысын негізгісі деп есептесе де брібір. Алайда бл тек принциптік жаынан ана солай. Ал практикада аксиомалар системасыны (аксиомаларды зара эквивалент системалары жиынынан) стті трде тадалып алынуы теорияны жасалуын айтарлытай оайлатуы ммкін.

Аксиомаларды _W жне _H системаларыны біріне бірі эквивалент екендігін длелдеуге болады.

Ескертпе.Е₃ евклидтік кеістікті структурасын анытаанда Гильберт те Евклидте болан E, F, G жиындарыны базасын алады жне Гильберт негізгі атынастарды атап крсетеді, осы атынастарды асиеттерін сипаттайтын аксиомаларды тізімін береді. Сонымен, Гильбертті аксиоматикасы Е₃ кеістігіні геометриясын «Евклидті з рухында» жасауа бейімделген.

НЕГІЗГІ ДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ОСЫМША ДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с: