Геометрияны мектептік курсыны аксиомалары жайында
Орта мектепке арналан геометрияны жаа оулытарында курсты негізін руа W системадан да, Н системадан да згеше система алынан.
Біз VI – VIII кластара арналан оулытарда А.Н.Колмогоровты редакциясымен берілген планиметрияны аксиомалар системасын арастырамыз. Мнда евклид жазытыыны структурасыны базасы Е, F, G ш жиыннан трады, сонымен бірге 
Е-ні элементтері – нктелер, ал F-ті элементтері тзулер (рбір тзу – Е жиыныны белгілі бір блімше жиыны) деп аталады. G – ашыты деп аталатын белгілі бір теріс емес шамаларды жиыны.
Негізгі атынастар тиістілік атынас болып табылады жне 
бейнелеумен аныталатын тернарлы атынас болады.
элементінде функциясын абылдайтын (АВ) мні А дан В-ге дейінгі ашыты деп аталады жне |АВ| арылы белгіленеді.
«Арасында жатады» атынасы былай аныталады: егер Х нктесі А жне В нктелеріні райсысынан згеше болса, онда мына шарттарды анааттандырса: |АВ|+|ХВ|=|АВ|, онда Х нктесі А жне В нктелеріні арасында жатады. Бл жадайды біз былай жазамыз: µ(АХВ). Планиметрияны мектептік курсыны аксиомалар системасы (мны К арылы белгілейміз) I – V бес топа блінген 12 аксиоманы амтиды.
Т и і с т і л і к а к с и о м а л а р ы.
І1. Тзу – нктелер жиыны.
І2. Кез келген р трлі екі нктеге сйкес, оларды амтитын тек ана бір тзу болады.
І3. Е болмаанда бір тзу бар жне сол тзуді райсысында е болмаанда бір нкте болады.
а ш ы т ы а к с и о м а л а р ы.
ІІ1. |АВ|=0А=В.
ІІ2. |АВ|=|ВА|.
ІІ3. |АС||АВ|+|ВС|, 
Р е т а к с и о м а л а р ы.
ІІІ1. тзуіні кез келген О нктесі \{О} жиынын бос емес L1, L2 екі жиына былай бледі:
а) 
мынаны табамыз: µ(АОВ);
б) егер А жне ВА нктелері L1, L2 жиындарыны біріне тиісті болса, онда µ(ОАВ) немесе µ(ОВА).
жиындарыны райсысы, бас нктесі О болатын суле деп аталады. ХО нктесі бар бас нктесі О болып келген сулені [ОХ) деп белгілейді.
ІІІ2. Егер [ОХ) суле берілсе, онда 
болатындай f:G[ОХ) бейнелеу бар болады.
ІІІ3. Егер µ(АВС) атынас орындалса, онда А, В, С нктелері бір тзуде жатады.
ІІІ4. Кез келген тзуі Е\ жиынын бос емес екі П1, П2 жиына былай бледі:
а) кез келген А 
П1, В П2 нктелері тзуімен блінген;
б) егер А жне В нктелері П1, П2 жиындарыны біріне тиісті болса, онда бл нктелер тзуімен блінген.
жиындарыны райсысы р тзуімен шектелген жарты жазыты деп аталады, ал р тзуі жарты жазытыты шекарасы деп аталады.
IV. Ж а з ы т ы т ы о з а л ы ш т ы а к с и о м а с ы.
Егер |АВ|>0 жне |АВ|=|А1В1| болса, онда дл екі ыыстыру бар, оларды райсысы А нктесін А1 нктесіне, ал В нктесін В1 нктесіне кшіреді. Бл ыыстырулар (АВ) тзуімен шектелген Н жарты жазытыы (А1В1) тзуімен шектелген Н1, Н1’ екі жарты жазытыа кшіреді.
V. П а р а л л е л ь д е р а к с и о м а с ы. Берілген нктеден берілген тзуге параллель бірден артпайтын тзу теді.
1 – т е о р е м а. К 
(W).
С а л д а р. Егер наты сандар арифметикасы айшылысыз болса, онда К аксиомалар системасы да айшылысыз болады.
2 – т е о р е м а. W (К).
1 жне 2 теоремалардан шыатын салдар.
С а л д а р. W жне К аксиомалар системасы эквивалентті.
Сфералы геометрия белгілі бір сферада жататын фигураларды асиеттерін зерттейді. Осы сфераны S, оны центірін О, радиусын r арылы белгілелік.
П(О, П)< r жазытыын алалы. Сонда SП иылысуы шебер болады, мны егер О 
П болса, онда лкен шебер, ал егер О 
П болса, онда кіші шебер дейміз.
Сфералы М0М1М2...Мn сына ымы жазытыы сыны ымы сияты аныталады, тек тзулерді [М0М1],...,[Мn-1Mn] кесінділеріні орнына лкен шеберлерді 
М0М1,..., 
Мn-1Mn доалары алынады.
Егер 
болып, мына екі шарт орындалса:
а) 
(немесе 
) фигураны кез келген екі нктесін F фигурасымен иылыспайтын, сфералы сыныпен осуа болса;
б) егер A 
, B 
болан жадайда А жне В нктелерін осатын жне жне F фигураны имайтын сфералы сына болмаса, онда 
фигура 
фигураны , 
екі блікке бледі.
Кез келген 
лкен шебер 
фигураны екі блікке блетінін байау иын емес, бларды 
жне 
арылы белгілейік. Q шеберді П жазытыыны бір жаында жатанда А жне В нктелері , фигураларыны бірінде жатады.
жне 
фигураларды райсысы жартылай сфера деп, ал Q лкен шебер осы жартылай сфераларды шеті деп аталады.
А мен В нктелері – S сфераны диаметр бойындаы арама-арсы екі нктесі, АВС жне АDВ – штары А мен В нктелерінде жататын жартылай шебер болсын, Г – осы шеберді бірігуі болсын.
Г фигура S\Г фигураны 
екі блікке блетінін крсетуге болады. 
фигураларды райсысы, тбелері А жне В нктелерінде жататын екібрыш деп аталады. Берілген АВС жне АDВ жартылай шеберлері осы екібрышты абыралары деп аталады. Осы екіжаты брышты сызыты брышы берілген екібрышты брышы деп аталады. Егер екібрыш тік болса, онда екібрыш тік брышты деп аталады.
Q1, Q2 – р трлі екі лкен шебер болсын, рі 
делік. Біз мнда П 
Q1 жне Q2 жазытытарды ианнан алынан вертикаль екіжаты брышты екі осаы мен S сферада ойып тсіретін вертикаль екібрышты екі осаын табамыз. Егер осы екібрышты біреуі тек тік брышты болса, онда алан шеуі де тік брышты. Бл жадайда Q1, Q2 лкен шеберлер перпендикуляр деп аталады: Q1 
Q2. Мынау тсінікті:
2. Екі А, В S нктесін алалы жне Q осы нктелерден тетін лкен шебер болсын. Q шебер, штары А жне В нктелерінде жататын зіні 
жне 
екі доасыны бірігуі болып табылады. осы екі доаны зындытарыны жартылай шеберден зын емес, А жне В нктелерініиарасындаы сфералы ашыты деп аталады жне d(А,В) деп белгіленеді. Демек d(А,В)r, 
.
жартылай шеберден кем болсын, яни d(А,В) – осы доаны зындыы. АМВ доаа сйенетін АОВ цнтрлік брышты шамасын , ал АВ кесіндіні зындыы (А,В) деп белгілелік. Мынау белгі:
(1)
АОВ шбрышынан мынаны табамыз:
(2)
(1), (2) 
(3)
3. Сфераны озалысы деп сол сфераны зіне кез келген изометриялы бейнелеуін, яни тмендегі шартты анааттандыратын f:SS бейнелеуі аталады.
Егер F, 
екі фигураны біреуін екіншісіне кшіретін S сфераны озалысы бар болса, онда ол екі фигура конгурэнтті деп аталады.
4. S сферада жалпы жадайдаы А, В, С ш нктені алалы. Олар ш жартылай сфераны анытайды, оларды райсысы А, В, С нктелерін амтиды, оны стіне, бл нктелерді екеуі жартылай сфераны шетінде жатады.
Осы ш жартылай сфераны иылысуы тбелері А, В, С болатын сфералы шбрыш деп аталады. лкен шеберді АВ, ВС, АС доалары (жартылай шеберден кемдері) АВС сфералы шбрышты абыралары деп аталады.
немес 
Бл тедіктер сфералы шбрыштара сйкес синустар теоремасын рнектейді.
5. АВС сфералы шбрышты алалы. А* деп Q(В,С) лкен шеберді [Q(B,C), A] жартылай сферада жататын полюсін белгілелік. Дл осы сияты В*, С* нктелерін табамыз.
А*, В*, С* сфералы шбрыш АВС сфералы шбрыша араанда полрлы деп аталады.
Бл тедік сфералы шбрыша сйкес косинустар теоремасын рнектейді.
1.V – наты сандарды R рісі стіндегі n+1 лшемді евклидтік векторлы кеістік болсын. Егер :V\{0}E бейнелеуі беріліп, ол мынадай:
1) – сюръекция;
2) 
коллинеар;
деген аксиомалары анааттандырса, онда Е 
жиыны Риманны n-лшемді эллипстік кеістігі деп аталады.
V векторлы кеістік евклидтік боландытан, Sn кеістігінде ашыты ымын былай енгізуге болады. r о санды береміз. Егер М1, М2 нктелері 
векторларымен тудырылса, онда М1, М2 нктелерді арасындаы ашыты деп,
(1)
шартты анааттандыратын теріс емес (М1, М2) санын айтамыз. r>0 саны Sn кеістік исытыыны радиусы деп аталады.
Сйтіп, Sn эллипстік кеістік Рn проективтік кеістік схемасымен салынады, біра тек V евклидтік векторлы кеістікті стінде трыз ылады жне ондаы скаляр кбейтінді (1) формула бойынша Sn де ашытыты анытау шін пайдаланылады.
(1)формуладан f кеістікті трлендіруі оны кез келген нктесіні араашытыын сатайтыны шыады. Мндай трлендіру Sn кеістікті озалысы деп аталады.
2. n=2 жадайын егжей-текжей арастралы. S2 ашыты элиппстік жазыты деп аталады.
ш лшемді Е3 евклидтік кеістікте О нктесін тадап алалы. Сонда, егер 
нктеге зіні 
радиус-векторына сйкестендірсек, Е3кеістікті зіні V кшірулер кеістігімен пара-пар туге болатыны белгілі.
S2 шбрышты ауданы мына формуламен есептеледі:
мндаы =А+В+С- – осы шбрышты артыы.
Демек, кез келген S2 шбрышта былай болады:
А+В+С>.
3. S2 эллипстік жазытыты проективтік моделін арастыралы. S2 жазыты ш лшемді эвклидтік V векторлы кеістікпен тудырылан, ондаы векторларды скаляр кбейтіндісі берілген 
бисызыты форманы кмегімен аныталады.
Р2=P(V) проективтік жазытыта екінші ретті исы Q аныталан: Ф(Х)=0, мндаы Ф(Х)= 
, бл 
векторы 
нктесін тудыран жадайда болады. Бл жадайда V векторлы кеістікте тек отогональ трлендірулер, яни векторларды скаляр кбейтіндісін, демек, квадратты форманы сатайтын V кеістікті сызыты трлендірулері арастырылады. Демек, Р2 жазытыта біз кез келген проективтік трлендірулерді емес, тек екінші ретті Q исыты Н Q стационар блімше (блгіш) группасын жасайтындарын арастыруымыз керек.
V кеістікте белгілі бір 
ортонормальды базисті алалы. Ол Р2 жазытыты 
проективтік реперін тудырады.Егер 
болса, онда
демек,R реперде Q исы мына тедеумен аныталады:
Бдан Q-ді нольдік исы екенін креміз.
4. Біз эллипстік жазытыты екі моделін арастырды:
1) 
жиыны Е3 евклидтіккеістіктегі радиусы r-ге те Q сферасыны ос диаметрлі арам-арсы нктесі; ашыты
формула бойынша аныталады.
2) Q нольдік исы (эллипстік жазытыты абсолюті) берілген Р2 проективтік жазыты жне HQ стационар блімше группадан алынан трлендірулер ана жіберіледі; ашыты
Формула бойынша аныталады.