Теорема 1. Егер жне евклидтік кеістіктері гомеоморфты болса, онда .

Бл (Брауэр) теореманы біз длелдеусіз абылдаймыз.

Кпбейнені мысалдарын келтірелік.

1-мысал. кеістігі -лшемді кпбейне. -дегі рбір ашы жиын да -лшемді кпбейне болады.

2-мысал. сфера -лшемді кпбейне. Ол кеістігіні ішкі кеістігі ретінде саналымды базисі бар хаусдорфты кеістік болады. Егер жне -оан диаметральді нкте болса, онда маайы -ге нктесіндегі жанама жазытыа гомеоморфты болады. нктесінен центрлі проекциялау арылы гомеоморфизм орната аламыз.

-дегі сфераны диаметральді арама-арсы нктелерін желімдеу арылы алынатын -лшемді проективтік кеістікті моделі де белгілі.

3-мысал. Проективтік кеістікте -лшемді топологиялы кпбейне болады. -ні рбір нктесні, яни кеістігіні желімделген нктелер жбыны де сйкес арама-арсы нктелерді центр еткен -дегі ашы шарлар маайлар жбына гомеоморфты маайы бар.

4-мысал. -тор лшемді кпбейне (58-сурет).

-лшемді кпбейнені анытамасынан оны рбір нктесіні сызыты байланысты маайа ие болатындыын креміз. Сондытан 3-теоремаа сйкес кпбейнені байланыстылыы шыады. -лшемді кпбейнені рбір байланысты компонентіні зі де -лшемді кпбейне бола алады. Тменде байланысты кпбейнелер ана арастырылады. -лшемді кпбейнеге тек жалыз нктелі жиындар ана жатады.

Компактылы кпбейнені кбінесе тйы кпбейне, ал компактылы емес кпбейнелерді – ашы кпбейне деп атайды. Бл тарауды масаты бір лшемді жне екі лшемді кпбейнелерді топологиялы классификациялау (длелдеусіз). Бір лшемді байланысты кпбейнелерді классификациялау иын емес. Ол келесі теоремада берілген.

Теорема 2. Кез келген бір лшемді компактылы (тйы) топологиялы кпбейне -шеберге геоморфты. Кез келген бір лшемді компактылы емес (ашы) топологиялы кпбейне -ге гомеоморфты.

Екі лшемді компактылы кпбейнелерді классификациялау иыныра. Ол шін кейбір жаа ымдарды енгізу ажет болады.

Жиекті кпбейне

кеістікті гипержазытыпен шектелген жарты кеістігін деп белгілелік.

-лшемді жиегі бар кпбейне деп саналымды базасы бар, рбір нктесіні -ге немесе -ге гомеоморфты маайы бар болатын хаусдорфты топологиялы кеістікті айтамыз. Жиегі бар кпбейнені -ге гомеоморфты маайы бар нктелерін ішкі нктелер деп, ал -ні -ге гомеоморфты маайы бар нктелерін жиек нктелері дейміз. Ішкі нктелерді деп белгілеу абылданан. жиыны да кеістігінде ашы жиын жне ол да -лшемді топологиялы кпбейне. Сондытан -де оны жиек нктелер жиыны тйы; оны -ні жиегі деп атап -деп белгілейді. кпбейнесінде жиыны жиынына шекара, сондай-а, -лшемді топологиялы кпбейне жиегі бар кпбейнені дербес жадайы. Оны жиегі бос жиын болады. Келесі теорема орынды.

Теорема. Егер -лшемді жиегі бар кпбейнені жиегі бос жиын болмаса, онда ол лшемді кпбейне болады. Егер компактылы болса, онда оны жиегі де компактылы (тйы) кпбейне.

Жоарыдаы айтыландарды елестетуге кмектесетіндей мысалдарды келтірейік.

1-мысал. Тйы жарты кеістік боланда жиегі бар кпбейне болады. Оны жиегі = . Егер де болса, онда суле, нкте. Егер де болса, онда жарты жазыты, ал тзу.

-мысал. -дегі тйы шар – жиегі бар кпбейне болады. Оны жиегі - сфера - болады.

Егер болса, онда – кесінді, ал - екі нктеден, кесіндіні штарынан трады. Егер болса, онда – дгелек, оны шектеуші шебер.

Екі лшемді кпбейнелерді классификациялау шін ажетті кейбір мысалдар «желмдеу» амалыны кмегі арылы алынады. Оны мні мынадай. Жиегі бар екі W' жне W" кпбейне алып, оларды W', W" жиектерінде айсыбір гомеоморфты L', L" бліктер алынады (59-сурет). X' L' жне X" L" сйкес нктелері бір Х нктеде желімделеді. X' жне X" нктелеріні желімделген маайлары Х нктесіні маайы деп есептеледі. W' жне W" кпбейнелерін желімдеу (андай да бір гомеоморфизмге сйкес) арылы жаа жиегі бар W кпбейне аламыз. Мысалы, кпжаты бетті, оны жатарын желімдеу арылы алынан деп тсінуге болады (60-сурет). Ал айналу цилиндіріні бетін – оны бйір беті мен екі табаныны желімдеуінен алынан деуге болады (61-сурет).

3-мысал. жазытыта квадратын арастыралы. Квадратты (0,y) жне (1,y) нктелерін «тедестірелік», яни оны арама-арсы екі абырасын желімделік (62-сурет). Сонда цилиндрді бйір бетіне гомеоморфты болатын екі лшемді жиегі бар кпбейне аламыз. Оны жиегі екі шеіберден трады.

4-мысал. Алдыы мысалдаы квадратты (0,y) жне (1,1-y) нктелерін теестірелік. квадратты нктелерін осы діспен желімдеуден алынан кпбейнені «Мëбиус жапыраы» деп атайды. Мëбиус жапыраын алу шін квадратты арама-арсы абыраларын желімдемес брын оларды айналдыра бір рет браймыз (62-сурет).

Жиегі бар кпбейне бола алатын - Мëбиус жапыраыны жиегі - шеберге гомеоморфты, сондытан Мëбиус жапыраы цилиндрлік бетке гомеоморфты болмайды.

5-мысал. Егер - тордан ашы дгелекке гомеоморфты жиынды шыарып («кесіп») тастаса, онда торды алдыы, жиегі шебер болатын, жиекті кпбейне болады. Оны «тта» деп атайды (63-сурет).

НЕГІЗГІ ДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ОСЫМША ДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с:

№ 12 дріс Беттi Эйлерлiк сипаттамасы. Беттерді топологиялы жiктеу ымы. Кпжактар шiн Эйлер теоремасы (1с)

Жоспары

1. Беттi Эйлерлiк сипаттамасы.

2. Беттерді топологиялы жiктеу ымы. Кпжактар шiн Эйлер теоремасы

Бетті сызыты элементі

Ф элементарлы беті, uv – жазытыыны G облысын топологиялы трлендіруден алынан болсын. G облысыныда исыын алалы. G облысын Ф бетіне кшіретін трлендіру , бл исыты Ф бетіні исыына кшіреді Ф беті - векторлы тедеуімен берілсе, онда исыы тедеуімен беріледі.

исыыны зындыы

(1)

мндаы _r интегралдау исыыны бойымен алынады дегенді білдіреді.

Квадратты форманы, бетті бірінші квадратты формасы немесе сызыты элементі деп атайды. Бл квадратты форманы коэфициенттері шін біз

белгілеулерін пайдаланымыз.

(1) формуладан, беттегі исыты зындыын табу шін, бетті бірінші квадратты формасын білу жеткілікті екенін креміз. Осыан байланысты бірінші квадратты форма бетті метрикасын береді деп атайды.

G облысында, (u₀,v₀) нктесінде иылысатын, жне

екі исы берілсін. Олара Ф бетіні стінде жне исытары сйкес болады. Орта Р(u₀,v₀) нктесінде осы исытарыны арасындаы брыш деп, оларды жартылай жанамаларыны арасындаы брышын айтады (34-сурет). Сонымен

Егер исытарыны бойымен u жне v арылы дифференцилдауды, d жне деп белугілеуге келіссек, онда жоарыдаы формуланы

(2)

(2) формуладан да беттегі екі исыты арасындаы брыш бірінші квадратты формамен аныталатынын креміз.

Енді андай шарт орындаланда бетті координаталы торы u, v ортогональды болатынын, яни тікбрыш жасап иылысатынын аныталы. U сызыыны бойымен du ал сызыыны бойымен

Сондытан u, v торы ортогонольды болады, , сонда тек ана сонда, егер F =0, яни F=0 боланда.

Изометриялы беттер. Беттерді майыстыру

Егер S₁ жне S₂ регулярлы беттерді нктелеріні арасында, сйкес исытарды зындытары бірдей болатындай зара бір мнді сйкестік орнатуа болса, онда бл беттерді изометриялы деп атайды. Изометриялы беттерді бірінші квадратты формалары бірдей болатындай параметризациялауа болады. Изометриялы беттер тсінігімен тыыз байланысты таы бір тсінік беттерді майыстыру.

Егер S₁ ,S₂ екі регулярлы бетті арасында изометриялы атынас орнатылса, онда S₂ беті S₁ бетін майыстыру арылы алынан деп атайды.

Майыстыруды мысалын келтірейік. Бізге АВСД тік тртбрышты пара берілсін.

Бір параты АВ жне СД абыраларында жатан ттас нктелерді бір нкте деп есептелік. Яни В мен С,А мен Д,N мен (35-сурет) бір нктелер болсын. Онда сол параты 35-суретті о жаындаы цилиндрді

майыстырумен алды деуге болады. Шынында да, оларды нктелеріні арасында бір мнді сйкестік орнатуа болады. рбір нктеге майыстырудан кейінгі шыан бетті сол гктесін сйкестікке оямыз. Осы екі бетті изометриялы беттер болатыны тсінікті.

Беттерді аз маайында майыстыруа болады, ал «бкіл» бетті майыстыруа р уаытта болады деуге болмайды. Мысалы, сфераны майыстыру ммкін емес.

Бетті трлендіру исытарды арасындаы брыштарды сатаса, онда ол конформды трлендіру деп аталады. Конформды трлендіру карта жасау ісінде лкен рл атарады. Географиялы карталар жер бетіндегі облыстарды конформды кескіндерін береді.

Бетті ауданы

Тегіс Ф-беті берілсін. Оны са g облыстара блшектелік. Осы облыстарды райсысында Р нктесін алалы жне бл облысты осы Р нктедегі жанама жазытыа проекциялалы. Осы проекцияны ауданын s(g) делік. Блшектенген g облысыны лшемі кемігенде шамасын Ф бетіні ауданы деп атайды.

тедеуімен берілген бетті ауданы шін формуланы табалы.

Е бірінші s(g)- ны рнектелік. Р нктесін координаталар басы етіп, ал осы нктедегі жанама жазытыты хОу-деп х,у,z декарт координаталарын енгізелік. Осы координаталарда g облысындаы бет

x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

тедеулерімен берілсін.

g облысыны лшемі мейлінше аз боланда оны жанама жазытыа (хОу жазытыына) бір мнді проекциялауа болады. Сондытан, проекциядаы исы сызыты координаталар деп u,v-ны алуа болады. Анализден, жазы облысты ауданы исы сызыты координаталарда

 

dudv

Формуласымен аныталатыны белгілі.

Интеграл астындаы рнекті

=

трінде жазамыз, мндаы Р нктесінде бетке бірлік нормаль вектор.

Бдан кейін

,

мндаы , рбір g облыста траты, осы облысты Р нктесіндегі бірлік нормаль вектора те, беттегі вектор-функция. g облысыны лшемі шексіз кемігенде шекке кшіп, бетті ауданын есептеу формуласын аламыз:

немесе

себебі векторлары зара коллинеар.

-

екенін ескерсек,

аламыз. Бл формуладан, біз бетті ауданы да бірінші квадратты формамен аныталатынын креміз.

Бет z=z(x,y) тріндегі берілсе, онда

сондытан

S=

№ 13 дріс Евклидтік кеістіктегі сызытар. (1с)

Жоспары

1. Сызык ымы.

2. Жазы исыктар.

3. Жанама.

4. исыты зындыгы.

5. Иiлiм жне бралым.

 

Евклидтік кеістіктегі сызытар.

1. V кеістігі ш лшемді векторлы евклидтік кеістік жне (а,b) аралыы бір санды интервал болсын. Сонда

бейнелеуі рбір санына V кеістігіні белгілі бір векторын сйкестендіреді. Бізге бл векторды арылы белгілеу олайлы болады. Сйтіп, біз t скаляр аргументті интервалында аныталан векторлы функциясына келеміз.

Егер векторыны нормасы нктесіні маында шектеусіз аз функция болса, онда векторын сол нктені маында шектеусіз аз вектор дейді. векторыны боландаы шегі деп, нктесіні маында айырмасы шектеусіз аз болатындай, траты векторын айтады. Мны былай жазады: .

Егер рбір нктесінде

тедігі орындалатын болса, онда векторлы функциясын (а,b) интервалында здіксіз функция дейді.

Бір нктесін алып, t аргументке болатындай етіп, сімше берейік. Содан кейін векторын табайы.

Егер шегі бар болса, онда функциясы t нктесінде дифференциалданатын функция деп аталады, біз бл шекті немесе арылы белгілейміз. Айтылып отыран шек функциясыны нктесіндегі туындысы деп аталады, ал векторы функциясыны дифференциалы деп аталады.

V векторлы кеістікті ортонормаль базисі болсын. векторын В базисіні векторлары бойынша жіктеп жазайы:

Енді мына векторды арастырайы:

Мынаны табамыз:

Бдан шыатыны:

Одан рі табатынымыз:

(1)

мнда

пен сімшелеріні маыналары да осы сияты болады.

(1) тедіктен, тек функцияларыны райсысы дифференциалдананда ана функциясы дифференциалданады деп орытамыз. Бл жадайда мына тедік дрыс болады:

.

Сонымен, векторлы функцияны дифференциалдау оны координаталарын дифференциалдауа келтіріледі.

2. Скаляр аргументті векторлы функцияларына сйкес дифференциалдау ережелері деттегідей орындалады:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Сызы ымы. кеістігіндегі теріс исытар

1.R санды тзудегі бір лшемді кпбейнеліктер (немесе шеті бар бір лшемді кпбейнеліктер) жне белгілі бір n лшемді кпбейнелік болсын. жадайы да саната осылады. Егер орындалатындай гомеоморфизм бар болса, онда

жне

матырулар атынаста болады дейміз. Соысы мынаны білдіреді:

. (2)

Rтзуіндегі бір лшемді кпбейнеліктерді кпбейнелікке матыруларды L жиынында эквиваленттік атынасы болатынын тексеруді оырмандара сынамыз. факторжиыныны рбір элементі кпбейнелікті сызы (немесе исы) деп аталады.

Сйтіп, Х кпбейнеліктегі исы дегеніміз кпбейнеліктегі бір лшемді кпбейнеліктерді эквивалент матыруларды класы болады. рбір матыру зіне эквивалент матыруларды класын бір мнді анытайды. Сондай-а, f матыруды исыты параметрлеу деп те атайды.

Егер жне матырулар эквивалент болса, онда (2) тедік крсеткендей,

,

Яни эквивалент матырулар кпбейнелігінде бірдей блімше жиынды зіні бейнесі етіп алады.

Егер матыру енгізу болса, онда оны келтіруі гомеоморфизм болып табылады. Демек, блімше кеістікті зі кпбейнелікте кпбейнелік болып табылады; бл кпбейнелікті бір лшемді блімше кпбейнелігі деп аталады. детте, енгізуімен аныталатын исыты жиынымен тебе-те трде арастырады.

2. исытарды дербес жадайларын атап тейік:

1) Егер исы ішіндегі белгілі бір , интервалды енгізумен аныталса, онда ол исы элементар исы деп аталады. Тзу сызы, синусоида - жазытыындаы элементар исытарды мысалдары.

2) Егер исы ішіндегі блімше кпбейнелік болса, онда ол сызы жай исы деп аталады. Кез келген элементар исы жай исы болып табылады. Шебер жазытыындаы жай исыты мысалы, ол элементар исы бола алмайды.

3) ішіндегі кесіндісіні матыруы шеткі нктелері жне болатын сызыты анытайды, ол доа деп аталады.

3. 3 евклидтік кеістікте ортонормаль реперді берейік жне кеістігіндегі исыты арастырайы, бл матырумен аныталады.

Егер болса, онда

(3)

Демек, исыын сызатын М нктесіні координаталары параметріні аралыында аныталан функциялары болып табылады. (3) тедіктер исыыны исыыны параметрлік тедеулері деп аталады.

Матыруды анытаиасынан (3) тедеулерді о жатары – І аралыындаы зіліссіз функциялар екені шыады. Алайда, егер (3) тріндегі тедеулерді алдымен жазса, оны о жатары – зіліссіз функциялар, онда бл тедеулер І аралыыны матыруын бермеуі де ммкін, яни ешандай исыты анытамайды. Мселен, тедеулері, мны о жатары траты, сызыты емес, нктені анытайды.

Егер функциялары интервалда зіліссіз жне осы функцияларды е болмаанда біреуі осы интервалда ата бірсарынды болса, онда (3) тедеуді элементар исыты анытайтынын длелдеуге болады.

4. Егер матыруды беретін (3) тедеулерді о жатары І аралыында оса есептегенде к ретке дейін зіліссіз туындылары бар, оны стіне бірінші ретті туындылары І аралыыны нктесінде брі бірдей нольге айналмайтын функциялар болса, онда матыру -матыру (немесе класа тн) деп аталады.

жне екі аралы болсын. Егер бейнелеу биективті жне пен бейнелеулерді екеуі де (райсысы зіні аралыында) осып есептегенде ретке дейін зіліссіз туындылары бар болса, онда бейнелеуі -диффеоморфизм деп аталады.

Мндай бейнелеу гомеоморфизмні дербес жадайы екені даусыз.

Егер -диффеоморфизм тедеуімен берілсе, онда функциясыны туындысы І аралыыны ешбір нктесінде нольге айналмайтынын жне осы аралыта табасын сатайтынын байау иын емес.

Егер болатындай -диффеоморфизм бар болса, онда біз жне -матырулар -эквивалентті деп айтамыз.

5. Кеістікте тзу сызыты тзуді нктесіні координаталарына сйкес туелсіз екі сызыты тедеуіні системасымен беруге болады. рине мынадай жалпы сра туады: андай жадайда тедеулерді

(4)

системасы тегіс исыты анытайды?

Бл сраа жауапты анализден белгілі жабы функциялар жайындаы теоремадан аламыз. Атап айтанда, координаталары (4) системаны тедеулерін анааттандыратын кеістікті нктелеріні жиыны болсын. нктесі, мына екі шарт орындалатындай нкте болсын:

1) нктесіні белгілі бір аймаында (4) тедеулерді сол жатары зіліссіз жне бірінші ретті зіліссіз туындылары бар,

2) нктесіні зінде

.

Онда, иылысуы тегіс исы болатындай нктесіні аймаы бар.

Егер 2) шартта крсетілген матрицаны соы екінші ретті миноры нольден згеше болса, онда аймаында (4) тедеулер системасын пен -ке сйкес шешуге болады. Біз мыналарды аламыз: . Анализден жне функцияларыны бірінші ретті зіліссіз туындылары бар екені белгілі. Демек, тедеулері аймаында тегіс исыты анытайды.

6. (3) ш тедеу бір векторлы тедеуге бара-бар:

, (5)

ысаша, , мндаы

Сонымен, сызыты сызатын М нктесіні радиус векторы І аралыта аныталан скаляр аргументті вектор функциясы болады. функцияларыны І аралыында осып есептегенде ретке дейін зіліссіз туындылары бар боланда ана (5) тедеу класты тегіс исыты анытайды жне .

 

$ 12. Жанама. Доаны зындыы.

1. (5) тедеумен берілген тегіс исыты арастырайы. Осы исытан р трлі жне екі нктені алайы. Мына вектор

 

тзуіні июшысыны баыттауыш векторы болып табылады. исыы тегіс боландытан, кез келген нктесінде мына туынды бар

жне бл туынды нольден згеше.

Егер исыты баса параметрлеуін алса, онда:

Демек, жне векторлары коллинеар. Оны стіне, туынды І аралыында табасын сатаандытан, боланда рбір

 

Дюпен индикатрисасы осьтеріні баыттарын біз бас баыттар деп атады. Кейіннен бас баыттар бойынша нормаль иілім зіні экстремальды мндерін кабылдайтынын орнатты. Демек, соы асиетен біз бас баыттарды аныгай аламыз деген сз. Блай анытаанда бас баыт тсінігін, тіпті, Дюпен индикатрисасы болмайтын жайылым нктесі шін де анытауа болады. Жайылым нктесінде нормаль иілім кез-келген баытта нлге те боландытан , кез-келген баыт бас баыт болады.

Жалпы жадайда бетті кез-келген нктесінде екі бас баыт бар. Тек жайылу нктесі мен Дюпен индикатрисасы шеберге айналатын эллипстік нктені (жмыр нкте) бліп арастыран жн. Мндай нктелерде кез-келген баыт бас баыт бола алады.

Беттегі баыты бас баыт болуы шін андай шарт орындалуы керек екен, соны тексерелік. Бізге

формуласы белгілі. рнекті ожаы айнымалыларыны функциясы жне бл функция бас баыттар шін зіні экстремаль мндерін абылдайтын боландытан, онын осы айнымалылар бойынша туындылары нлге те. Демек,

Бл тедеулерден

тедіктер аламыз. Оларды теестіріп,бас баыттар шін тмендегі тедеуді аламыз:

Бл тедеуді еске сатауа ыайлы трде жазалы.

Егер беттегі сызыты рбір нктесіндегі баыт бас баыт болса, онда сызы иілім ыы деп аталады. Бдан иілім сызыыны дифференциалдык тедеуі (* ) трінде болатындыы шыады.

Егер бетті жазылу жне жмыр нктелері жо облысында координиталы тор иілім сызытарынан трса, онда

Шындыында, мндай облысты рбір нктесінде бас баыт екеу. Олар ортогональ жне тйіндес. Демек,

Родриг теоремасы.Беттегі бас баыт бойынша дифференциалды,

мндаы k - баыттаы нормаль иілім.

Длелдеуі: u сызыыны баыты берілген нктеде бас баыт болатындай жне осы нктеде коррдинатты сызытар ортогональ болатындай етіп u,v координаталы торын енгізелік. , сондытан, , яни векторы -ге перпендикуляр, демек, оны векторлар бойынша жіктеуге болады:

.

бл тедікті - ге скаляр кбейтіп жне (ортогональдыы), (тйіндестігі) екенін ескеріп, аламыз. Енді -а кбейтсек

немесе . Бдан бетті баытындаы нормаль иілімні , яни аламыз. Сонымен

.