Евклидтік кеістіктегі беттер

Элементарлы бетті жазытыты блігін зіліссіз деформациялау арылы(созу, ысу жне майыстыру) алуа болады. Осылай деформациялау процессі кезінде жазытыты нктесі айсыбір траекториямен орыyауыстыра отырып бетті нктесіне теді

.

Жалпы жадайда бетті табиаты сан алуан болып келеді. Сондытан оны жазытыты блігінен деформация арылы алу ммкін емес. Олар зін-зі иятын немесе беттескен бліктері де бар болуы ммкін. Дегенмен, мндай бетті рбір нктесіні маайыны рылымы элементарлы бет трізді болып келеді.

Беттерді геометриялы асиеттерін зерттеу шін олара кейбір шарттар – регулярлы шартын оямыз. Ерекшеліктері жо беттерді арастыруымен ана шектеліп жне оларды зерттеу шін тиімді аппаратты дамытып, біз беттерді кейбір маызды сипаттамаларын: бірінші жне екінші квадратты формалар, орта жне гауссты исытылы жне т.б. енгіземіз. Оларды беттерді ішкі жне сырты геометриялы асиеттерін суреттеудегі рольдерін крсетеміз.

Бет туралы ым

евклидтік жазытыта oij-тік брышты координаталар жйесін берелік.

Сонда рбір нктеге нктесін сйкес оятын биективтік бейнелеуі орнатылады. Бл бейнелеуді гомеоморфизм болатынын байау иын емес. Осыны ескерсек, онда біз санды кеістігін жазытыымен, санды - жарты кеістікті oxy жазытыыны боланда жарты жазытыымен, ал санды квадратты OABC квадратымен теестіре аламыз.(27-сурет)

Анытама. кеістікте те арапайым беттер деп келесі фигураларды айтатын боламыз: жазытыты, тйы жарты жазытыты, квадратты.

те арапайым беттерді біріне гомеоморфты фигураны элементарлы бет дейді. Мысалы, эллипстік жне гиперболалы параболоидтар, параболалы цилиндр- элементарлы беттер (себебі оларды райсысы жазытыа гомеоморфты). Жарты сферада зіні шекарасымен оса элементарлы бет болады (дгелекке гомеоморфты). Басаша айтанда, фигурасы элементарлы бет болады, егер ол екі лшемді санды аралыа гомеоморфты болса.

Анытама. Саны шектеулі немесе саналымды элементарлы беттер жиынымен бркеп жабуа болатын кеістіктегі фигура бет деп аталады.

Анытамадан, F бетті рбір M нктесі шін шарты орындалатындай элементарлы беті табылатындыы шыады. Элементарлы емес беттерге мысал болатындар: 1) сфера(оны екі жарты сферамен жабуа болады); эллипсоид (ол сфераа гомеоморфты); 2) эллипстік цилиндр(оны саны шектеулі «цилиндрлік жолатармен» бркеуге болады, оларды райсысы жазытыа гомеоморфты); бір уысты гиперболоид (ол эллипстік цилиндрге гомеоморфты); 3) ос уысты гиперболоид (оны рбір блігі жазытыа гомеоморфты); 4) гиперболалы цилиндр.

Анытама.F бетіні M нктесі шін кеістік –маайы – табылып, иылысуы элементарлы бет болса, онда М нктесі кдімгі нкте деп аталады. Сонымен атар, егер бл иылысу жазытыа гомеоморфты болса, нкте ішкі деп, ал егер ол тйы жарты жазытыа гомеоморфты болса, онда нкте шекаралы деп аталады.

Кдімгідей емес нкте ерекше нкте деп аталады. 28-суретте зін-зі АВ тзуіні бойымен иятын цилиндрлік бет бейнеленген. Бл тзуді рбір нктесі бет шін ерекше нкте болады.

Кдімгі нктелерден ана тратын бетті арапайым бет деп атайды. Бетті барлы шекаралы нктелеріні жиыны бетті шекарасы немесе жиегі деп аталады. рбір элементарлы бет арапайым да болады. Сфера, эллипсоид, эллипстік цилиндр, гиперболоидтар арапайым беттер. Конусты бет арапайым бет болмайды, себебі оны тбесі ерекше нкте.

 

Квадрата гомеоморфты рбір бетті жиегі болады жне оны жиегі шеберге гомеоморфты. Ал тйы жарты жазытыа гомеоморфты бетті жиегі тзу сызыа гомеоморфты. рбір арапайым бетті екілшемді кпбейне болатынын(немесе екілшемді жиекті кпбейне) байаймыз.

Бдан былай біз жазытыа(немесе санды кеістігіне) гомеоморфты жазы облысты G-деп белгілейтін боламыз. Кеістікте координаталар жйесін енгізсек, онда гомеоморфизмі G облысын F элементарлы бетіне бейнелейді. Олай болса, f бейнелеуі нктесіне нктесін сйкес ояды. Яни G облысында u мен v-дан туелді функциялар аламыз:

(1)

(1)-ші тедіктер жйесін бетіні параметрлік тедеулері деп атаймыз. Олар мына векторлы функцияа

(2)

эквивалентті. (2)-ні бетті векторлы тедеуі дейміз. Келешекте бет (2) векторлы тедеуімен берілсе, онда деп жазуа келіселік.

(1)-ші функциялар G мен F жиындарыны арасында зара бір мнді сйкестік орнатуы шін

(3)

матрицасыны G жиыныны барлы нктелеріндегі рангісі екіге те болуы ажетті жне жеткілікті екендігі математикалы анализ курсынан белгілі. (3) матрицада деп дербес туындылар белгіленген. Бл шартты геометриялы маынасы мынадай, яни (3) матрицаны рангісі екіге те болуы шін векторлары коллинеар болмауы ажетті жне жеткілікті,

(4)

(4) шартты анааттандырмайтын нктелер бетті ерекше нктелері деп аталады.

Регулярлы беттер. Анытама. беті берілсін. Егер бл бетті ерекше нктелері жо болса жне векторлы функциясыны барлы k-ретті зіліссіз туындылары бар болса, онда беті k-ретті регулярлы бет деп аталады жне

деп жазылады.

исытар теориясындаы сияты беттерді тедеулерін де ммкін згертулер арылы ышамдауа болады. Мысалы, G жне облыстарыны арасында бір мнді сйкестік орнататын функциялар жйесі берілсін. Егер

болса жне функцияларыны k-ретті зіліссіз туындылары бар болса, онда бетіні векторлы тедеуін былай жазуа болады:

жне . Демек, осы айтылан шарттарды анааттандыратындай параметрді згерту ммкіндігі регуляр бетті регулярлы классын згертпейді.

Кей ретте беттер трінде берілуі ммкін. Мндай жадайда бет айын тедеумен берілген деп атайды. Оны (1)-ші трге келтіруге болады. Шындыында, егер деп белгілесек, онда

шыады.

Егер бет , тедеуімен берілсе, онда бет айын емес трде берілген деп атайды. Жалпы, соы тедік бетті анытау шін болуы керек. Яни дербес туындыларды бірі нлден згеше болуы ажет. болсын. Онда тедігі анааттандырып тран нктені мейлінше аз маайында, функциясын анытайтыны математикалы анализ курсынан белгілі. Ендеше бетті тедеуін айын трде жазуа болады.