Поверхности II порядка. Канонические уравнения
 
 

Рисунок 1 Рисунок 2

       
 
 
 

       
   
 
 

Рисунок 3 Рисунок 4

       
 
 
   
Рисунок 5

 

Рисунок 6

 

Варианты заданий

ЗАДАНИЕ 1

 

По координатам вершин треугольника АВС найти:1)длину стороны ВС;2)площадь треугольника АВС;3)уравнение ВС;4)уравнение высоты, проведенной из вершины А;5)длину высоты, проведенный из вершины А;6)расстояние от вершины А до стороны ВС;7)уравнение медианы, проведенной из вершины А до стороны ВС;8)уравнение биссектрисы внутреннего угла В; 9)угол В в радианах с точностью до 0,01.

1. А (4; 1), В (0;-2), С (-5; 10).

2. А (-7; 3), В (5;-2), С (8; 2).

3. А (5;-1), В (1;-4), С (-4; 8).

4. А (-14; 6), В (-2;1), С (1; 5).

5. А (6; 0), В (2;-3), С (-3; 9).

6. А (-9; 2), В (3;-3), С (6; 1).

7. А (7; -4), В (3:-7), С (-2;5).

8. А (-8; 4), В (4;-1), С (7; 3).

9. А (3; -3), В (-1;-6), С (-6; 6).

10. А (-6; 5), В (6;0), С (9; 4).

11. А (-6;-4), В (-10;-1), С (6; 1).

12. А (12; 0), В (18;8), С (0; 5).

13. А (-6;-2), В (-6;-3), С (10;-1).

14. А (8; 2), В (14;10), С (-4; 7).

15. А (2;-4), В (-2;-1), С (14; 1).

16. А (2;-1) В (8;7), С (-10; 4).

17. А (5;-3), В (1;10), С (17;2).

18. А (14;-6), В (20;2), С (2;-1).

19. А (3; 4), В (-1;7), С (15; 9).

20. А (1;-2), В (7;6), С (-11; 3).

21. А (-1; 1), В (7;5), С (4; 11).

22. А (-2; 1), В (6;7), С (3; 13).

23. А (2;-1), В (10;5), С (7; 11).

24. А (1; 1), В (9;7), С (6; 13).

25. А (-1; 2), В (7;8), С (4; 14).

 

 

ЗАДАНИЕ 2

1 Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон Х+Y-1=0 и Y+1=0 , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке (-1;0).

2Найти координаты точки симметрично точке (2;-4) относительно прямой 4Х+ЗY+1=0.

3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-1:2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y+1=0 и Х+2Y-3=0, лежит на прямой Х-Y- 6=0.

4 Даны уравнения двух сторон треугольника 4Х-5Y+9=0 и Х+4Y-3=0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке (3;1).

5 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2Х-Y+4=0 и 2Х-Y+10=0, и уравнение одной из его диагоналей Х+Y+2=0.

6 Даны две вершины треугольника А (-4; 5) и В (4; 1) и точка пересечения его высот Д (3; 5). Составить уравнения сторон треугольника.

7 Даны уравнения высот треугольника АВС: ЗХ+2Y+6=0 и Х-Y+5=0 и координаты одной из вершин А (-5; 3). Найти уравнения сторон

треугольника.

8 Даны уравнения двух сторон треугольника: 5Х-2Y-8=0 и ЗХ-2Y-8=0. Составить уравнения третьей стороны треугольника, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.

9Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин А(2;-3), и уравнения двух высот 7Х-2Y-10=0 и 2Х-7Y+3=0.

10 Даны уравнения основания равнобедренного треугольника Х+Y-4=0 и боковой стороны Х-2Y+4=0. Точка А (-2; 3) лежит на второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны.

11 Даны две противоположные вершины ромба А (3; 4) и С (1;-2) и уравнение одной из его сторон Х-Y+1=0. Найти уравнения остальных

сторон ромба.

12 Даны середины сторон треугольника М (2; 1), N (5; 3), Р (3;-4). Составить уравнения сторон треугольника.

13 Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин (1; 3) и уравнения двух медиан: Х-2Y +1=0 и Y-1=0.

14 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 3) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y +5=0 и Х+2Y+1=0, лежит на прямой Х-Y-5=0.

15 Составить уравнение сторон треугольника, зная одну изего вершин А (0;2), и уравнения высот ВМ: Х+Y=4 и СМ: Y=2Х. М-точка пересечения его высот.

16 Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСД заданы уравнениями 2Х-Y+5=0 и X-2Y+4=0, диагонали его пересекаются в точке М (1; 4). Найти длины его высот.

17 Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С (3;-1) и уравнение гипотенузы 3Х-Y+2=0.

18 Две стороны параллелограмма заданы уравнением Y=Х-2 и 5Y=Х+6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

19 Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин А (0; 1), точку

пересечения его диагоналей М (4; 4) и точку Р (2; 0) на стороне АВ.

20 Через точку пересечения прямых 2Х-5Y-1=0 и Х+4Y-7=0 провести

прямую, делящую отрезок между точками А (4;-3) и В (-1; 2) в отношении 2:3.

21 Определить, при каких значениях m и n прямая (2m-n+5)Х+7n+19=0 параллельна оси ОY, прямая и отсекает на оси ОХ отрезок, равный 5(считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

22 Определить, при каком значении а прямая (а+2)х+(а2-9)у+3а2 -8а+5=0:

1)параллельна оси абсцисс;

2)параллельна оси ординат;

3)проходит через начало координат.

В каждом случае написать уравнение прямой.

23 Две стороны квадрата лежат на прямых 5Х-12Y-65=0 и 5Х-12Y+26=0. Вычислить его площадь.

24 Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить его площадь.

25 Точка А (5;-1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4Х-3Y-7=0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

 

ЗАДАНИЕ 3

 

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

 

1. а) 2х2-8х+у2-6у=0 б) х2 +10х-4у+33=0

2. а) х2 +4х-у2=0 б) у2 -6х+2у-11=0

3. а) х2-8х-у2=0 б) х2 -4х+5у+14=0

4. а) у2-6у-х2+2х=0 б) у2 +х-4у+2=0

5. а) 6х2 -25у2 -18х-100у-316=0 б) х2 -8х-3у+19=0

6. а) 5х2 -6у2+10х-12у-31=0 б) у2 -5х+6у+4=0

7. а) х2 -4у2+6х+5=0 б) х2 +6у+6х-6=0

8. а) 3х2-у2 +12х-4у-4=0 б) у2 +6х-8у+22=0

9. а) х2 -4у2+2х-16у-7=0 б) х2 +8х-2у+14=0

10. а) х2 -4у2-4х+6у-5=0 б) у2 -3х+10у+16=0

11. а) 4х2-9у2 -8х+18у-23=0 б) 2х2 -4х-у+3=0

12. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) х-2у2 +4у-3=0

13. а) х2 +у2-2х+6у-5=0 б) х2 -2х-у+2=0

14. а) х2 +4у2+4х-8у-8=0 б) х-у2 +2у-2=0

15. а) х2 +2у2+8х-4=0 б) х2 -2х+у+7=0

16. а) 4х2 +9у2-40х+36у+100=0 б) х+у2 -2у+3=0

17. а) 9х2 -16у2-54х-64у-127=0 б) 2х2 +8х+у+7=0

18. а) 9х2 +4у2+18х-8у+49=0 б) х+2у2 -4у+4=0

19. а) 4х2 -у2+8х-2у+3=0 б) х2 +4х+у+3=0

20. а) 2х2 +3у2+8х-6у+11=0 б) х+2у2 +4у+1=0

21. а) 3х2 +3у2-6х+12у-5=0 б) х2 +10х-4у+33=0

22. а) 3у2 -х2+2х=2 б) у2 -6х+2у-11=0

23. а) у2 +4х2-2у=0 б) х2 -4х+5у-6=0

24. а) 2х2 +у2-6х=0 б) у2 +3х+4у=0

25. а) 2х2 -8х+у2+10у=3 б) х2 -8х-3у+19=0

 

 

ЗАДАНИЕ 4

Построить график функции:

1. 14.
2. 15.
3. 16.
4. 17.
5. 18.
6. 19.
7. 20. .
8. 21.
9. 22.
10. 23. .
11. 24. .
12. 25. ( > 0).
13.  

ЗАДАНИЕ 5

 

По координатам вершин пирамиды а1 а2 а3 а4 найти:

1) длины ребер а1 а2 и а1 а3 ;

2) угол между ребрами а1 а2 и а1 аз ;

3) площадь грани а1 а2 а3 ;

4) объем пирамиды а1 а2 а3 а4 ;

5) уравнения прямых а1 а2 и а1 а3 ;

6) уравнения плоской а1 а2 а3 и а1 а2 а4 ;

7) угол между плоскостями а1 а2 а3 и а1 а2 а4 ;

8) угол между ребром а1 а3 и гранью а1 а2 а4 ;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3 ;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а4 на грань а1 а2 а3 , и вершину а1 пирамиды ;

11) расстояние от вершины. а3 до плоскости а1 а2 а4.

 

    а1 а2 а3 а4
(3;1;4)   (-1;6;1) (-1;1;6)   (0;4;-1)  
  (3;3;9)   (6;9;1) (1;7;3)   (8;5;8)  
(3;5;4)   (5;8;3) (1;9;9)   (6;4;8)  
(2;4;3)   (7;6;3) (4;9;3)   (3;6;7)  
  (9;5;5)   (-3;7;1)   (5;7;8)   (6;9;2)  
  (0;7;1)   (4;1;5)   (4;6;3)   (3;9;8)  
  (5;5;4)   (3;8;4)   (3;5;10) (5;8;2)  
  (6;1;1)   (4;6;6)   (4;2;0)   (1;2;6)  
  (7;5;3)   (9;4;4)   (4;5;7)   (7;9;6)  
  (6;6;2)   (5;4;7)   (2;4;7)   (7;3;0)  
  (0;3;2)   (-1;3;6)   (-2;4;2) (0;5;4)  
  (-1;2;0)   (-2;2;4)   (-3;3;0) (-1;4;2)  
  (2;2;3) (1;2;7)   (0;3;3)   (2;4;5)  
  (0;-1;2) (-1;-1;6)   (-2;0;2)   (0;1;4)  
  (3;0;2)   (2;0;6)   (1;1;2)   (3;2;4)  
  (0;2;-1)   (-1;2;3)   (-2;3;-1)   (0;4;1)  
  (2;3;2)   (1;3;6)   (0;4;2)   (2;5;4)  
  (-1;0;2)   (-2;0;6)   (-3;1;2)   (-1;2;4)  
  (2;0;3)   (1;0;7)   (0;1;3)   (2;2;5)  
  (2;-1;2)   (1;-1;6)   (0;0;2)   (2;1;4)  
  (2;0;8)   (-10;3;0)   (-3;5;1)   (-1;-7;9)  
  (1;4;0)   (-5;1;-2)   (-3;1;-3)   (2;-7;9)
  (3;7;9)   (-3;0;7)   (2;-3;-5)   (1;-2;0)  
  (-1;3;5}   (5;-1;-3)   (-2;9;-2)   (8;0;1)  
  (5;1;-7)   (2;-3;-1)   (-7;-1;1)   (3;4;-5)  

 

ЗАДАНИЕ 6

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:

 

    M   a   b
  (2;1;-5)   3X-2Y+Z+7=0   5X-4Y+3Z+1=0  
  (1;-1;1)   X-Y+Z-1=0   2X+Y+Z+1=0  
  (2;-1;1)   3X+2Y-Z+4=0   X+Y+Z-3=0  
  (1;8;2)   5X+6Y+11Z-3=0   3X+Y+4Z-12=0  
  (-1;-2;0)   4X+6Y-5Z-14=0 X+3Y-2Z-1 =0
(5;1;2)   X-7Y-2Z-10=0   2X-2Y-Z-13=0  
  (2;4;1)   X-2Y+5Z-7=0   2X-3Y+7Z-5=0  
  (1;1;1)   X-2Y+2Z+8=0   3X+5Y+7Z-1=0  
  (1;4;5)   X+Y+5Z+3=0   3X+2Y+8Z-9=0  
  (3;0;7)   X+Y+4Z=0   3X+2Y+7Z-2=0  

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 перпендикулярно плоскости a :

 

  М1 М2 a
(2;-1;4) (3;2;1) X+Y+Z-3=0
(1;1;1) (2;2;2) X-Y-Z=0
(0;-5;0) (0;0;2) X+5Y+2Z-10=0
(2;0;-1) (1;-1;3) 3X+2Y-Z+3=0
(-1;-2;0) (1;1;2) X+2Y+2Z-4=0
(1;-2;4) (2;-3;5) X+Y-3Z+8=0
(0;1;3) (1;2;7) X+2Y+5Z+6=0
(1;1;0) (2;-1;-1) 5X+2Y+3Z-7=0
(1;4;0) (2;14;3) X+6Y+Z-3=0
(9;1;1) (19;2;2) 17X+2Y+Z+11=0
(7;1;0) (26;2;3) 9X+Y+Z-17=0
(0;1;2) (-1;2;3) X+Y-Z+2=0
(3;4;6) (5;1;5) X+2Y+3Z-6=0
(4;1;0) (2;-1;1) X-Y+Z-3=0
(1;0;1) (-1;1;0) X+2Y-Z-1=0

 

 

ЗАДАНИЕ 7

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:

 

    a   b
  x-2у+2z-8=0   x+2z-6=0  
  3x-5y+z-8=0   2x+y-z+2=0  
  x-2y+3z-4=0   3x+2y-5z-4=0  
  x+z-6=0   x+6y-4=0  
  x+2y-4=0   x-2y+2z-8=0  
  x+2Z-6=0   x+y+z-6=0  
  x+2y+3z-13=0   3x+y+4z-14=0  
  x+2y+3z-1=0   2x-3y+2z-9=0  
  2x+7y-z-8=0   Х+2y+z-4=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой :

    А
  (3;1;-1) X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
  (2;0;-3)  
  (-4;3;0)   x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
  (2;-5;9)   2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым 1 и 2:

 

    А 1 2
  (2;-3;4)
  (0;1;1)  
  (2;-3;4) x=t;y=t;z=2t+5 x=3t+8;y=2t-4;z=t+2
  (0;1;-1)   x=3t+1;y=15t;z=7t-2 x=t;y=2t-5;z=6
  (0;-1;1) x=2t;y=t-5;z=3t-2 x=4t-1;y=4t+6;z=t-4

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а1 и а2 :

 

      а1   а2
(1;-2;1) (3;1;1)  
  (1;-2;1) (0;6;5)  
  (3;1;2) (0;2;5)
  (0;1;2) (5;2;1)
  (1;7;3) (0;2;1)
  (1;0;2) (5;1;4)
  (3;5;1) (2;3;1)

 

ЗАДАНИЕ 8

Найти проекцию точки А на плоскости a:

  А a
(1;3;1)   x+2y+2z-30=0
(3;1;-1)   3x+y+z-20=0
(5;2;-1)   2x-y+3z+23=0
(4;-3;1)   x-2y-z-15=0
(1;-1;0)   5x-6y+2z-76=0

 

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

 

    А   а  
  (0;0;0;)   х-2у+4z-21=0  
  (1;5;2)   2х-у-z+11=0  
  (1;-3;-4)   Зх-у-2z=0  
(5;2;-1)   2х-у+3z+23=0  
(3;-4;-6) 9х-7у-31z-108=0  

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой :

 

  А
(2;1;0)
(4;3;10)
(1;-1;2)
(3;2;0)
(2;-1;5)
(0;0;0;)  

 

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости а с прямыми 1 и 2:

 

  А 1   2
2x+y-3z=0
3x-2y+z=0
6x+3y-41=0
3x-y-2z+5=0
2x+3y+z-1=0

 

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой , перпендикулярно вектору `а :

  a   _` а
6x+3y-z-41=0 {1;2;1}
x+2y=0 {3;-1;2}
x+2y=0 {5;-1;2}
3x-y-2z+5=0 {0;3;5}

 

ЗАДАНИЕ 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 1 и 2:

 

  1 2
x=2t+1;y=-t;z=t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую 1, параллельно прямой 2 :

 

  1 2
x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2   x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямым 1 и 2:

 

  1 2 М
(-2;0;0)  
(6;1;1)  
(1;2;1)  
(1;2;3)  
(0;0;2)  

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые 1 и 2:

  1 2
x=z-2;y=2z+1  
x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
x=t+1;y=-2;z=-t+1   x=2t;y=2t-2;z=-3t+2
x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1
x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6   x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1  

 

 

ЗАДАНИЕ 10

 

Установить вид поверхности и построить её эскиз:

 

  а) б)
x2 + y2 =z2 y=6 z2
x= 2z2
z= x2 + y2  
x2 +y2+z2-6x+8y+10z+25=0   z=1- x2 - y2
z+(x2 + y2)=0
4x2 -12y2-6z=12
2x2 -5y2-8=0   4x2 -8y2+16z2=0
3x2 +5y2 =12z  
x2 + 4y2 -8=0  
z2 -4x=0   2x2 -y2-z2=0
8x- y2-2z2 =0   y2 =6x-4
4z= x2 -y2   x2 +y2 = 2(z-1)2
8x2 -4y2+24z2-48=0   x2 + y2=2z
2y2+z2=1-x   2x2 +3z2=12y
3x2 -y2-z2=3  
z2 +4z-2x+6=0   3x2 -y2-z2=3
2x2 -4y2+8z2=0
x=9y2   x2 -2y2+z2=1
z2 +2z-4x+1=0   2x2 +8y2-16=0
2x2 +z2=1-y   y2=-6z
x2 -2z2+4y2=0
x2+2y2=4z
4x2-y2-2z2=0  

в)x2+y2+z2+2а1x+2b1y+2с1z+g1=0

 

 
 
 
 
 
       

Список литературы

1 Бортаковский А. С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: учеб.пособие для втузов/А.С.Бортаковский, В.Пантелеев. -М :Высш.шк.,2005.-496с.

2 Бортаковский А. С. Линейная алгебра в примерах и задачах: учеб пособие для втузов/А.С.Бортаковский, А.В.Пантелеев.-М.:Высш.шк., 2005.-591с.

3 Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.-М.:Астрель, ACT,2002.-992с.

4 Высшая математика для экономистов: учеб.для вузов/под ред.Н. Ш. Кремера.-2-е изд.,перераб.и доп.-М.:ЮНИТИ,2002.-471с.

5 Канатников А.Н. Аналитическая геометрия: учеб.для втузов/А.Н. Канатников, А.П.Крищенко; под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко.-4-е изд.,испр.-М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,2005.-392с.

6 Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике Изд.-М.:Айрис-пресс, 2004. Ч.1.-288с.

7 Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник.-32-е изд.-СПб :Лань,2003.-304с.

 

Содержание

 

 

1 Прямая на плоскости 1

2 Плоскость 5

3 Прямая в пространстве 6

4 Кривые второго порядка 9

5 Построение кривой в полярной системе координат 9

6 Поверхности II порядка. Канонические уравнения 12

7 Варианты заданий 14
Список литературы 30

 

Рекомендовано к использованию в учебном процессе решением заседания УМК от 20.06.07 протокол №47

 

 

Редактор Л.А.Матвеева

 

Подписано в печать 28,09,07 Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Гарнитура “Таймс”. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 2,1. Уч.-изд.л. 1,8 .

Тираж 100 экз. Заказ №

Издательство Уфимского государственного нефтяного технического университета

 

Адрес издательства:

450062, РБ, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.