Поняття проективного простору

Тема1: Поняття проективного простору.

Мета: сформувати поняття проективного простору; з’ясувати суть його властивостей.

План

1. З історії виникнення проективної геометрії.

2. Поняття проективного простору.

3. Властивості проективного простору.

Ключові слова: п+1 вимірний векторний простір, n-вимірний проективний простір, вектор породжує точку, проективна площина, проективна пряма, трьохвимірний проективний простір.

(З історії виникнення проективної геометрії ---- див 2, ст.5-8, 341 )

Поняття проективного простору

V_n+1 – n+1 вимірний векторний простір над полем R дійсних чисел.

V^/ = V_n+1\{ } " РØ

Означення: Множина Р називається n-вимірним проективним простором, якщо визначено відображення f: V^/Р, яке задовольняє властивостям:

1) f – сюр’єктивне

2)

Елементи множини Р називають точками. Запис читається: вектор породжує точку X.( будемо використовувати позначення )

Тоді друга властивість в означенні читається так: колінеарні вектори породжують одну і ту ж точку проективного простору

 

За означенням

V₄^/ породжує Р₃ (3-х вимірний проективний простір)

V₃^/ породжує Р₂ (проективну площину)

V₂^/ породжує Р₁ (проективну пряму)

V₁^/ породжує Р₀ (точку)

Зауваження: Так як V₄^/ (V₃^/, V₂^/) містять нескінченну множину не колінеарних векторів, то проективний простір, проективна площина, проективна пряма містять нескінченну множину точок.

Властивості проективного простору

1. У 3-х вимірному проективному просторі існують 4 точки, які не лежать в одній площині. На проективній площині існують 3 точки, які не лежать на одній прямій.

Р₃ V₄^/, ( ) — базис V₄^/

A, B, C, D

 

не можуть лежати в

одній площині Р₂ V₃^/

Якщо припустити, що A,B,C,D є Р₂

то є V₃^/

– л.з., що суперечить

Аналогічно: існують A,B,CÏ d

(самостійно)

 

2. Через будь-які дві точки проходить одна і тільки одна пряма

Дано: Точки A і B, АВ

Відомо: А , В ,

Розглянемо: ( , ) – базис V₂^/ (1)

За означенням: V₂^/ AB – пряму

 

Доведемо, що AB= d — єдина пряма

Припустимо $ d^/ ½ A, B Î d^/

Нехай d^/ W₂^/

З того, що A, B Î d^/ Þ , є W₂^/ Þ ( , ) базис W₂^/ (2)

(1), (2) ÞV₂^/= W₂^/

 

d = d^/

AB єдина пряма, яка проходить через точки A і B

 

3. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна і тільки одна площина (Самостійно)

4. Якщо дві точки А і В лежать у площині Р₂ то і пряма АВ лежить у цій площині (тобто кожна точка прямої АВ лежить у площині Р₂ )

Нехай А і В є Р₂ V₃^/

 

А ( , ) базис V₂^/

АВ, V₂ V₃^/

В є V₃^/

V₂^/ V₃^/

 

AB P₂

 

ABÌ P₂

" M є AB Þ = + ₁Þ Î V₂^/ Ì V₃^/

 

M Î P₂

5. Будь-які дві прямі на проективній площині завжди перетинаються.

P₂ – проективна площина

d₁, d₂ P₂

P₂ V^/₃

 

V₂^/, W₂^/ Ì V₃^/ Правило

Vm, Wk Ì Vn Vm+Wk=Vn₊ Vp

2+2=3+1 Vp-простір перерізу Vm, Wk

 

V₁^/ - простір перерізу просторів V₂^/ і W₂^/ у V₃^/

Векторний простір V₁^/-це множина

колінеарних між собоюненульових векторів V₁^/ M₀

 

Отже, d₁ Ç d₁ = M₀

6.Будь-які дві площини у трьохвимірному просторі завжди перетинаються

 

V₃^/, W₃^/ Ì V₄^/

 

3+3=4+2

V^/= V₂ простір перерізу

Отже, P₂ Ç P₂^/ = Р₁

7.Будь-яка площина і пряма, яка їй не належить, у трьохвимірному просторі завжди перетинаються (Самостійно)

Питання для самоперевірки.

1. Сформулювати означення n-вимірного проективного простору.

2. Як називаються елементи множини Р?

3. Як прочитати запис: ?

4. Що ,за означенням, породжують векторні простори ?

5. Як можна сформулювати другу властивість в означенні проективного простору?

6. Сформулювати властивості проективного простору?

7. Чи є паралельні прямі на проективній площині?

8. Яку точку породжує нульовий вектор?

9. Яке співвідношення між розмірністю проективного простору і векторного, який його породжує?

10 Що можна сказати про взаємне розміщення двох проективних площин, прямої і площини у просторі?