Тема 2: Репер на проективній площині. Координати точки.

Мета: Ввести поняття репера на проективній площині, прямій; обґрунтувати властивості проективних координат точок на прямій, площині; навчитися будувати точки на проективній прямій і площині відносно різних реперів (які містять або не містять невласні точки).

План

1. Репер на проективній площині, на проективній прямій. Властивості репера

2. Координати точки на проективній площині, на проективній прямій.

3. Умова належності трьох точок прямій на площині.

4. Проекція точки на сторони координатного трикутника.

Ключові слова: точки загального положення, упорядкована четвірка точок, репер, координатний трикутник, погоджені вектори, координати точки, умова належності трьох точок прямій, проекції точки на сторони координатного трикутника.

РЕПЕР НА ПРОЕКТИВНІЙ ПЛОЩИНІ

P₂ V₃^/

A, B, C, D Î P₂

Означення: Упорядковану четвірку точок загального положення на проективній площині називають проективним репером R = (A,В,С, D)

інакше R = (A₁, A₂, A₃, E)

 

А₂ Одинична точка

E

A₁ A₃

 

вершини координатного координатний трикутник

трикутника

Нехай R = (A₁, A₂, A₃, E)

_{1 1} , _{2 2}, _{3 3},

Якщо ₁ + ₂ + ₃ = , то ₁, ₂, ₃ - погодженні

1. Теорема Для " R =( A₁, A₂, A₃, E), $ _{1, 2, 3,} ê ₁+ ₂+ ₃=

A_{1 1} RÌ P₂ V₃^/

A_{2 2}

A_{3 3}

E

 

₁, ₂, ₃, Î V₃^/ Þ ₁, ₂, ₃, – л.з.

= _{1 1}+ _{2 2}+ _{3 3}

позначимо

_{1 2 3}

, ₁ , ₂, ₃ – погоджені і визначають репер R

Зауваження: Якщо = ₁+ ₂+ ₃

= ₁+ ₂+ ₃ Þ , ₁, ₂, ₃ - погоджені

$ безліч систем погоджених векторів відносно R.

2.Теорема Якщо кожна з систем векторів ₁, ₂, ₃, і ₁ , ₂, ₃, погоджена відносно R=(A₁,A₂, A₃, E,) то $ ¹0

таке, що _i= _і (i = 1,2,3) =

За умовою A_{1 1} = _{1 1}

A_{2 2} = _{2 2}

A_{3 3} = _{3 3}

E = _n

 

єдиність розкладу!

ОТЖЕ

Аналогічно. Репер на прямій--- Три точки

A_{1 1} A_{2 2} E

Якщо , то -погоджені

 

КООРДИНАТИ ТОЧКИ НА ПРОЕКТИВНІЙ ПЛОЩИНІ

Р₂ V₃

R=(A₁,A₂,A₃,E) P₂ – базис V₃

 

X P₂ V₃

(х₁, х₂, х₃) координати в базисі

(х₁, х₂, х₃) координати точки Х в репері R

Означення Координати точки - це координати вектора, який її породжує.

Оскільки , то всі координати точки не можуть дорівнювати 0.

 

ВЛАСТИВОСТІ КООРДИНАТ ТОЧКИ

X P_2, R P₂ R=(A₁,A₂, A₃, E,)

R (1)

 

(х₁, х₂, х₃) (2)

X (3)

(y₁, y_2, y₃) (4)

 

(4) (3), (1), (2) . ( 5)

.

 

 

Отже, проективні координати точки відносно заданого

репера визначаються з точністю до сталого множника.

Зауваження 1)R=(A₁,A₂,A₃,E): A₁ (1,0,0)

A₂ (0,1,0) .?... .... A₃ (0,0,1) .?...... ., E(1,1,1)

Зауваження 2)Координати точки на прямій

R=(A₁,A₂,E) d V₂, – базис V₂

Якщо X d, то V₂ ,

 

(х₁, х₂) – координати точки Х в репері R на прямій.

Тоді A₁ (1,0); A₂ (0,1); Е (1,1) ----- R

 

Умова належності трьох точок прямій на площині

Р₂ V₃, – базис V₃

R P₂, X, Y, Z P₂

X (х₁, х₂, х₃) X ( (х₁, х₂, х₃)

Y (y₁, y_2, y₃) R Y (y₁, y_2, y₃)

Z (z₁, z_2, z₃) Z (z₁, z_2, z₃)

 

Якщо X, Y, Z d

 

Отже, якщо три точки належать прямій, то....

 

ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ НА СТОРОНИ КООРДИНАТНОГО ТРИКУТНИКА.

Р₂ V₃

А2

Е1

R P₂ ,

Е3

Е

R=(A₁,A₂,A₃,E)

М2

А3

А1

E( 1,1,1)

М

Проекції точки Е на сторони координатного

трикутника з центрів A₁, A₂, A₃ E₁(?), E₂(?), E₃(?)

Нехай E₁ (y₁, y_2, y₃) R

E₁ A₁E y₂ = y₃

E₁ A₂A₃ y₁ = 0 E₁( 0, y₂ , y₂ )= E₁( 0, 1,1)

Аналогічно E₂ ( 1,0,1) R₁= (A₁,A₃,E₂) – репер на A₁,A₃

E₃ (1 1,0) R₃= (A₁,A₂,E₃) – репер на A₁,A₂

 

Оскільки:

A₂ (0,1,0)

A₃ (0,0,1) звідки

E₁ (0,1,1)

R₁= (A₂,A₃,E₁) – репер на A₂A₃

Аналогічно..........

Нехай M(х₁, х₂, х₃) R , а M₂ проекція точки M на A₁A₃ M₂ ( ? , ? , ?)

Нехай M₂ (y₁, y_2, y₃) - R

1)M₂ A₁A₃ y₂=0 2)M₂ A₂M y₁x₃ - x₁y₃ =0

 

 

M₂( ) = M₂( )

Отже, M₁( ) M₁( ) R₁= (A₂,A₃,E₁) ­

M₂( ) R M₂( ) R₂= (A₁,A₃,E₂) ­

M₃( ) M₃( ) R₃= (A₁,A₂,E₃)

 

М= A₁ M₁ A₂ M₂ A₃ M_3.

Питання для самоперевірки.

1. Що називається репером на проективній площині?

2. Як позначається репер ?

3. Якщо R=(A₁, A₂, A₃, E)-- репер на площині ,то як називаються точки A₁, A₂, A₃, E?

4. Які вектори породжують точки A₁, A₂, A₃, E?

5. Які вектори називаються погодженими відносно даного репера?

6. Сформулювати теорему про систему погоджених векторів відносно заданого репера.

7. Скільки існує систем погодження векторів відносно заданого репера?

8. Як відрізняються одна від одної системи погоджених векторів?

9. Що називають координатами точки на проективній площині?

10. Які властивості мають координати точки?

11. Що можна сказати про координати точок, які належать сторонам координатного трикутника?

12. Які координати мають вершини координатного трикутника?

13. Що можна сказати про точки (1;-2;3) і (2;-4;6) , задані своїми координатами відносно деякого репера R?

14. Що таке репер на прямій?

15. Скільки координат має точка на прямій?

16. Чи існує на проективній площині точки, всі координати яких рівні нулю?

17. Яка умова належності трьох точок прямій та площині?

18. Як позначаються проекції точки Е з вершин координатного трикутника на його сторони?

19. Які координати мають проекції точки М(х₁, х₂, х₃) на сторони координатного трикутника даного репера відносно цього репера і відносно реперів на його сторонах?

20. Доповнити запис М= A₁ M₁ A_2......