Серийная (гнездовая) выборка.

R – генеральная совокупность разбивается на серии. В случайном порядке отбираются целые гнезда (серии) - r - , в которых производится сплошное обследование.

Например, в торговле обследуются пачки, коробки, упаковки товара. Обычно проводится бесповторным отбором.

Для определения средней ошибки серийной выборки используем формулы:

а) для доли альтернативного признака

, (27)

где - межсерийная дисперсия выборочной доли (28)

б) для средней величины количественного признака

, (29)

где - межсерийная дисперсия выборочной средней. (30)

Здесь r – число серий в выборке. R - число серий в генеральной совокупности.

По сравнению с типической выборкой серийная дает более высокую ошибку представительности (репрезентативности), т.к. в серийной выборке обычно обследуется небольшое число серий. Для уменьшения ошибки надо увеличивать объем обследуемых серий.

Моментная выборка (моментные выборочные обследования) – для изучения процессов протекающих во времени.

Используется при анализе использования рабочего времени; при анализе времени загрузки оборудования.

Суть этого вида обследования: производится периодическая фиксация (в заранее установленные моменты времени) состояния изучаемой совокупности.

Например, генеральная совокупность – общий фонд рабочего времени

Выборка - сумма периодов, в которые делалась фиксация состояния изучаемых признаков.

Отбор в выборку моментных состояний единиц изучаемой совокупности осуществляется как правило механически. В силу необратимости времени способ отбора должно быть бесповторным. Но поскольку количество моментов времени достаточно большое, то для определения ошибки моментной выборки практически используется формула повторного отбора: . (31)

Главное для моментной выборки – установление ее объема n. На практике для этого применяется формула: , (32)

где w – доля изучаемого признака в выборке;

d – относительная величина предельной ошибки, %

t - кратность ошибки выборки (или коэффициент доверия).

Комбинированная выборка

На практике рассмотренные способы выборки обычно комбинируются в различных сочетаниях и с различной последовательностью.

Так в статистике коммерческой деятельности комбинируют:

- серийный отбор

- случайная выборка.

При этом генеральная совокупность разбивается на серии и отбирается нужное число серий; далее из этих серий проводится случайный отбор единиц в выборочную совокупность.

В этом случае средняя ошибка комбинированной выборки исчисляется по формуле:

а) При повторном отборе: (33)

б) При бесповторном отборе: (34)

здесь n – число единиц, взятое в выборку из серии.

Отбор бывает: одноступенчатый;

многоступенчатый.

При одноступенчатом отборе каждая отобранная единица сразу подвергается изучению по заданному признаку,

При многоступенчатом отборе из генеральной совокупности отбираются группы, а из них отбираются отдельные единицы.

Комбинированная выборка может быть двухступенчатой.

Средняя ошибка выборки при многоступенчатом отборе:

, (35)

здесь - средние ошибки выборки на отдельных ступенях отбора;

- численность выборки на соответствующих ступенях отбора.

Многофазная выборка – когда одни сведения получают от всех единиц, а другие – только по некоторым из них. Сведения, получаемые на первой фазе, могут быть использованы для уточнения расчетов на следующих фазах исследования.

Отличие многофазной выборки от многоступенчатого отбора:

При многофазной выборке на каждой фазе сохраняется одна и та же единица отбора.

При многоступенчатой выборке единица отбора на каждой ступени выборки различна.

Понятие о статистических рядах динамики. Виды рядов динамики.

Все явления изучаются в развитии. Статистика дает характеристику изменения статистических показателей во времени.

Ряд данных, взятых в определенные периоды времени и представленных в табличной форме называется ряд динамики (временной ряд), т.е. это статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени.

Например, ежедневные котировки акций на бирже, образуют ряд динамики. Другим примером ряда динамики являются ежемесячные значения цен потребительской корзины; ежеквартальные значения ВВП; ежегодные доходы от продаж какой-нибудь компании.

В каждом ряду динамики есть два основных элемента:

- показатель времени t,

- соответствующие ему уровни развития изучаемого явления y.

В качестве показателей времени в РД могут быть:

- даты (моменты времени);

- отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, годы).

Уровни РД отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами. Уровни РД могут относиться к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам.

В связи с этим РД делятся на:

Интервальные - отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.

Особенность интервального РД – каждый его уровень складывается их данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Поэтому можно получать РД более укрупненных периодов (свойство суммирования уровней).

27. Аналитические показатели ряда динамики и их взаимосвязь.

В основе расчета показателей ряда динамики лежит сравнение его уровней. Показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения.

При постоянной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем (полученные показатели называются базисными).

При переменной базе сравнения каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим (полученные показатели называются цепными).

Исчисляются следующие аналитические показатели ряда динамики:

1. Абсолютный прирост определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Базисный абсолютный прирост y_бi

y_б_i= y_i- y_бi (1)

цепной абсолютный прирост y_цi

y_цi = y_i- y_i_-1(2)

y_i - сравниваемый уровень,

y_бi - уровень, принятый за постоянную базу сравнения.

Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак.

Свойство: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики:

y_б_n=y_ц_i (3)

2. Темп роста характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах (%).

Базисный темп роста Tр_бi определяется делением сравниваемого значения на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

Tр_бi = y_i / y_б_i_.(4)

Цепной темп роста Tp_цi определяется делением сравниваемого уровня на предыдущий:

Tр_цi = y_i / y_i_-1(5)

Свойство: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частое от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

3. Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Они показывают на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Базисный темп прироста Tп_бi определяется как

Tп_бi = y_б_i / y_б_i_.(6)

Цепной темп Tп_цi определяется как

Tп_цi = y_ц_i / y_i-1(7)

Взаимосвязь между показателями темпа прироста и темпа роста:

Tп_i (%)=Tp_i (%)-100 при расчете в процентах (8)

Tп_i=Tp_i -1 при расчете в коэффициентах. (9)

С использованием приведенных формул одни показатели м.б. определены по другим.

4. Абсолютное значение одного % прироста (снижения) А_i % -

это отношение абсолютного прироста y_i за определенный период (обычно за год) к темпу прироста Tп_i за этот же период, выраженному в процентах. Этот показатель раскрывает, какая абсолютная величина скрывается за относительной – одним процентом прироста

(10)

Количественное значение одного % прироста равно одной сотой части уровня, предшествующего анализируемому. Выражается абсолютное значение одного процента прироста (снижения) в единицах измерения уровней анализируемого РД.

5. Темп наращивания Тн_i определяет наращивание во времени исследуемой величины.

Tн_i = y_ц_i / y_б_i_.,(11)

т.е. определяется делением цепных абсолютных приростов y_ц_i на уровень, принятый за постоянную базу сравнения y_б_i

(12)
Эта формула удобна для практического использования.

Применение понятий

Приведем расчет аналитических показателей ряда динамики по условным данным о товарообороте предприятия торговли

Средние показатели в рядах динамики.

Для получения обобщающих показателей динамики определяются средние величины.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней и определяется делением суммы уровней åy_i на их число n:

= . (13)

Для моментного ряда динамики с равноотстоящими моментами времени средний уровень исчисляется по формуле:

(14)

Для моментного ряда динамики с неравноотстоящими моментами времени средний уровень находится по формуле:

, (15)

здесь у_i - уровни ряда, не изменяющиеся в течение промежутка времени t_i_.

Средний абсолютный прирост определяется как сумма абсолютных приростов, деленная на их число:

. (16)

Средний абсолютный прирост можно определить по абсолютным уровням как разность конечного уровня ряда и начального (базисного) уровня, деленную на число субпериодов

(17)

Средний темп роста - это обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики, определяемая как корень степени n из произведения индивидуальных цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах:

, (18)

где Т_рi - индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n - их число.

Определим средний темп роста с использованием абсолютных уровней ряда:

(19)

Средний темп прироста определяется на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста

при расчете в коэффициентах (20)

Сглаживание рядов динамики. Скользящие средние. Экспоненциальное сглаживание.

Изменение уровней ряда динамики происходит под действием ряда факторов, неоднородных по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы формируют тренд или основную тенденцию развития. Наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются следующие:

1) Метод укрупнения интервалов. Это один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления. Суть этого метода заключается в преобразовании первоначального ряда в ряд динамики с более продолжительным периодом или интервалом времени. Так ряд данных, содержащий данные о выпуске продукции за месяц можно преобразовать в ряд квартальных данных. При суммировании уровней отклонения, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).

2) Сглаживание методом скользящей средней.

По исходным данным определяются теоретические уровни, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выравнивается в виде плавной линии.

Для определения скользящей средней формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получается присоединением одного уровня справа и удалением одного уровня слева. Так мы постепенно сдвигаемся от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал включает уровни от у₁ до у_m ; второй интервал включает уровни от у₂ до у_m+1 и т.д.

Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяем сумму значений уровней, на основе которых рассчитывается среднее (скользящее среднее). Полученное среднее относится к середине укрупненного интервала. Поэтому технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. При четном числе уровней ряда в укрупненных интервалах необходима дополнительная процедура центрирования.

Величина интервала сглаживания зависит от средней длины цикла в изучаемом ряду динамики. Это необходимо чтобы исключить циклические колебания. Обычно величина интервала сглаживания равна целому числу, кратному средней длине цикла.

Чтобы избежать утомительных вычислений на практике применяется программное обеспечение (Пакет анализа программы Microsoft Excel).

3) Экспоненциальное сглаживание.

Для выявления долговременных тенденций применяется метод экспоненциального сглаживания. Этот метод позволяет делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного интервала), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом.

Метод получил название от последовательности экспоненциально взвешенных скользящих средних. Каждое значение этой последовательности зависит от всех предыдущих наблюдаемых значений.

Уравнение, позволяющее сгладить ряд динамики в пределах произвольного периода времени i содержит три элемента:

Текущее наблюдаемое значение У_i , принадлежащее ряду динамики;

Предыдущее экспоненциально сглаженное значение Е_i_-1

Присвоенный вес W.

(21)

Здесь Е_i - экспоненциально сглаженное i-е значение;

Е_i_-1 - экспоненциально сглаженное i-1-е значение;

У_i - наблюдаемое исходное i - е значение ряда динамики;

W-сглаживающий коэффициент (0<W<1).

Выбор сглаживающего коэффициента достаточно субъективен. Если исследователь хочет просто исключить из ряда динамики нежелательные циклические или случайные колебания, следует выбирать небольшие величины W (близкие к нулю). В этом случае четко проявляются долговременные тенденции.

Если ряд динамики используется для прогнозирования, необходимо выбрать большой вес W (близкий к 1). Тогда повышается точность краткосрочного прогнозирования.

Прогнозирование величины для (i+1) – го значения

- прогнозное значение.

Для предсказания доходов компании Cabot Corporation в 2002г. на основе экспоненциально сглаженного временного ряда, соответствующего весу W=0,25, можно использовать сглаженное значение, вычисленное для 2001г. Из табл. видно, что эта величина равна 1651,0 млн. долл.

млн. долл.

Предскажем уровень доходов в 2003 году, используя сглаженное значение доходов в 2002 году:

(21А)

Иначе говоря, формулы для прогнозирования выглядят следующим образом:

Текущее сглаженное значение = W*(текущее наблюдаемое значение)+(1-W)*

*( предыдущее сглаженное значение).

Новый прогноз = W*( текущее наблюдаемое значение) + (1-W)*(текущий прогноз).

Вычисление тренда с помощью метода аналитического выравнивания.

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов, скользящей средней, экспоненциального сглаживания позволяет выявить тренд для его описания, но получить обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов не возможно. Решение этой более высокого порядка задачи достигается методом аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания. Он позволяет получить обобщенную статистическую оценку тренда. Тренд y_t рассчитывается как функция времени.

. (22)

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития ряда динамики.

Подбор математической функции осуществляется методом наименьших квадратов

. (23)

Таким образом, сумма отклонений между теоретическими и эмпирическими (полученными на практике) уровнями должна быть минимальна.

Формула (23) – это критерий соответствия расчетных и фактических уровней РД. лавное здесь – подбор математической функции.Различают следующие эталонные типы развития явлений во времени:

а) равномерное развитие – если абсолютные приросты в РД постоянны:

у_ц const.

Основная тенденция развития в РД со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции (линейный тренд):

(24)

Здесь а₀ , а₁ - параметры уравнения; t - обозначение времени.

Параметр а₁является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если а₁ > 0, то уровни РД равномерно возрастают, при а₁ < 0 происходит равномерное снижение уровней РД.

б) равноускоренное (равнозамедленное) развитие – уровни таких РД изменяются с постоянными темпами прироста:

Tп_цi const

Основная тенденция развития в РД со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка (квадратичный тренд):

(25)

Здесь значения параметров а₀ , а₁ идентичны параметрам линейного тренда,

а₂ - параметр, характеризующий изменение интенсивности развития в единицу времени (ускорение развития или процесс замедления роста).

в) развитие с переменным ускорением (замедлением) – парабола третьего порядка:

(26)

а₃ - параметр, отображающий изменение ускорения.

г) развитие по экспоненте – для стабильных темпов роста. Математически это показательная функция:

(27)

д) развитие с замедлением роста в конце периода (показание абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики). Математически это полулогарифмическая функция:

(28)

При изучении неудовлетворенного и реализованного спроса применяют:

е) степенную функцию:

(29)

ж) функцию гиперболы:

(30)

На практике выбор эталонной математической функции достаточно сложная и трудоемкая операция (даже при использовании соответствующего программного обеспечения). Особенно это имеет место для криволинейных функций, теория которых разработана недостаточно.

Для вычисления параметров функции линейного тренда на основе метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

(31)

Для решения системы применяется способ определителей, позволяющий получать более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округлений в расчетах параметров:

(32)

Здесь значения времени – это целые числа (коды).

Для упрощения расчетов используется специальный подбор показателей времени так, чтобы их сумма равнялась нулю (способ расчета времени от условного начала):

Например, если число уровней в РД нечетное и равно 7, условные значения показателей времени равны:

-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 7

Тогда расчет коэффициентов линейного тренда значительно упрощается и м.б. выполнен по формулам:

(33)

После определения параметров линейного тренда подставляем их в искомое линейное уравнение и находим теоретические (выровненные) значения .

Одним из наиболее часто применяемых показателей адекватности математической функции (математической модели) является стандартизованная ошибка аппроксимации:

(34)

Она должна быть минимальна у выбранной теоретической модели тренда.

Прогнозирование в рядах динамики.

д повышение реальных доходов кампании в среднем на 45,485 млрд. доходы были преобразованы в реальные. ает свою продукцию ртизо Экономические условия изменяются с течением времени. Поэтому менеджеры должны прогнозировать влияние, которое эти изменения окажут на их компанию. Одним из методов, позволяющих обеспечить точное планирование, является прогнозирование (forecasting). Несмотря на большое количество разработанных методов прогнозирования, все они преследуют одну и ту же цель – предсказать события, которые произойдут в будущем, чтобы учесть их при разработке планов и стратегии развития компании.Современное общество постоянно испытывает потребности в прогнозировании. Например, чтобы выработать правильную политику, члены правительства должны прогнозировать уровни безработицы, инфляции, промышленного производства, подоходного налога отдельных лиц и корпораций. Чтобы определить потребности в оборудовании и персонале, директора авиакомпаний должны правильно предсказать объем авиаперевозок. Чтобы создать достаточное количество мест в общежитии, администраторы колледжей и университетов хотят знать, сколько студентов поступит в их учебное заведение в следующем году.Если статистику доступны данные об объекте исследования, применяются количественные методы прогнозирования (quantitative forecasting methods). Эти методы позволяют предсказать состояние объекта в будущем на основе данных о его прошлом и настоящем. Методы количественного прогнозирования разделяются на две категории:

ü анализ рядов динамики (временных рядов);

ü методы анализа причинно-следственных зависимостей.

Метод анализа рядов динамики позволяет предсказать значение числовой переменной на основе ее прошлых и настоящих значений.

Методы анализа причинно-следственных зависимостей позволяют определить, какие факторы влияют на значения прогнозируемой переменной. К ним относятся методы множественного регрессионного анализа с запаздывающими переменными, эконометрическое моделирование, анализ лидирующих индикаторов, методы анализа диффузионных индексов и других экономических показателей.

При прогнозировании важно:

ü установить продолжительность базисного ряда динамики (необходимо использовать те субпериоды базисного РД, которые составляют определенный этап в развитии изучаемого явления в конкретных условиях);

ü установить сроки прогнозирования (чем короче сроки прогнозирования, тем надежнее его результаты).

На практике результат прогнозирования м.б. выполнен не точечными (дискретными), а интервальными оценками. Для определения границ интервалов используется формула:

(35)

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ;

(36)

- остаточное среднеквадратическое отклонение тренда, скорректированное по числу степеней свободы n-m; n - число уровней базисного ряда динамики; m - число параметров адекватной модели тренда.

Компоненты классической мультипликативной модели рядов динамики.

Основное предположение, лежащее в основе анализа рядов динамики, состоит в следующем: факторы, влияющие на исследуемый объект в настоящем и прошлом, будут влиять на него и в будущем. Таким образом, основные цели анализа РД заключаются в идентификации и выделении факторов, имеющих значение для прогнозирования.Для достижения этой цели, разработаны математические модели, предназначенные для исследования колебаний компонентов, входящих в модель ряда динамики. Наиболее распространенной является классическая мультипликативная модель для ежегодных, ежеквартальных и ежемесячных данных. При рассмотрении данных о фактическом валовом доходе компании Wrigley, выявлено, что на протяжении 20 лет 1982-2001гг. доход имел возрастающую тенденцию. Это долговременная тенденция называется трендом. Тренд - не единственный компонент ряда динамики. Кроме него данные имеют циклический и нерегулярный компоненты. Циклический компонент описывает колебание данных вверх и вниз, часто коррелируя с циклами деловой активности. Его длина может изменяться в интервале от 2 до 10 лет. Интенсивность или амплитуда циклического компонента непостоянна. В некоторые годы данные м.б. выше значения, предсказанного трендом (т.е. находиться в окрестности пика цикла) а в другие годы – ниже (т.е. быть на дне цикла). Любые наблюдаемые данные, не лежащие на кривой тренда и не подчиняющиеся циклической зависимости, называются иррегулярными или случайными компонентами. Если данные записываются ежемесячно или ежеквартально, возникает дополнительный компонент, называемый сезонным.

Все компоненты рядов динамики, характерные для экономических приложений, приведены в табл.

Таблица. Компоненты колебаний уровней в рядах динамики

Компо-ненты	Вид	Определение	Причины	Продолжительность
Тренд	Системати-ческий	Описывает долговременное возрастание или убывание данных	Изменения технологии, населения, благосостояния, рыночных цен	Несколько лет
Сезон-ный	Системати-ческий	Описывает четко выра-женные периодические колебания, прояв-ляющиеся ежегодно	Погодные условия, социальное поведение, обычаи	В течение года (месяца или квартала
Цикли-ческий	Системати-ческий	Повторяющиеся коле-бания, имеющие 4 фазы: пик (процветание), спад (рецессия), дно (депрес-сия) и подъем (восста-новление или рост)	Взаимодействие многочисленных факторов, влияющих на экономическую активность	Как правило с переменной интенсивностью на протяжении 2-10 лет
Случай-ный	Несистематический	Случайные колебания РД, возникающие после учета систематических эффектов	Случайные колебания данных или непредвиденные события (ураганы, наводнения, забастовки)	Кратковременные и однократные

Классическая мультипликативная модель РДутверждает, что любое наблюдаемое явление является произведением перечисленных компонентов. Если данные являются ежегодными, наблюдаемое значение У_i , соответствующее i-му году, выражается следующим уравнением.

Классическая мультипликативная модель РД для ежегодных данных:

У_i =Т_i *С_i *I_i , (37)

где Т_i - значение тренда; С_i - значение циклического компонента; I_i - значение случайного компонента в i-м году.

Если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, наблюдение У_i , соответствующее i-му периоду, выражается следующим уравнением.

Классическая мультипликативная модель РД для данных с учетом сезонного компонента:

У_i =Т_i *S_i *С_i *I_i , (38)

где Т_i - значение тренда; S_i - значение сезонного компонента в i-м периоде; С_i - значение циклического компонента; I_i - значение случайного компонента в i-м периоде.

На первом этапе анализа РД строится график данных и выявляется их зависимость от времени. Сначала определяется, существует ли долговременное возрастание или убывание данных (т.е. тренд). Если тренд отсутствует, то для сглаживания данных можно применить метод укрупнения интервалов, скользящих средних или экспоненциального сглаживания. Если реальный тренд существует, открывается возможность применять методы прогнозирования для различных видов математических функций.

Изучение сезонных изменений.

Сезонные изменения (колебания) – это устойчивые внутригодовые колебания уровней развития явлений. Полностью устранить их не возможно. Их надо учитывать, с ними надо считаться.

Например, сезонными являются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней цен, связанные со сменой времен года, с обычаями, традициями, праздниками. Сезонные изменения имеют место в торговле, в промышленности, в сельскохозяйственном производстве, на транспорте и др. Где бы ни проявлялась сезонность, она приносит большие потери бизнесу из-за неравномерности использования в течение года трудовых ресурсов, оборудования и электроэнергии, неравномерной нагрузки транспорта, поставок сырья и т.д. Для снижения негативных воздействий фактора сезонности необходимо учитывать влияние этого фактора, для чего выполняются соответствующие расчеты и анализ показателей сезонности.

В ходе статистического анализа сезонных колебаний решаются важнейшие для экономической практики задачи. Это, во-первых, оптимизация распределения по месяцам в течение года производственных ресурсов и, во-вторых, реализация комплекса производственных мероприятий, позволяющих сократить сезонные колебания, обеспечив тем самым более или менее равномерную занятость производственного персонала, а также финансовую и экономическую стабильность.

При изучении сезонных колебаний выполняется:

ü Выявление специфики развития изучаемого явления во внутригодовой динамике;

ü Измерение сезонных колебаний изучаемого явления с построением модели сезонной волны.

Для изучения сезонных колебаний ряды динамики должны быть приведены к сопоставимому виду:

v сопоставимость или одинаковость показаний времени, его интервалов, однородность состава изучаемых совокупностей во времени.

v однородность состава изучаемых совокупностей во времени;

v одни единицы измерения, цены;

v единая методика обобщения исходной информации и т.д.

Для измерения сезонных колебаний исчисляют индексы сезонности:

, (39)

которые представляют собой отношение эмпирических уровней РД у_i к теоретическим (расчетным) уровням у_ti .

Расчетные уровни выступают в качестве базы сравнения. Таким образом, элиминируется влияние основной тенденции развития при расчете индексов сезонности.

Совокупность индексов сезонности образует сезонную волну.

Чтобы выявить устойчивую сезонную волну, в которой не учитывались бы исключительные условия одного года, средние индексы сезонности исчисляют, как правило, за три года и более:

(40)

Существуют различные методы нахождения индексов сезонности, которые используют в зависимости прежде всего от характера основной тенденции ряда динамики.

1. Для рядов внутригодовой динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития вначале производят выравнивание ряда методом 12-членной скользящей средней или методом аналитического выравнивания, затем рассчитывают индексы сезонности:

(41)

Здесь у_ti - средняя ось кривой, т.к. ее расчет основан на методе наименьших квадратов. Для определения теоретических уровней тренда важно правильно подобрать математическую функцию, по которой будет производиться аналитическое выравнивание в анализируемом РД. Измерение сезонных колебаний на базе переменных уровней тренда называется способом переменной средней.

2. Для рядов внутригодовой динамики, в которых повышающийся (снижающийся) тренд отсутствует или он незначителен, индексы сезонности находят по формуле:

(42)

Здесь база для сравнения - общий для анализируемого ряда средний уровень. По указанной формуле индексы сезонности рассчитывают способом постоянной средней.

Понятие статистического индекса. Индивидуальные и общие индексы.

Само слово (index) означает показатель. Представим индексы прежде всего как показатели изменений.

Особенности индексов:

ü Позволяют измерить изменение сложных явлений;

ü Выявляют роль отдельных факторов;

ü Сравнения могут осуществляться с прошлым периодом, с другой территорией или с нормативами.

Индекс - это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов).

Каждый индекс включает два вида данных:

- оцениваемые данные или отчетные или текущие. Они обозначаются значком "1".

- данные, которые используются в качестве базы сравнения - базисные, они обозначаются значком "0".

Индекс, который строится как сравнение обобщенных величин, называется сводным или общим (сложным). Он обозначается I. Если сравниваются необобщенные величины, то индекс называется индивидуальным (простым) и обозначается i.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина.

Индивидуальные индексы физического объёма реализации товаров определяются по формуле (q – quantity - количество):

i_q = q₁:q_0, (1)

где q_1,q_{0 -} количество продажи отдельного товара в текущем и базисном периодах в натуральных измерителях.

Индивидуальный индекс цен (p – price – цена) определяется как:

i_p = p₁:p_0,(2)

где p_1,p₀ - цены за единицу товара в текущем и базисном периодах.

Результаты расчета индексных отношений выражаются в коэффициентах или в процентах.

Общие индексы могут исчисляться как по агрегатной, так и по средней форме (среднего арифметического или среднего гармонического индекса).

Агрегатные индексы.

Происходят от латинского слова «aggrega» - присоединяю. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемых статистических совокупностей:

Индексируемая величина * Соизмеритель

изменяется в числителе для перехода к однородным

и знаменателе показателям – неизменен

Общий индекс цен, если соизмеритель q₁ - данные о количестве реализации товаров в текущем периоде, это индекс Пааше:

. (3)

Общий индекс цен, если соизмеритель q₀, называется индексом Ласпейреса:

. (4)

Формулы (3) и (4) определяют агрегатные индексы, т.е. индексы в числителе и знаменателе которых находятся произведения индексируемой величины на соизмеритель.

Формулы (3) и (4) могут быть распространенны на индексы других качественных показателей:

- себестоимости I_z ,

- производительности труда I_t и т.д.

Агрегатные индексы можно определить для физического объёма товарной массы q:

- в ценах базисного периода p₀

, (5)

- в ценах текущего периода p₁

. (6)

При индексном методе анализа коммерческой деятельности надо учитывать, что факторы, влияющие на объем товарооборота – количество реализации и их цены действуют одновременно. В анализе важно определить общий результат их совокупного взаимодействия.

Из формул (3) ... (5) строится общий индекс товарооборота

(7)

В этом индексе производится сравнение двух качественно однородных величин (стоимостей)

Средние индексы.

а) При синтезировании общего индекса цен вместо фактического количества товаров (в отчетный или базисный периоды) в качестве соизмерителя могут применяться средние величины реализации товаров за два или большее количество периодов. Примером такого среднего индекса является индекс Лоу

(8)

Здесь - среднее количество товаров, реализованных за анализируемый период. Если есть только два периода – базисный и текущий, то средняя величина определяется по формуле средней невзвешенной.

б) Для определения сводных обобщающих показателей изменения розничных цен в коммерческой деятельности используется средняя гармоническая форма общего индекса цен:

(9)

здесь i_p =р₁/р₀ - индивидуальные (однотоварные) индексы цен.

в) При наличии информации об индивидуальных индексах физического объема и стоимости, реализованных в базисном периоде товаров, общий индекс физического объема может исчисляться по формуле среднего арифметического индекса:

(10)

здесь i_q =q₁/q₀ - индивидуальные индексы физического объема.

Применение индексов для изучения структурных сдвигов.

Для общего индекса товарооборота выполняется следующая формула:

I_qp=I_q*I_p_.(11)

Формула (11) отражает взаимосвязь индекса физического объёма и индекса цен.

Эта формула м.б. использована лишь при условии, что веса-соизмерители в индексах физического объема и цен берутся на разных уровнях. При анализе компонентной зависимости используется формула:

(12)

Взаимосвязанные индексы могут быть применимы для изучения влияния структурных сдвигов. В таком анализе индексы находятся во взаимосвязи со средними величинами. Из формулы средней арифметической:

(13)

Следует, что на среднюю величину влияют: индивидуальные значения усредняемого признака; численность отдельных вариантов изучаемой совокупности (их частота). Нам важно определить, в какой мере изменения отдельных вариантов и их частот влияют на изменение средней величины. Это выполнимо с помощью следующей системы взаимосвязанных индексов.

Определим индекс изменения средней величины как произведение индекса в неизменной структуре на индекс, отображающий влияние изменения структуры явления на динамику средней величины .

. (14)

В этой формуле: 1) (15)

Это индекс переменного состава (т.к. веса-соизмерители в нем это состав продукции (товаров) текущего f₁ и базисного f₀периодов).

2) (16)

Это индекс постоянного (фиксированного) состава (т.к. веса-соизмерители в нем это состав продукции (товаров) текущего f₁ периода).

3) (17)

Это индекс, отображающий влияние структурных сдвигов на изучаемый показатель (т.к. в нем изменяются только веса-соизмерители).

Для практики формула (9.14) удобна тем, что на её основе по любым двум известным индексам можно определить третий неизвестный индекс.

Использование индексного метода для территориальных сравнений.

В предыдущих вопросах, мы использовали статистические индексы для изучения развития коммерческой деятельности во времени.

Однако индексный метод может использоваться для территориальных сравнений (регионы внутри страны; или в международной статистике для разных стран).

Особенности индексного метода при осуществлении территориальных сравнений:

1) существует специфика при выборе базы сравнения: каждый регион м.б. принят как в качестве сравниваемого, так и в качестве базы сравнения.

2) При определении сводных (общих) индексов надо решить вопрос о весах-соизмерителях индексируемых величин.

Для анализа соотношения уровней цен на товары, реализованные в городе К по сравнению с городом М, определим сводный (общий) индекс цен, в котором веса-соизмерители – это количество товаров, проданных в городе К; индексируемые величины – это цены:

(18)

Здесь - фактический объем товарооборота в городе К по их ценам;

- условная величина товарооборота в городе К по ценам города М.

Разность числителя и знаменателя индекса (9.18) равна сумме экономического эффекта от различия цен в данных городах:

При другой постановке цели анализа: база – город К; соизмеритель - количество товаров, проданных в городе М.:

(19)

Для преодоления противоречий в показаниях между сводными (общими) территориальными и индивидуальными (однотоварными) индексами определяется индекс цен, в котором в качестве веса-соизмерителя выступает сумма реализации товаров по двум городам:

q = q_к + q_м (20)

Тогда формула (18) сводного (общего) индекса цен примет вид:

(21)

Или из формулы (19), если база сравнения – город К получается следующий индекс:

(22)

В сводных (общих) территориальных индексах физического объема в качестве весов-соизмерителей могут выступать средние цены:

(23)

При многосторонних сравнениях выбор базы сравнения и весов-соизмерителей индексируемых величин предопределяется конкретными целями анализа.

Свойства индексов.

Индексы считаются построенными правильно, если они удовлетворяют ряду тестов. Эти тесты сформулированы американским статистиком и экономистом Ирвингом Фишером (1867-1947). (Не путать с Рональдом Фишером (1890-1962) – английский статистик и генетик, основатель математической статистики).

Основных тестов три:

1. Тест обратимости во времени:

индексы, исчисленные в «прямом» и «обратном» направлениях, должны быть взаимообратными числами.

(24)

2. Тест обратимости по факторам:

Если поменять местами в индексе цен символы для цен и для количеств, то мы должны получить индекс количества, который будучи умножен на индекс цен, должен дать изменение общей стоимости товаров .

Тесту обратимости отвечает средний геометрический индекс

(25)

Этот индекс был назван И.Фишером идеальным индексом.

3. Тест кружного испытания:

Если построен некоторый индекс для года а при базисном годе в и для года в при базисном годе с, то из них можно получить индекс года а при базисном годе с. Тест кружного испытания требует, чтобы , основанный на промежуточных сравнениях, совпал с тем, кокой мы получили бы при непосредственном сравнении а с с , т.е.

(26)

В случае взвешенных индексов этот тест выполняется только для индексов с постоянными весами. Особенно сложно обеспечить выполнение этого теста при сравнении с отдаленной (по времени) базой.

Использование индексов в экономико-статистических расчетах. Индекс потребительских цен. Индекс цен производителей промышленной продукции.

Начиная с 1993г. в соответствии с международными стандартами в органах статистики Республики Беларусь рассчитываются следующие индексы:

ü Индексы цен в потребительском секторе экономики;

ü Индексы цен производителей промышленной продукции в производственном секторе.

Одним из важнейших показателей статистики цен, широко используемым в экономической и социальной политике государства, является индекс потребительских цен (ИПЦ). Как экономическая категория, ИПЦ отражает изменение во времени стоимости фиксированного набора товаров и услуг, фактически потребляемых населением. ИПЦ исчисляется для характеристики изменения общей суммы потребительских расходов населения на товары и платные услуги в текущем периоде по сравнению с предыдущим (базисным) периодом под влиянием изменения цен на эти товары и услуги.

Для регулярного наблюдения за ценами и тарифами на потребительские товары и услуги отобран 31 город Республики Беларусь, где проживает более 50% населения республики и свыше 70% городского населения. Источник приведенной информации: Приказ Министерства статистики и анализа Республики Беларусь « Методологические указания по организации органами государственной статистики наблюдения за ценами и тарифами на потребительские товары и платные услуги, оказанные населению, расчету сводного индекса потребительских цен» от 13.07.2004г. №150.

Потребительский набор товаров и услуг, на основании которого рассчитывается ИПЦ, представляет собой репрезентативную (представительную) выборку товаров и услуг, наиболее часто потребляемых населением. Для наблюдения за потребительскими ценами в Министерстве статистики и анализа Республики Беларусь в настоящее время отобрано более 400 наименований товаров и видов услуг, характеризующих фактическую структуру потребительских расходов населения республики.

Критерием включения товара (услуги) в набор для наблюдения за потребительскими ценами (тарифами) является доля расходов на их покупку, которая должна составлять не менее 0,01% от общих потребительских расходов.

Потребительский набор товаров и услуг состоит из трех основных групп: продовольственные товары; непродовольственные товары; платные услуги.

Исходной информационной базой для расчета ИПЦ являются данные регистрации цен на товары (услуги) - представители.

Регистрация цен (тарифов) проводится регистраторами областных и Минского городского управлений статистики в период с 10-го по 30-е число ежемесячно. Сбор информации о ценах (тарифах) в конкретной торговой организации, оказывающей платные услуги населению, в отчетный период осуществляется в один из двух календарных дней, предшествующих или следующих за днем сбора информации предыдущего месяца.

ИПЦ является одним из важнейших показателей, характеризующих инфляционные процессы в Республике Беларусь. В связи с этим ИПЦ используется:

· Правительством Республики Беларусь, профсоюзами, гражданами для принятия решений по экономическим вопросам;

· при пересчете макроэкономических показателей из текущих цен в сопоставимые;

· для индексации размеров доходов населения: заработной платы, пенсий, пособий, обеспечивающих сохранение уровня жизни населения.

Расчет сводного ИПЦ производится по варианту формулы Ласпейреса, в котором используется относительный показатель изменения цены по сравнению с предыдущим периодом:

, (27)

где - представляет собой сводный ИПЦ за период "t" по сравнению с базисным периодом "o"; - относительный показатель изменения средней цены товара (услуги) "j" в отчетном периоде "t" по сравнению с предыдущим периодом "t-1";P₀_j - цена товара (услуги) "j" в базисном периоде (предыдущем году); q₀_j - удельный вес расходов населения на покупку товара (услуги) "j" в общей сумме потребительских расходов населения в базисном (предыдущем) году.

Индексы цен производителей промышленной продукции (ИЦППП) относятся к числу важнейших показателей, характеризующих ценовые процессы в промышленности. Они применяются для сравнительного анализа изменения цен в различных отраслях промышленности, в качестве дефляторов при определении объемов производства в условиях инфляции, при переоценке основных фондов, пересмотре ставок арендной платы, расчетах стоимости приватизируемых средств, а также для выполнения экономических расчетов и прогнозирования на макроуровне.

Точность определения индекса цен производителей промышленной продукции зависит от репрезентативности выборки, по которой ведется статистическое наблюдение за ценами. Выборка считается репрезентативной, если доля стоимостного объема производства отобранных товаров составляет 60-70 процентов стоимости общего объема продукции отрасли, подотрасли промышленности.

Выборка, по которой в настоящее время ведется наблюдение за изменением ИЦППП состоит из 1027 промышленных организаций республики. Собираются сведения более чем по 3200 наименованиям конкретных изделий. Сводный индекс цен производителей промышленной продукции рассчитывается по промышленности в целом, ее отраслям и подотраслям, а также отдельно по средствам производства, промежуточным и потребительским товарам. С января 2005г. для расчета ИЦППП используется структура производства промышленности за 2003 год, расширена сеть опорных организаций, добавлены новые товары для наблюдения за ценами.

Данные о ценах организаций являются конфиденциальной информацией и используются только для формирования сводных индексов цен без предоставления кому-либо данных по конкретным организациям. Цены, запрашиваемые от организаций, отражают цены не в конкретный день месяца, а за весь месяц. Организации ежемесячно указывают три цены: за текущий месяц, за предыдущий месяц и за месяц, предшествующий предыдущему. Регистрируются цены фактических сделок с отгрузки продукции организаций, которые были совершены в течение отчетного месяца, без налога на добавленную стоимость, акцизов и других налогов и платежей из выручки. Регистрируется цена, представляющая собой оценку стоимости товара в момент его выхода за ворота предприятия. Такая цена называется ценой франко-предприятие.

Расчет сводного индекса цен производителей промышленной продукции производится по формуле Ласпейреса, которая предполагает использование постоянной системы весов, основанной на структуре выпуска промышленной продукции в базисном периоде.

Индекс потребительских цен (Consumer Index Price) является наиболее популярным индексом в США. Этот индекс ежемесячно публикуется Бюро статистики труда в качестве основного инструмента для измерения стоимости жизни в США.

Другим важным индексом цен, публикуемым Бюро статистики труда является индекс цен производителей (Producer Price Index). Индекс PPI является лидирующим индикатором для индекса CPI. Иначе говоря, увеличение индекса PPI приводит к увеличению индекса CPI и наоборот.

Финансовые индексы (Доу-Джонса, S&P 500, NASDAQ).

Такие финансовые индексы, как индекс Доу-Джонса, S&P 500 и NASDAQ, используются для оценки изменения стоимости акций в США.

Группа индексов Доу-Джонса рассчитывается на базе средней арифметической (традиционно они называются индексами, хотя по характеру расчета являются средними).

Чарльз Доу - один из создателей индекса Доу-Джонса, основатель The Wall Street Journal, родоначальник теории определения трендов на рынке акций.

Теория Доу - теория, согласно которой рынок находится на подъеме, если фондовые индексы начинают превышать ранее зафиксированную максимальную точку подъема.

Существует 4 индекса Доу-Джонса.

Промышленный индекс Доу-Джонса DJIA(Dow Jones Industrial Average) - это индекс, вычисленный по курсам акций 30 наиболее котируемых "голубых фишек" США. В течение последних 100 лет он является старейшим непрерывно действующим индексом рынка США. Его состав не является неизменным: компоненты его могут изменяться в зависимости от позиций крупнейших промышленных корпораций в экономике США и на рынке, однако в современных условиях такие случаи довольно редки. В принципе на его составляющие приходится от 15 до 20% рыночной стоимости акций, котируемых на Нью-йоркской фондовой бирже. Количество компаний в списке в 1896 году составляло 12, в 1916 увеличилось до 20, а с 1928 года по сегодняшний день составляет 30. Значение индекса за 1928 год было принято за 100. Индекс называется средним (average), т.к. первоначально он вычислялся как среднее арифметическое котировок акций. Первое значение этого индекса 26 мая 1896 года равнялось 40,94. Методология вычислений претерпела некоторые изменения. В силу того, что иногда американские компании производят дробление акций (stock split), когда увеличивается число акций в обращении без увеличения их суммарной номинальной стоимости, необходимо уменьшать количество компаний, входящих в индекс, чтобы избежать искусственного занижения индекса. Однако слово "средний" (average) в названии индекса осталось.

Индекс Доу-Джонса котируется в пунктах. С недавнего времени на него появились фьючерсные контракты в Чикаго.

Транспортный индекс Доу-Джонса (The Dow Jones Transportation Average - DJTA) - средний показатель, характеризующий движение цен на акции 20 транспортных корпораций (авиакомпаний, железнодорожных и автодорожных компаний). Коммунальный индекс Доу-Джонса (The Dow Jones Utility Average - DJUA) - средний показатель движения курсов акций 15 компаний, занимающихся газа - и электроснабжением.

Составной индекс Доу-Джонса (The Dow Jones Composite Average - DJCA) - показатель, составляющийся на базе промышленного, транспортного и коммунального индексов Доу-Джонса.

Фондовый индекс Standard & Poor's 500 является наиболее популярным “эталоном” для оценки результатов широкого рынка. В настоящее время на компоненты S&P 500 приходится около 70% общей стоимости акций американских компаний; инвестиции в индексные фонды, портфели которых полностью привязаны к этому индексу, достигают приблизительно $1 трлн., и еще гораздо более значительные суммы вложены в другие фонды, которые в той или иной степени отслеживают результаты S&P 500. Неудивительно, что в умах искушенных инвесторов S&P 500 практически ассоциируется с фондовым рынком в целом.Однако не все знают, что состав этого индекса в значительной степени зависит от субъективного мнения 7 человек, которые раз в месяц собираются на 44-м этаже небоскреба на Уотер-стрит в Нью-Йорке. Подобно комитетам по приему в элитные загородные клубы, Комитет Standard & Poor's заседает в обстановке полной конфиденциальности: протоколы его заседаний никогда не предаются огласке. Тем не менее, некоторые эксперты рынка встревожены тем, что в последнее время составители индекса вносят в него изменения, используя совершенно новые и, по мнению этих экс