Геометриялы орындар дісі

Салу есептерін шешуде пайдаланылатын геометриялы орындар дісіні мнісі мынада. Айталы, салу есебін шешкенде екі шартты бірдей анааттандыратын X нктесін табу керек болсын. Бірінші шартты анааттандыратын нктелерді геометриялы орны айсыбір 1 фигурасы болады, ал екінші шартты анааттандыратын нктелерді геометриялы орны айсыбір 2 фигурасы болады. Ізделінді X нктесі 1 фигурасына да, 2 фигурасына да тиісті, яни оларды иылысу нктесі болып табылады.

Сурет40

Егер бл геометриялы орындар арапайым болса (мысалы, тзулер мен шеберлерден трса), біз оларды сала аламыз жне ажетті X нктесін тауып алуымыза болады. Мысал келтірейік.

Есеп (12). A, В, С ш нкте берілген, А жне В нктелерінен бірдей ашытыта жне С нктесінен берілген ашытыта X нктесін табу керек.

Ш е ш у і. Ізделінді X нктесі екі шартты анааттандырады:

1) ол А мен В нктелерінен бірдей ашытыта жатады;

2) ол С нктесінен берілген ашытыта жатады.

Бірінші шартты анааттандыратын нктелерді геометриялы орны — АВкесіндісіне перпендикуляр рі оны ортасынан тетін тзу (40-сурет). Екінші шартты анааттандыратын нктелерді геометриялы орны — центрі С нктесінде, ал радиусы берілген ара ашытыа те болатын шебер. Ізделінді X нктесі осы геометриялы орындарды иылысуында жатады.

Есеп (13). сас шбрыштар периметрлеріні атынасы оларды сйкес абыраларыны атынасындай болатындыын длелдедер.

Шешуi: Айталы, ABC жне А1В1С1- сас ш­брыштар болсын. Сонда А1В1С1 шбрышыны абыралары ABC шбрышыны абыраларына пропорционал болады, яни A1В1 = kAB, В1С1 kВС, А1С1 = kАС. Осы тедіктерді мшелеп осса, шыатыны:

A1В1 + В1С1 + А1С1= k(AB+ ВС +АС).

Бдан ,

яни шбрыштарды периметрлеріні атынасы оларды сйкес абыраларыны атынасындай болады.

Есеп (14). С брышы сйір болып келген ABC шбрышыны АЕ мен BDбиіктіктері жргізілген. (41-сурет). Сонда ABC EDC болатынын длелдедер.

Ill е ш у i. ABC мен EDC шбрыштарыны С тбесіндегі брыш екеуіне орта. Осы брышпен іргелес жатан абыраларды пропорционал болатынын длелдейік. Сонда, ЕСAСcos, DCВСcos. Яни шбрыштарды Сбрышына іргелес жатан абыралары пропор­ционал болады. Демек, eкi абырасы мен оларды арасындаы брышы бойынша ABC EDC болады.

Есеп. АВС шбрышыны АВ абырасына параллель жргізілген тзу оны АС абырасын A1 нктесінде, ал ВС абырасын В1 нктесінде иып теді. Сонда АВС А1В1С1 болатынын длелдедер.

41-сурет

Шешуi. (41-сурет). АВС жне А1В1С1 шбрыштарыныСтбесіндегі брышы орта, алСА1В1 жне CAB брыштары те, йткені оларАВменА1В1 параллель тзулерін AC тзyi иып ткенде шыатын сйкес брыштар. Олай болса, eкi брышы бойыншаАВС А1В1С1болады.

Осы брыш бру брышы деп аталады. Жазытыты бру арылы

фигураны трлендіруді де бру деп атайды.

 

 

Есеп (15). 1) O нктесінен айналдыра саат тіліні баытымен 60° брыша бранда А нктесі ауысатын А1 нктесін салыдар.

.

Сурет42 Сурет43

2) О нктесінен айналдыра саат тіліні баытымен 60° брыша бранда АВ кесіндісі ауысатын фигураны салыдар.

Шешуі. 1) ОАсулесін жргізіп, АОМ — 60° болатындай, ОМ сулесін саламыз (42, а - сурет). ОМ сулесіні бойына ОА кесіндісіне те ОА1 кесіндісін лшеп саламыз. А1 нктесі — ізделінді нкте.

2) АВ кесіндісіні штары болып табылатын А жне В нктелері осындай бру арылы ауысатын А1жне В1 нктелерін саламыз (42, б - сурет). Бру орындаланда кесінді кесіндіге ауысатын боландытан, А1В1 ізделінді кесінді болма,.

Есеп (16). Пареллель кшіргенде (1; 1) нктесі (-1; 0) нктесіне кшеді. Координаттар басы ай нктеге кшеді?

Ш е ш у і. Параллель кшіруді андайы болса да , мына формулалармен крсетіп беріледі:

х' = х + а, у'= у + b.

Ал (1;1) нктесі (-1; 0) нктесіне кшетіндіктен, -1 = 1+ а, 0 = 1 + b болады. Бдан а= - 2, b= - 1 табылады. Сонымен, (1;1) нктесін (-1; 0) нктесіне кшіретін осы алынан параллель кшіру х' = х - 2, у' = у - 1 формулаларымен крсетіп беріледі. Осы формулалара бас нктені (х = 0, у = 0) координаттарын ойса, мынау шыады: х' = - 2, у'=-1. Сонымен, координаттар басы (-2; -1) нктесіне кшеді.

Есеп (17). АВ мен CD — параллель тзулер. А мен D нктелері ВС июшысыны бір жаында жатыр. Сонда ВА мен CD сулелеріні бірдей баытталатынын длелдедер.

Шешуі. CD сулесін параллель кшіре отырып, С нктесін В нктесіне кшіреміз (21-сурет). Сонда CD тзуі ВА тзуіне йлесе тседі. D нктесі СВ тзуіне параллель тзу бойымен жылжи отырып, ВС тзуіне араанда сол жарты жазытыта ала береді. Сондытан CD сулесі ВА сулесімен йлесе тседі, олай болса, бл сулелер бірдей баытталан боланы.

Планиметрия курсында геометриялы есепті шешуді жалпы діс - тсілдері жне есептерді шешуге мысалдар

Геометрияны оытуда есептерді шеше білу дадысын алыптастыру жне оны жалпы трде дамыту аса маызды мселелерді бірі болып табылады. Геометриялы есептерді шешу туралы жалпы білік - дадылар детте кптеген есептерді шешу арылы алыптасады. Олай болса, малім мен оушыны жйелі трде за уаыт ебектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймлім, р трлі теориялы фактілерді байланыстыруды ажет ететін, оушылар шыара алмайтын жаа есептер де жиі кездеседі. Сондытан оушыларды кез келген геометриялы есепті шешуді жалпы тсілдерімен аруландыру керек. Бл талап математикалы есептерді шешу бадарламасында да айтылан. Бадарлама белгілі бір есептерді трлерін жне оларды шешуді тсілдерін таныстыруа баытталып ана оймай, айта длелдеуді барынша жалпы дістерін ойлауды мегерту болып табылады. Оытушы оушылара рбір есепті шыартанда, оны шешімін дістемелік талаптара сай іздеуге, соында масата сай дрыс шешімді табуа жрдемдесетіндей талдау тсілдері мен ажетті білім-білік дадыларын алыптастыруа мтылады. Теориялы жне дістемелік білім мен діс - тсілсіз кез-келген дістемелік есепті шешуге бола бермейді. Практикадан байалатындай, кбінесе геометрия есептері р трлі тсілдермен логикалы трыда кбірек ойлануды ажетсінеді. Геометрия есептерін шешуді кезедерін білу оушыларда алыптастырылуа тиісті аса маызды дадыларды бірі.

Есептерді шешу процесі келесі кезедерден трады.

1) Есепті шартын тсіну:

а) есепті талдау;

б) есеп шартын схема трінде жазу.

Есепті талдаанда оны шарты андай, онда андай талап ойылан (не берілген, не белгілі, есеп шарты неден трады?) екені аныталады. Есеп шартын схема трінде жазанда оны сызбасы оса арастырылады, осы талдауды нтижесінде есеп шартындаы е керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар ысаша жазылады. Есепті талдау мен оны сызбасын жне шартын схема трінде ысаша жазу — есепті шешу шін жоспар іздеуді негізгі ралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке андай млшерде теориялы білімні ажет болатындыы аныталады.

2) Есеп шешімін іздеу — есепті шешуді тсілін іздеу, бл бкіл процесті негізгі блігі болып табылады. Бл кезеде е алдымен берілген есепті трі (типі), яни оны длелдеуге, есептеуге не геометриялы трлендіруге берілгені аныталады, осыан орай есепті шешу тсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, аныталуа тиісті белгісіздер арасындаы байланыс ізделеді.

3) есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тыыз байланысты мынадай екі жаты мселені анытайды:

а) белгілі теориялы білімді шешілуге тиісті есеп шартына сай трлендіру;

б) есеп шартын белгілі теориялы фактілерге сйкес жне олара байланысты трлендіру.

Бл арада теориялы білім деп отыранымыз математикалы ымдар мен оларды анытамалары, теоремалар жне математикадаы негізгі дістер (координаттар дісі, векторлы діс, геометриялы трлендірулер мен тедеулер ру дісі жне т.б.). Есептерді трі мен рылысына арай оларды кластара жіктеп талдаумен шешу дістерін тадап алады. сіресе, бірнеше теориялы материалдарды біріктіретін, рі крделі, рі кптеген есептерді шешуге теориялы дістемелік негіз болатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза сынылады жне оны іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу шін гипотеза сына отырып, осы есепке натылы андай теориялы материал керек болатынын анытаймыз. Теориялы білімді негіздеуші дісті тадап, гипотезаны тексереміз. Егер есепті талдаанда брыннан таныс элементті байаса, не ол шешілуі таныс есепке сас болса, онда есепті шешу шін белгілі дісті олдану ммкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есепті таныс емес трін шыаруа тура келсе, онда одан брыннан таныс есептерді кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын брын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз.

4) Жоспарды іске асыру. Бл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.

5) Шешілген есепті талылау:

а) есеп шешімін тексеру;

б) есепті зерттеу;

в) есеп шешімін р трлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.

Есепті шешілуіні жне оан олданылан дістер мен теориялы негіздеулерді дрыс екенін, ол шешім есеп шартыны барлы талаптарын анааттандыратынын білу шін оны тексеру керек. Есепті зерттеу келесі мселелерді анытауы керек: андай шарт орындаланда есепті шешімі бар; андай шарт орындаланда есепті жалпы шешімі жо болады?

Есепті шешімін талдау мынадай мселелерге жауап береді.

· Есепті шешуді бдан баса е тиімді жолы жо па?

· Есепті жалпылауа бола ма?

· Осы есептен андай орытындылар жасауа болады?

Есепті шешу процесіні рылымы е алдымен есепті сипатына, есеп шыарушыны андай біліммен, білікпен, дадымен арулананына тікелей байланысты.

Салу есебін шешу талдау, салу, длелдеу, зерттеу кезедерінен трады. Салу есебін шешуде бл схеманы барлы есепті де шыару шін ата олдану міндетті емес. Бл схеманы мні тмендегідей:

1. Талдау кезеі. Бл кезеде есеп шартында берілген фигуралар мен салынатын фигура арасындаы атыстарды анытайды. Ол шін есеп шешілген деп йарып, салынан фигураны жоба суреті салынады. Осы жоба суретте берілген фигуралар мен салынан фигуралар арасындаы атыстарды талдай отырып, ізделінді фигураны салу адамдарын белгілейді. Сйтіп, талдау кезеі есепті шешу, фигураны салу жолдарын іздестіру нтижесінде ізделінді фигураны салу адамдарын тізбектей белгілеумен аяталады.

2. Салу кезеі. Бл кезеде талдау арылы аныталан салу адамдарын циркуль жне сызыш жрдемімен бірінен со бірі тізбектей орындалады. Сонда талдау кезеінде салынан жоба сурет іздеген фигураны наыз суретіне айналады.

3. Длелдеу кезеі. Бл кезеде салынан фигураны есепті барлы шарттарын анааттандыратынын длелдейді. Сйтіп салынан фигураны шынында да іздеп отыран фигура екеніне кз жеткізіледі.

4. Зерттеу кезеі. Бл кезеде мына сратара жауап беріледі:

а) Тадап алан діспен есепті шешу р уаытта ммкін бе, яни циркуль жне сызыш жрдемімен оны салуа болады ма?

б) Есепті андай жадайда шешімі бар жне анша, андай жадайда шешімі болмайды?

Міне осы сратара жауап іздеу зерттеу кезеіні міндеті болып табылады. Яни, зерттеу бліміні міндеті есепті шешілу шарттарын жне шешім санын анытау. Бл кезеде есептегі барлы ммкін жадайларын арастыру шін рбір салу адамдарын зерттеген жн [30].

18-есеп. Бір абырасы жне баса екі абыраларына жргізілген медианалары бойынша шбрыш салу.

Шешуі. Есеп шарты бойынша салынатын шбрыша тиісті ш кесінді берілген: бір абырасы а, медианалары m1, m2.

Талдау. Есеп шешілген, яни бір абырасы АС-а, медианалары АА1=m1 СС1=m2 болатын АВС салынан дейік (45, а-сурет). АА1 СС1=0 дейік. Онда медиана асиеті бойынша С0=2ОС1; АО=2ОА1, болуы керек. Демек СО=2/3m2; АО=2/3 m1; Ал, О С1=1/3 m2, ОА1=1/3 m1;

 

Сурет-45

шбрыш зіні ш тбесімен толы аныталады. Табаны АС=а салса A жне С тбелер аныталады да, В тбесін салу ана алады. Ал, В=АС1СА1 боландытан, В нктесін салу шін С1 мен А1 нктелерін салу керек. С1 нкте СО, А1 нкте АО сулелерінде жатандытан А1 мен С1 ді салу шін О нктені салу керек.

Еrep О нкте caлынса AO-a АА1 = m1, CO а СС1= m2 лшеп салса, B нктесі табылады. Сонымен салу есебіні шешімі О нктені табуа тірелді. АОС- ны салса О нкте салынады.

Салу. Талдауда аныталан салу адамдарын еске ала отырып циркуль жне сызыш жрдемімен мыналарды тізбектей саламыз:

1. Кез келген l тзуі бойына АС=а кесіндіні лшеп саламыз.

2. ш абырасы AC=а, АО=2/З m1, СО=2/З m2 бойынша АОС -ны саламыз.

3. AO, СО сулелеріне АА1 = m1, СС1= m2 кесінділерді лшеп саламыз.

4. АС1, СА1 тзулеріні иылысу нктесі В - ны табамыз. Сонда шыан ABC ізделінді шбрыш болады.

Длелдеу. Салу бойынша AC=a, АА1=АО + ОА1 = 2/З m1 + 1/З m1 = = m1,

СС1 = 2/3 m2 + 1/3 m2 = m2. Енді АА1 жне СС1 кесінділері салынан ABC шбрышыны медианасы екенін, яни АА1= АВжне СС1= С1В болатындыын крсетуіміз керек. Ол шін А1С1 кесіндісіні ABC шбрышыны орта сызыы екенін длелдеу жеткілікті. Егер D1 нкте AO, E1 нкте СО кесінділеріні ортасы болса, D1E1A1C1 тртбрыш параллелограм болады (45,б-сурет). Себебі

ОD1=ОА1, ОЕ1=ОС1. Сондытан А1С1= D1Е1, A1C1 || D1E1 болады. D1E1 кесінді АОС - ны орта сызыы боландытан D1E1||АС жне С1А1= D1E1=AC/2 болады. Демек С1А1 кесінді АВС - ны орта сызыы болады. Сондытан АА1, СС1 ол шбрышты медианалары. Демек салынан АВС есеп шартын анааттандырады, олай болса ол ізделінді шбрыш.

Зерттеу. Егер АОС салу ммкін болса, АВС салу руаытта бірмнді орындалады.

АОС салу 2/3 | m2 – m1 | < a < 2/3 | m2 + m1 | болан кезде ана ммкін.

Мндай жадайда есепті жалыз шешімі болады.

2/3 | m2 –m1| > a > 2/3 | m2 + m1 | есепті шешімі болмайды [30].