Трлендіру дісін олдану

 

Біз геометрияны теориялы сратарын арастыранымызда трлендіру дісіні кейбір олдануларын арастырды. Мысалы, озалысты фигуралар тедігін анытаанда, сас трлендіруді шбрыштар састыын оып-йренгенде.

Трлендірулер дісін трлі геометриялы есептер шыаруда олдануды арастырайы.

19-мысал. АОВ тікбрышты ішінен М нктесі алынан.

Сурет - 46

S_OA(M) = M_1, S_OB(M) = М₂

шарттарын анааттандыратындай нктелер жргізілген. М_1, О жне М₂ нктелеріні бір тзуді бойында жататынын длелдеу керек (46- сурет)

Берілгені: АОВ =90"

М € АОВ

S_OA(M) = M_1, S_OB(M) = М₂

Длелдеу керек: (М_1, О жне М₂) €L

Длелдеу. М_1, О, М₂ нктелері бір тзуді бойында жату шін

l= 5, яни олар вертикаль брыштар болуы ажет. АО ны созса,

АОВ= 90 °, онда ВОК = 90 °.

Бл арадан 5 = 90?- 4

2= 90?- 3 трінде жазуа болады. Симметриялы нктелерді асиеті бойынша

4 = 3

2 = 1

Сонымен, 5 = 90?- 4

1 = 90?- 4 яни 5 = 1 вертикаль брыштар болады.

Ендеше М_1,О, М₂ нктелері бір тзуді бойында жатады.

20-мысал. Берілгені: АВС (47-сурет)

AL - биссектриса,

КМ AL

BB₁ КМ

Длелдейтініміз: Р_ВВ1С1 > Р_АВС

Длелдеуі. ВВ₁+В₁С+ВС>АВ+АС+ВС

немесе ВВ₁+ В₁С>АС+АВ

КМ -ге араанда

нктесін табамыз. 47-сурет

Симметриялы нктелерді асиеті бойынша l= 2 (1), мндаы 2+ 3 = 4+ 5 себебі: AL KM.

Есепті шарты бойынша 2= 3, ендеше 2= 5 (2).

Жоарыдаы (1), (2) тедіктерден = 5 болады. Демек, AB -

тзу сызы. ВС₁ шбрышты екі абыраны зындытарыны осындысы шінші абырасыны зындыынан арты деген асиет бойынша С₁В₁ + В₁В> С₁А + АВ

Себебі С₁В₁ = В₁С, С₁А = АС сонымен, В₁С₁+ В₁В > AC + АВ тесіздікті екі жаына ВС-ні осса, нтижесінде В₁В + В₁С₁ + BC>AC + АВ + ВС болады.

Сурет 48

21-мысал. Тебйірлі шбрышты табанындаы кез келген бірнктеден бйір абыраларына дейінгі ара ашытытарды осындысы шбрышты бір тбесінен оан арсы жатан бйір абырасына тсірілген биіктікті зындыына те болатынын длелдеу керек.

Берілгені: АВС: АВ = ВС

М АС, АК ВС

MN ВС

РM AB

Длелдеу керек: PM + МК = АК

Длелдеу шін АС абырасына араанда АВС-а симметриялы шбрыш сызамыз, сонда АВСВ₁ ромбы шыады. Р нктесіне симметриялы Р₁= S (Р) нктені табамыз. Р мен М нктелерін осып, Р, М, Nнктелеріні бір тзу бойында жататынын длелдейміз. Егер Р₁= S_АС (Р) болса, онда Р₁М АВ₁

Сурет 49

22 - мысал.Табаныны зындыы a - а те, шбрышты бйір абыраларын О тбесінен бастап есептегенде атынасы m болатындай бліктерге блетін кесіндіні зындыын табу керек (49-сурет).

Берілгені: ОВС, ВС = а,

ОЕ : EC = OD : BD = m

Табатынымыз DE - ?

Шешуі: Н₀^к -гомотетияны арастыралы. Егер Н₀^к (О) = О, Н₀^к (D) = В, Н₀^к(Е) = С, болса,

Онда ОС = кОЕ, OB = кOD жне

ВС = к DE а = к DE —> DE=

23-мысал. Трапецияны табандарына параллель жне диагональдарыны иылысу нктесінен тетін, бйір абыраларын осатын кесіндісіні зындыын табу керек.

50-сурет

Берілгені ABCD - трапеция АВ = a, DC = b (50-сурет)

Табатынымыз: Е-?

Шешуі: Центрі О-нктесі, к - коэффициенті болатын гомотетияны арастыралы. Мндаы О— трапецияны диагоналдарыны иылысу нктесі.

Гомотетияны анытамасы бойынша

24-мысал. шбрыш абыраларыны ортасын осаннан (центрі - медианаларыны иылысу нктесі) коэффициенті к = - ? болатын, уелгі шбрыша гомотетиялы шбрыш шыатынын длелдеу керек

(51-сурет).

Берілгені: АВС

Сурет 51

А₀В₀С₀, О - медианаларды иылысу нктесі.

Длелдейтініміз: АВС жне А₀В₀С₀

гомотетиялы болатынын, яни Н (АВС)=А₀В₀С₀

Шешуі: Берілген ABC шбрышыны медианаларыны табандарын тбелеріне сйкес А₀В₀ жне С₀ деп белгілеп, оларды осса, А₀В₀С₀, шыады. О - центрлі коэффициенттері К болатын жне Н₀^к(0) = 0, Н₀^к (A) = А₀, Н₀^к (B) = В₀, Н₀^к (С) = С₀ шарттарын анааттандыратын

Сурет 52

гомотетияны арастырайы. шбрыш медианасыны белгілі асиеті бойынша ОА₀ : ОА = ОВ₀ : ОВ = ОС₀ : ОС =

- . Сонымен, к = - бола отырып, АВС мен А₀В₀С₀ гомотетиялы болады.

25-мысал. ABCD - параллелограмыны А тбесінен BD диагоналын жне CD абырасын сйкесінше P, Q нктелерінде иып тетін тзу жргізілген.

Егер = болса, онда = +1

тедігі орындалатынын крсету керек.

Шешуі. Берілгендері бойынша H^к_р(Р) = Р,H^к_р(A) = Q, H^k_P(B) = D

HRp (B) = D шарттарын анааттандыратындай трлендірулер жргіземіз. Сонда

гомотетия коэффициенті.

AB:DC = немесе =