Салуа берілген есептерді сас трлендіру (гомотетия) дісімен шыару мысалдары

 

Есеп шыаранда гомотетия дісін пайдалануды мынадай ретпен жргізген тиімді болады.

Есепке анализ жасап, іздеп отыран фигурамызды лшемдерін сипаттайтын шарттарды бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отыран шбрыштарымызды абырасы жазытыты белгілі бір нктесі арылы ту керек деген немесе оны кез-келген бір тбесі берілген шеберді бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отыран Ф фигурасын емес, оан гомотетиялы Ф' фигурасын салу ммкіндігін анытайды. Сонан со Ф' фигурасын салып, оны - трлендіріп болан со, брын тастаан шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы трлендірулер жасайды, сонда іздеп отыран Ф фигура шыады.

Жоарыда айтыландардан, гомотетия методымен шыарылатын есептер атарына е алдымен берілгендеріні ішінде тек біреуі ана кесіндімен бейнеленіп, ал аландарыны не брі брыштар, не брыштарды не кесінділерді атынастары болып келген есептер жататындыы шыады.

Бл типтес есептерді шешкенде мыналарды еске алу ажет.

1) Гомотетия центрі ретінде жазытыты кез-келген нктесін алуа болады, ал іс жзінде гомотетия центрін дрыс тадап алу салуды оайлата тседі. Есепті оай жне тез шешуге келтіретін алдын ала тадап алу есепті шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде кбінесе берілген фигураа кмекші фигураны бір тбесін немесе сызыты элементіні бір шын алатындыын байауа болады. Мысалы, А тбесіндегі брышты жне сырттай сызылан шеберді R радиусы бойынша те бйірлі ВАС шбрышын салу шін сас А тбесіндегі брышы мен те бйірлі В 'А' С' шбрышын салып, сонан со осы шбрышты сырттай сызылан шеберді центрін гомотетия ретінде алып жне k = R деп жоримыз да В 'А' С' шбрышын іздеп отыран шбрыша трлендіреміз.

2) сас екі фигураны сйкес сызыты элементтеріні осындысыны (айырмасыны) атынасы. Оларды сас (сйкес) сызыты элементтеріні атынасына жне гомотетияны k коэффициентіне те, мысалы, сас шбрыштарды периметрлері оларды сйкес абыраларыны гомотетия коэффициенті ретінде алынады. сас екі фигураны аудандары оларды сйкес элементтеріні квадраттарыны атынасындай болады [30].

ртрлі коэффициентті гомотетияа мысалдар арастырайы.

53 - суретте центрі М₀ нктеде жне коэффициенті k=2 болан гомотетиядаы АВС шбрышыны бейнесі рылан, ал екіншіде центрі М₀ нктеде жне коэффициенті k= - 2 болан гомотетия мысалы крсетілген.

Бл сызбалардан байайтынымыз суреттерде жп сас шбрыштар бейнеленген. Екі жадайда да састы коэффициенті 2 жне де АВС жне

А¹В¹С¹шбрыштарыны сйкес абыралары зарапараллель.

Сурет - 53.Центрі М₀ нктеде жне Сурет - 54. Центрі М₀ нктеде жне

коэффициенті k=2 болан гомотетия коэффициенті k=-2 болан гомотетия.

Мысал 27. Центрі шбрыш медианаларыны иылысу нктесіндежне

коэффициенті гомотетиядаы осы шбрышты тбелері арсы жатан абыраларыны ортасына теді.

Длелдеу.55-суреттегі сызбаны арастырайы.шбрыш медианасыны белгілі асиеті бойынша, медианалар иылысу нктесі оларды тбеден бастаанда 2:1 атынасында бледі.

Сонымен, центрі М нктеде жне коэффициенті болатынгомотетияда, А тбесі А₁ тбесіне, Втбесі В₁ тбесіне, ал С тбесі С₁ тбесіне кшеді. Осыны длелдеу керек еді.

Сурет 56.28 мысала.

Сурет -55. 27 мысала.

Ескерту. АВС жне А₁В₁С₁шбрыштар гомотетиялы.

Мысал 28. шбрышты биіктіктері бір нктеде иылысады.

Длелдеу.А₁В₁С₁шбрышын арастырайы.Оны тбелері арылы арама-арсы абыраларынапараллель тзулер жргізейік. Берілген шбрыша гомотетиялы АВС шбрышын аламыз. Бірінші шбрышты тбелері екінші шбрышты абыраларыны орталары болатынын длелдеуді оай крсетуге болады (здері крсетідер). Берілген шбрышты А₁Н₁, В₁Н₂ и С₁Н₃ тбелеріАВСшбрыш абыраларыны орталарынан теді.

арастырылып жатан шбрыштарды сйкес абыраларыны параллельдігінен, А₁Н₁, В₁Н₂ жне С₁Н₃ тзулері АВСшбрышты сйкес абыраларына перпендикуляр болады. Басаша айтанда бл тзулер АВС шбрыш абыраларыны ортасына жргізілген перпендикулярлар болады. Орталы перпендикулярлар бір нктеде иылысатындыы белгілі жне оны длелдеу иын емес. А₁Н₁, В₁Н₂ жне С₁Н₃ арастырылып жатан тзулерді бір нктеде орталы перпендикулярлар ретінде иылысатындыынан А₁В₁С₁ шбрышты биіктіктері ретінде де иылысатындыы келіп шыады. Осыны длелдеу керек еді.

Практикада екі гомотетиялы фигураны гомотетия центрін табу білігі лкен маыза ие ( мысалы олар екі параллель кесінді, сйкес абыралары параллель екі шбрыш, екі шебер жне т.б. болуы ммкін). Бндай салуды орындау оай: сйкес екі нуктеден тзулер жргізу керек, осы тзулерді иылысу нктесі гомотетия центрі болады. 57-суретте АВ и А₁В₁ кесінділері шін екі гомотетия центрін салу крсетілген.

Сурет 57. Екі параллель кесінділер шін гомотетия центрін салу.

Егерсйкеснктелер ретіндеА жне В₁, В жне А₁ нктелеріналатын болса, онда О₁ центрі алынады. Егерсйкеснктелер ретіндеА жне А₁, В жне В₁ нктелеріналатын болса, онда О₂ центрі алынады. Екі ртрлі центрге ие, те емес шеберлерде екі гомотетия центрлеріне ие болатындыына оай кз жеткізуге болады. Осы центрлерді салу мысалдарын арастырайы.

Мысал 4. Екі шебер шін гомотетия центрін салу.

Салу.

1) Бірінші шебер шін кезкелген О₁А радиусін саламыз. Екінші шеберді центрі арылы О₁А кесіндісіне параллель етіп шеберді ВВ’ диаметрін жргіземіз.

2) Центрлер сызыын рамыз (О₁О₂ тзуін).

3) АВ жне О₁О₂ – ларды иылысуы О бірінші гомотетия центрін береді.

Сурет 58. Екі шебер шін гомотетия центрін салу.

Ал АВ’ жне О₁О₂ - ларды иылысуы О’ екінші гомотетия центрі болады. Екі шеберді гомотетия центрін салу – салуды крделі есептерін шешуде маызды басыш: екі шеберді орта жанамасын салуда. Бл салуды орындау шін бізге бір тжырымды длелдеуге тура келеді.

Тжырым.Гомотетияда шеберге жанама шеберге жанамаа теді, сонымен атар, егер жанама гомотетия центрінен тсе, онда ол екінші шеберге де жанама болып табылады.

Длелдеу.Айынфактілерден бастайы. Біріншіден, гомотетия шебер радиусын радиуса кшіреді. Екіншіден, гомотетияда тзулер арасындаы брыштар саталады. Сонымен, егер жанама бірінші шебер радиусына перпендикуляр болан болса, онда оны кескіні де екінші шебер радиусына перпендикуляр болады. Демек, жанама кескіні де жанама болады. Енді орта жанаманы гомотетия центрінен тетінін крсетеміз. Жалпы айтанда, бл 4 мысалдаы салудан келіп шыады, біз шін маыздысы сйкес гомотетияда радиустарды параллель болатындыы, ал орта жанамаа иылысу нктесінде жргізілген радиустарды параллельдігі айын. Екінші жаынан гомотетия центрінен тетін тзу з-зіне бейнеленеді. Сонымен гомотетия центрінен тетін бірінші шебер жанамасы екінші шебер жанамасына жне з-зіне бейнеленеді, сондытан ол орта жанама болады. Тжырым длелденді [17].

Енді екі шеберге орта жанаманы салу процесін баяндайы.

Мысал 29. Екі шеберге орта жанаманы салу.

Салу.

1басыш.Блшеберлер шін гомотетия центрін рамыз. (мысал 4-ке араыз).

Сурет 59. Орта жанаманы салу.

2басыш. рылан гомотетия центрінен шеберлерді біріне жанама жргіземіз. Ол екінші шеберге де жанама болады. Шеберге жанама салуды ескерте кетейік:

- шебер центрін жне жанама тетін нктені осатын кесінді ортасын рамыз (бізді жадайымызда бл О’О₂ кесіндісіндегі S нктесі).

- центрі S нктесінде, O’нктеден тетіншебер саламыз.

- Берілген жне салынан шеберлерді иылысу нктесін табамыз. (бл Т и L нктелер).

- О’Т жне О’L тзулерін саламыз– блар ізделінді жанамалар болады.

Сурет 60. мысал 30 - а сызба.

Мысал 30. Шебер сегментіне екі шебер іштей сызылан (суретке араыз). Осы шеберлерді сегмент доасымен жанасу нктесі жне шеберлерді сегмент табанымен жанасу нктесі арылы тетін (АЕ и BF тзулері) тзулер лкен шеберде иылысады. Осы сегментке іштей сызылан кезкелген екі шебер шін иылысу нктесі сйкес келеді.

Шешуі.

Екі гомотетияны арастырамыз. Центрі А-да болан оларды бірі, центрі О₁ болан шеберді центрі О- болатын шеберге бейнелейді. Мнда MN хорда лкен шеберді С нктесінен тетін жанамаа бейнеленеді. иылысу нктесі иылысу нктесіне кшетіндіктен, Е нктесі С нктесіне бейнеленеді. Демек, А, Е жне С нктелері бір тзуде жатады. Центрі В нктесінде болатын сас гомотетия центрі О₁ нктеде болан шеберді лкен шеберге бейнелейді. Мнда MN хорда лкен шеберді С нктесінен тетін жанамаа бейнеленеді. Бірінші гомотетиядаыдай, В, F жне C нктелері бір тзуде жатады.

Сонымен тзулер лкен шеберді С нктесінде иылысады [4].

31- мысал. Екі брышы мен периметрі бойынша шбрыш салу керек.

Талдау. Есепте екі брыш: ,, жне бір кесінді Р берілген. егер шбрыш периметрі Р - а те болсын деген талапты ескермесек, онда екі брышыны бірі ,, екіншісі болатын шексіз кп шбрыштар салуа болады.

Іздеген АВС салынан дейік. Мндаы BAС =, ACB =, жне АВ+ВС+АС=Р болсын (61-сурет).

АС-дан С₁ нкте алып СВ-а параллель C₁В₁ кесіндісін салайы. Сонда АВС~АВіСі болады. Сондытан егер АС₁+C₁В₁+В₁А=Р₁ десек, онда

болады.

Сурет-61

AC тзуіні бойына AD=P кесіндісін лшеп салып В₁С₁//ВС жргізсек ABD~АВ₁D₁ болады да (**) болады. (*) мен (**) ден AD₁=P₁ болады.

Салу. а) Бір брышы B₁AC₁ екінші брышы АB₁C₁= болатын кез-келген АB₁C₁ саламыз.

б) А нктеден AC₁ сулеге АC₁+С₁В₁+В₁А=Р₁ болатын кесінді саламыз. Ол AD₁ болсын.

в) АC₁ сулеге А нктеден Р кесіндіні лшеп саламыз. Ол AD болсын.

г) D₁ В₁ -гe D-дан DB параллель тзуін жргізіп В нктесін саламыз.

д) В - дан В₁C₁//ВС жргізіп С - ны табамыз. ABC іздеген шбрыш болады.

Длелдеу. BAC = салу бойынша. Салу бойынша АB₁C₁ = жне В₁C₁//ВС. Сондытан ACB=.

АВС-ны периметрін Р₀ десек, онда АB₁C₁~ АВС-дан (*_**), АD₁В₁~АDВ-дан = (*_** *) Сонда (*_**) мен (*_** *)- ден

болсын Р₀=Р шыады.

Сонымен АВС-ны периметрі есеп шартында айтылан Р кесіндіге те екен. Сондытан ол іздеген шбрыш болады.

Зерттеу. АB₁C₁ салыну шін +<180 болуы керек. Крсетілген салулар бірмнді орындалатындытан есепті бір шешімі болады, ал a + 180 боланда есепті шешімі болмайды.

32-мысал. Шыдарындаы брыштары жне негіз бен биіктікті осындысында теабыралы шбрыш салу керек.

Талдама. Ізделініп жатан шбрыш ш шарта сай келу керек:

1) ол теабыралы болу керек;

2) шыны брышы берілген брышына те болу керек;

3) негізді жне сай келетін биіктікті осындысы 1 кесіндісіне те болу керек.

Байауа болады, алашы екі шарта сай келетін шбрыш салу оай. Бндай шбрыштар шексіз кп кездеседі.Біз соларды бірін салып крелік – шбрыш В´А´С(62-сурет) , бл кезде В´А´С= .

Ізделінуші шбрыш, шарта сай болып келеді 1)-3), оны шбрыштар арасынан іздейміз, В´А´С шбрышына гомотетиялы, бір састы центріне атысты, мысалы А нктесіне атысты. Мейлі ВАС ізделінуші болсын. Тсінікті, егер ВС||В´С (немесе ВС В´С). Мейлі АР´ – В´А´С шбрышыны биіктігі, Р – иысу нктесі ВС жне АР´. Тсінікті, мнда АР – ВАС шбрышыны биіктігі.

Егер бір гомотетияда В´ нктесіне В нктесі сай келсе, онда С´ жне Р´ нктелеріне С жне Р нктелері сай келеді. В´А´С шбрышын ВАС шбрышына айналдыратын гомотетияны коофециентін табамыз.шарт бойынша 1 кесінді берілген, ол ВС+АР= l. Сонымен атар, В´А´С шбрышына ие боланнан со, біз l´кесіндіні сала аламыз, нтижесінде В´С´+АР´.

Мндай іделінуші гомотетия коэфициенті те болады: , т.е. .

Сонымен, шбрыш ВАС В´А´С шбрышына гомотетиялы А састы центріне атысты, састы коэфициенті те: .

Берілген бойынша ізделінуші ВАС шбрышын руа болады.

 

62-сурет

 

ру.

1) Кез-келген В´А´С шбрышын саламыз(62-сурет), шарттара жауап береді 1) жне 2) (сонда В´А=С´А жне В´А´С= ).

2) Осы шбрышты биіктігін саламыз АР´ жне АР´ кесіндісіні бойына P´F´=B´C´ кесіндісін оямыз, болады AF´=AP´+B´C´. Бл сумманы l´арылы белгілейміз.

3) AP´сулесіне F нктесін рамыз, AF= l сияты..

4) ВАС рамыз В´АС´ сай келеді Г{A, }гомотетиясында. Бл шін ретімен рамыз FB||F´B´, BC||B´C´. ВАС ізделінуші.

Длел. Мейлі Р´ B´C´ АР. йткені ВАС жне В´АС´састар,сонда

 

.

 

Сондытан , біра АР´+В´С´=l´ рылуы бойынша. Демек, АР+ВС= l.

Сонда ВАС 3)шартты анааттандырады. Демек, 1) жне 2) шарттара да сай келеді деген сз.

Зерттеу. рылан рылыны барлыадамдары орындауа боларлытай. Сондытан бл діс бойынша бір ана шешім болады. Кез-келген А₁В₁С₁ шбрышы, есеп шартына орай, салынан АВС шбрышына сас болып келеді. Сондытан, А₁В₁С₁, баса жолмен алынса мына атынастар орындалады:

.

йткені АР´+В´С´=АР+ВС, то и В₁С₁=ВС, бдан тсінікті А₁В₁С₁= АВС. Сондытан кез –келген ру амалы осындай бір мнді шешімге келіп соады.

33-есеп. шбрышты тбесіндегі брышы жне табанымен сол табана жргізілген биіктігіні осындысы берілген.

Сол шартты анааттандыратын те бйірлі шбрышты салу керек.

Талдау. Есепте ш шарт берілген: 1 - тбедегі брышы болсын, 2- бйір абыралары те болу керек. 3 - табаны мен биіктігіні осындысы m - кесіндіге те болуы керек.

Алашы екі шартты анааттандыратын шексіз кп шбрыш болады. Соны бірі А₁В₁С₁ болсын дейік, (63-а сурет) онда А₁В₁С₁ = жне А₁В=С₁В.

Берілген ш шартты да анааттандыратын шбрышты центрі В нкте болатын ВА₁С₁-а гомотетиялы болатын шбрыштар ішінен іздейміз.

ВАС ізделінетін шбрыш болсын. Онда АС||А₁С_1, BD биіктік болады. Осы гомотетияда А₁ нкте А нктеге сйкестенсе, онда D₁ нкте D_1, C₁ нкте С нктеге сйкестенеді.

Осы А₁ВС₁ шбрышты АВС- шбрыша сйкестендіріп гомотетия коэфиценті к - ны табайы. Шарт бойынша BD+AC=m

А₁ВС₁ -ны зіміз саландытан BD₁+A₁C₁=m₁ таба аламыз.

Сонда коэффициент К= болады.

Осыны ескеріп A₁BC₁ арылы АВС-ны салуа болады (63-сурет).

Салу. а) Кез келген В нктеден В=а болатын брыш саламыз.

б) Оны абыраларынан BA₁=BC₁ болатын А_1,С₁ нктелерді саламыз да A₁С₁ кесіндісін саламыз.

в) А₁С₁-а етіп BD₁ сулесін жргіземіз. Оны бойына D₁E₁=A₁C₁ кесінді саламыз. Сонда BE₁=BD₁+A₁C₁=BD₁+D_lЕ₁ m болсын.

г) BE₁ сулеге ВЕ₂=m кесіндіні лшеп саламыз.

д) Е₂ -ден E₁A₁-ге параллель жргізіп, оны ВА мен иылысу нктесі А- ны табамыз.

е) А нктеден А₁С₁-ге параллель етіп АС-ны жргіземіз. Сонда ABC іздеген шбрыш болады.

Сурет-63

Длелдеу. Салу бойынша В брышы берілген а брышына те BD₁ A₁C_1, АС|| A₁C₁ - боландытан BD AC. Сондытан BD биіктік.

Ал_, АСВ~ А₁В₁С₁,боландытан

Демек BD+AС m.

Сйтіп АВС берілген ш шартты да анааттандырады. Сондытан іздеген фигура болады.

Зерттеу. Барлы салулар бірмнді орындалады. Сондытан есепті тек бір шешімі болады.

34-есеп. Табанындаы екі брышы жне Р периметрі бойынша шбрыш салу керек.

Талдау.Есеп шешілген, іздеген АВС салынан болсын (64- сурет). Онда BAC =, BCA = жне АВ+ ВС+СА=Р берілген периметр. Егер АВ-ны А нктеден, ВС-ны, В нктеден брып АС жатан тзуге кшірсек, A₁C₁ A₁A+AC+CC₁ AB +АС+ВС=Р болар еді жне АА₁В, С₁СВ шбрыштар те бйірлі боландытан AA₁B= С₁СВ= болады.

Блар ABC шбрышын салуа ммкіндік береді.

Салу. а) А_іС_і=Р кесіндіні лшеп саламыз.

б) А₁ нктеден А₁С₁ мен а брыш, С₁ нктеден f брыш жасайтын тзулер жргізіп оларды иылысу нктесі В-ны табамыз.

в) А,В-ны а ортасы А₀ мен С, В-ны а ортасы С₀-ды табамыз.

г) А_о-дан А₁В-а, С₀-дан С₁|В-а перпендикуляр жргізіп оларды АС тзумен иылысу нктелері А мен С-ны табамыз. Сонда АВС іздеген шбрыш болады.

Длелдеу. А₁В-ны а ортасынан оан А₀А перпендикуляр етіп жргізілгендіктен А₁А=АВ болады. Дл осы сияты СВ=СС₁ болады. Содытан А₁А+АС+СС₁=АВ+АС+СВ=Р болады. шбрыштысырты брышыны асиеті бойынша BCA = ВСА = + .

Демек ABC іздеген шбрыш болады.

Сурет-64 Сурет-65

Зерттеу. <180 боланда ана есепті шешуі болады жне шешім біреу-а болады. йткені б-салуда А₁В, C₁D тзулерді А₁С₁ ді екінші жаынан лшеп салуа болады. Біра нтижеде шыатын шбрыштар те болады.

35-есеп. ABC шбрыштар іштей, сйір брышы болатын екі тбесі шбрыш табаны АС-дан жататын, алан тбелері бйір абыраларда жататын ромбы салу керек (65-сурет).

Шешуі. Ромбыны екі тбесі АС- да жататындытан оны арсы абырасы АС-а параллель болады. Сондытан салуды былайша жргіземіз.

а) АВ - дан ₁ нкте алып, ол нктеден АС- а параллель тзу жне ол тзу мен брыш жасайтын ₁Е₁ тзуін жргіземіз. Параллель тзуге F₁K₁=F₁E₁ саламыз. К₁-ген F₁E₁- ге параллель жргізіп N- ді саламыз. Сонда F₁K₁F₁E₁ бір сйір брышы _а, екі тбесі АС- да жататын ромбы болады.

б) АК₁ ВС=К нктені салып, К||К₁₁ KN||K₁N₁, Е||Е₁₁ жргіземіз. Сонда К||К₁₁ KN||K₁N₁ боландытан EFKN іздеген ромбы болады.

Длелі. б К||К₁₁ KN||K₁N₁ боландытан АК~ А₁К_1, AKN, AK₁N_i.

Сондытан. Бдан E₁F₁F₁K₁K₁N₁,

боландытан EF=FK=KN=EN жне сйкес абыралары параллель боландытан EFK= E₁F₁K₁= . Сондытан EFKN іздеген ромбы болады. Есепті руаытта шешуі болады жне ол жалыз-а болады. йткені салулар бірмнді аныталады.

Кріп отыранымыздай, сас трлендіру дісімен жмыс істегенде гомотетияны негізгі асиеттерін оып йренуге жне салу есептерін шыаранда гомотетияны олдануа ерекше назар аударуды сынамыз. Конструктивті есептерді сас трлендіру (гомотетия) дісімен шыаруа кіріспей трып, гомотетиялы фигураларды салуды йрену керек [30].

Гомотетиялы фигураларды салуа мысал

1. Гомотетия S центрі жне сйкес А мен А' ос нктемен берілген

(66-сурет). Берілген М нктесіне гомотетиялы нкте салу керек.

Шешуі. Мына салуларды ретпен орындайы:

1) МА тзуін,

2) SM тзуін,

3) 1||MA, A'Сl;

4) I мен SМ тзулеріні иылысу М' нктесін белгілейміз, яни М' = lSM. М'— іздеп отыран нктеміз.

Сурет-66

36-есеп. Диагональдарыны m:n атынасымен биіктігі бойынша ромбы салыдар.

Шешуі: Анализ ABCD ромбысы салынады делік. AC : BD = m : n жне EF =. Ромбыны асиеті бойынша 1) AO : OD = m : n 2) <AOD =90° жне OF = — екендігін байаймыз. 1) жне 2) шарттар бойынша AOD шбрышына гомотетиялы A'O'D' шбрышын саламыз. О нктесін гомотетия центрі, ал (:') атынасын гомотетия коэффициенті етіп алып, AOD шбрышын,содан со іздер ромбымызды саламыз.

Салу. Алдыы екі шарт бойынша іздеп отыран шбрышымыза сас А'О'D' шбрышын жне іздеп отыран AOD шбрышымызды биіктігіне сйкес келетін оны О’F’= биіктігін саламыз. О тбесін гомотетия центрі етіп алып, коэффициент k = = :’ деп алайы.

Белгіленген гомотетияда А'О'D' шбрышын іздеп отыран AOD шбрышына трлендірейік. Ол шін О'' сулесіні бойына О'' кесіндісін салып, нктесі арылы A'D'- а параллель тзу жргізсек, AOD шбрышы шыады, AOD шбрышын ромбыа дейін толытырып саламыз, ол шін ОС=ОА, ОВ=ОD саламыз да, А мен В-ні, В мен С-ні жне С мен D -ні тзу кесінділерімен осамыз. ABCD- іздеп отыран ромбымыз.

Зерттеу: есепті шартын анааттандыратын кез-келген баса бір А₁В₁С₁D₁ ромбысын салынан ромбыа сас жне атысы орындалуы тиіс боландытан, есепті бір ана шешімі болады. Алайда h₁ =, A₁D₁ = AD болады, олай болса, А₁ В₁ C₁D₁ ромбысы ABCD ромбысына те. Демек есеп бір мнді шешіледі.

сурет-67

37-есеп. А мен В брыштары жне шінші тбесі арылы тетін биіктігі мен осы шбрышты іштей сызылан шеберді радиусыны 1 - осындысы бойынша шбрыш салу керек.

Шешуі: Анализ. Егер есепті шінші шартын ескермесек. Онда А мен В екі брышы бойынша іздеп отыран шбрышымыза сас шексіз кп шбрыш салуа болады. Оларды бірі А'В'С' шбрышы болсын. Олай болса, іздеп отыран ABC шбрышымызды гомотетия коэффициенті k = болатын S центіріне атысты A'B'С' шбрышына гомотетиялы шбрыштар арасынан іздеу керек. (Мндаы 1’ дегеніміз ’с' биіктігін мен А'В'С' шбрышына іштей сызылан шеберді r' радиусыны осындысы).

Салу: Берілген А мен В брыштары бойынша кмекші А'В'С' шбрышын саламыз. С'Е' = ’с' биіктігін созындысына Е'К' =r' , 1’= СЕ' +Е'К' кесінділерін салайы, С' тбесін гомотетия центрі ретінде алайы жне гомотетия коэффициенті k = 1/1 болсын.

Берілген гомотетияда А'В'С' шбрышын іздеп отыран шбрыша трлендірелік, ол шін С'К' сулесіні бойына С'К 1 болатындай етіп, К нктесін салайы. К нктесі арылы А' К' || АК тзуін, ал А нктесі арылы А'В||АВ тзуін

сурет- 68 жргіземіз. AВС - іздеп отыран шбрышымыз.

Длелдеу: Е= АВСЕ' болсын АО D A¹О¹ D¹ боландытан,

Сондытан

Біра салу бойынша С'E'+ОF' = 1 . Олай болса C'Е+OF =1 жне

C'Е+OF =1. ABC шбрышы есепті барлы шартын анааттандырады.

Зерттеу: Егер А+В<180⁰ болса, онда барлы салулар бір мнді орындалады. Есепті шартын анааттандыратын кез-келген A₁B₁C₁ шбрышы салынан шбрыша сас болуы керек, олай болса атысы орындалуы тиіс. Алайда C'Е+O F = CЕ+OF =1 боландытан, болады. Сондытан А'В'С'=ABC. Сонымен, салуды кезкелген баса тсілмен орындаанда да осы шешім шыады. Есепті шешуі бірмнді орындалады.

38-есеп. А жне В тбелері сегментті табанында, ал D жне С тбелері оны доасында жататын етіп, берілген дгелек сегментке ABCD квадратын салу керек.

Шешуі: Анализ. ABCD іздеп отыран квадрат делік. Сегментті табанына араанда онымен бір жата жне тбелері сегмент табаныны бойында жатып, F ортасына араанда симметриялы болатын кмекші A'B'C'D' квадратын алайы. Сонда центрі F жне коэффициенті k= A'B'C'D' квадратын іздеп отыран ABCD квадратына трлендіреді.

Салу. Сегментті табаныны ортасы –F нктесін, сонан со FA' = В'

Сурет-69

кесінділерін салайы. Сегментті табанына араанда онымен бір жата жататын жне абыралары А'В' - а те квадрат саламыз. Центрі F нктесінде коэффициенті к гомотетияны кмегімен салынан A 'B'C'D' квадраты шыады.

Длелдеу: Гомотетия асиеті бойынша ABCD - іздеп отыран квадрат. Есеп шартын толы анааттандырады.

Зерттеу: Егер сегментті доасы шеберді блігінен лкен болмаса, онда есепті бір ана шешімі болады, ал егер де лкен болса, онда есепті шешімі болмайды [32].

39-Есеп. Берілген дес ABCD тртбрышына іштей, абыралары сол тртбрышты диагоналдарына параллель болатын етіп, ромбы салу керек.

Шешуі: Анализ PQMN іздеп отыран ромбымыз делік. A нктесін гомотетия центрі етіп алып жне кез-келген наты к 0 салып (мысалы, 0<к<1) гомотетия коэффиценті ретінде алайы. Белгіленген гомотетияда MQPN ромбысы, P'Q'M'N' ромбысына ауысады, ал бл ромбыны абыралары да берілген тртбрышты диагоналдарына параллель, Р' пен N' тбелері бл тртбрышты абыраларында жатпайды, яни есепті шарттарыны екеуі де орындалмайды. Сонымен есеп гомотетияда (центрі А нктесінде жне коэффициенті к 1 : к = AN :AN') іздеп отыран ромбымыза ауысатын P'Q'M'N' ромбысын салуа келіп тіреледі.

Салу : 1) Q' — АВ - ны бойындаы кез-келген нкте.

2) Q М' // BD ;

3) M'N' // АС. М' N М' Q', P'Q'M'N' ромбысын саламыз.

4) AN , N=AN DC

5) MN // N’M' ,M Q // М’Q', QР //АС, РN //QM. PQMN ромбысы-іздеп отыранымыз.

Длелдеу: Р тбесі ВС-ні бойында жатпайды делік. Сонда ромбы болмайтын MQP₁N трт брышын арастырамыз, мндаы Р₁= ВС QР жне Р мен Р₁ беттеспейді.

Блай болмайтындыын длелдейік. Q Р₁ //АС, QМ // BD, M'N' //AC жне

Q'M'// BD боландытан,

Бдан P₁Q' = MN жне / / MN, яни P₁QMN - параллелограмм. Ал MNQ жне M'N'Q' сыны сызытары гомотетиялы, олай болса, MN=MQ.

Сонымен P₁QMN - ромбы олай болса, Р₁=Р жне PQMN - іздеп отыран ромбымыз.

Зерттеу: Есепті рашан да бір ана шешімі болады. Шындыында, егер трт брышты іштей абыралары баса. Екінші бір ромбы сызылан деп жорыса, онда PQ лкейеді (кішірейеді) ал онда QM кішірейеді (лкейеді), олай болса PQ мен QM те болмайды, ал ромбыда блай болуы ммкін емес [32].

Сурет-70

40-есеп. Берілген < А брышы жне _а биіктігі d : с атысы бойынша шбрыш салу керек.

Шешуі: Анализ. d : с атысыны зындыын белгілі кесінді атысына те, яни m : п деп алайы. Ізделінді шбрыша сас шбрыш саламыз.

Ол шін А брышыны абыраларына сйкес АС' жне АВ' кесінділерін саламыз.

Салу: Е алдымен ABC шбрышына сас АВ'С шбрышын саламыз. А тбесін гомотетия центрі ретінде арастырайы. АВ'=п , С т брыш абыраларына салып, A'B'C шбрышын шыарып аламыз. A'B'C' шбрышын трлендіріп ABC шбрышын шыарып аламыз.

Длелдеме: АВ'САВС сас болады.

A — гомотетия центрі. ВС'| |ВС. АD'- шбрыш биіктігі, AD = _а шбрыш биіктігі. АО = _а АС:АВ=АС:АВ m:n яни ABC шбрышы есеп

шартын толы анааттандырады

 

Сурет-71

41-мысал. Тікбрышты шбрышты катеттеріне жргізілген медианалары см жне см. Оны гипотенузасын табу керек (72-сурет).

72-сурет

Шешуі. ВС мен AC катеттерін сйкес х пен у арылы белгілейік. ВСЕ, ACF — тікбрышты шбрыштар боландытан, ВС² = BE² - EC² жне

CF² = AF² - AC², яни жне . Бл тедеулер жйесін

шешіп, х пен у-ті табамыз:

73 - 0,25y² = 4 • 52 - 4y², y² = 36;
y = 6см, х = 8см; .

42-мысал. ABC шбрышында АВ=26см, ВС=30см, АС=28см. В тбесінен ВН биіктігі мен BD биссектрисасы жргізілген. BHD шбрышыны ауданын табу керек.

Шешуі. ABC шбрышыны ауданын екі діспен рнектейік: S^,_c = 0,5АС ВН = 0,5 • 28 • = 14; екінші жаынан .

Демек, 14h = 336, h = 24 см. Енді CD = x деп алып, ABC шбрышыны ішкі брышы биссектрисасыны асиетін пайдаланайы: BC:AB=CD:DA,

30:26=x:(28-x), x=CD=15cm; AD=28-15=13cm. АВСН: СН² = ВС² -ВН² = 324, CH=18 см, DH=CH-CD=18-15=3cm, S=0,5 DH* ВН = 36см².

43-мысал. Медианалары болатын шбрышты ауданын есептеу керек (73-сурет).

Шешуі. AABC : m_b = BE = 9см, m_a = AD = 12см . m_c = CF = 15см. Берілген

элементтер мен іздеген элементті арасындаы байланысты анытайы.

(О — медианаларды иылысу нктесі).

73- сурет

ОЕ медианасын екі еселеп, АОС шбрышын AOCB параллелограмына дейін толытырайы. Сонда AC² + OB² = 2(AO² + OC²);

. Осы сияты OD медиананы екі еселеп, ВОС шбрышын параллелограма толытырса:

Осылай арастырып, АВ=10см екенін аламыз. Енді Герон формуласымен ауданды есептесек, .

Осы есепті баса діспен шешейік. AOC мен ABC - ны табандары те

боландытан, Шынында да, боландытан, . Сондытан

Енді AOCB параллелограмынан:

44- мысал. Те бйірлі ABC шбрышыны табаны AC, тбесіндегі В брышы сйір, С брышыны биссектрисасы CD кесіндісі болсын. D нктесі арылы CD биссектрисасына перпендикуляр тзу жргізілген. Бл тзу шбрышты AC табанымен немесе оны созындысымен Е нктесінде иылысады. AD =0,5ЕС болатынын длелдеу керек (74-сурет).

Есеп геометриялы діспен тікелей шешіледі. CD кесіндісі — EFC шбрышыны рі биіктігі, рі биссектрисасы. D нктесін ВС абырасымен

( жне CD — С брышыны биссектрисасы) иылысанша созса, EFC те бйірлі шбрышы шыады. Есепті шарты бойынша . Ендеше ED = DF. D нктесінен ВС - а параллель тзу жргізсек, ол AC табанымен К нктесінде иылысады. Бл DK кесіндісі EDC шбрышыны медианасы бола алады. ЕК:КС = ED:DF = 1, блардан DK = 0,5ЕС, сондытан AD = DK= 0,5 EC.

74-сурет

45- мысал. Те бйірлі трапецияа іштей дгелек сызылан. Трапеция

ауданыны дгелек ауданына атынасы -ге те. Трапецияны лкен

табанындаы сйір брышын табу керек (75-сурет).

ABCD — те бйірлі трапециясы берілген, .

Бірінші тсіл. Есепті мазмнынан оны синтез дісімен немесе алгебралы діспен шешуге болатынын байаймыз. Синтез дісі бойынша берілгендерге сйеніп дгелекті радиусын табуа болады. Дгелекті радиусын г, трапецияны табан абыралары зындытарын a, b деп осымша белгісіздер ендіреміз. Есеп шарты бойынша

Екінші жаынан шеберді сырттай сызылан тртбрышты асиеті бойынша AD+BC=AB+DC тедігін жаза аламыз. Бдан 2AD=a+b,

AD=0,5(a+b). Тікбрышты AED шбрышынан ; бл

тедікке r-ді мнін ойып ышамдаса, sin A = 0,5 шыады. Сонымен,

75- сурет

Бл есепте жоарыда айтылан тірек элементін жне осымша белгісіздер енгізу, тедеу ру, осымша белгісіздерді ыыстыру процестеріні барлыы орындалады.

Екінші тсіл. 75-суреттен AD=BC тедігін ескеріп, бір нктеден шеберге жргізілген екі жанама те болатынын пайдаланса,

r-ді 1-тсілдегі мнін орнына ойса, sinA = 0,5, бдан .

Тедеулер ру арылы шешілетін есептерді арастырайы.

46-мысал. Тікбрышты шбрышты гипотенузасы с-а те, шбрышты бір сйір брышынан катеттеріні біріне зындыы m-ге те медиана жргізілген. Осы шбрыш катеттеріні зындытарын табу керек (76-сурет).

76-сурет

Есепті тедеу ру дісімен (алгебралы діспен) шешу шін АС=х, BC=y деп белгілейік. Тікбрышты шбрыштардан Пифагор теоремасы бойынша: АС² + ВС² = AB², АС² + CD² = AD² немесе х² + y² = c², х² + (0,5y)² = m².

Бл жйені шешімі .

Математикалы есептерді кбінде осымша белгісіздер енгізу дісі олданылады. Бл есептерді берілген элементтері мен ажетті теориялы материалдарды байланыстыруа септігін тигізеді. Есепті шешу барысында осы осымша белгісіздер ыысады.

47-мысал. Ромб биіктігі оны абырасын m жне n бліктерге бледі. Ромб диагоналдарыны зындытарын табу керек (77-сурет).

1- тсіл. Тедеулер руа ажетті белгісіздер енгізелік. Ол шін АС=х,

BD=y деп белгілейміз. Сонда АВ = AE + EB = m + n. Бл осымша элементті есеп шартындаы белгілі жне белгісіз шамалар арылы рнектейміз. ED = h десек, h² = y² - n² жне h² = (m + n)² -m². h²-ты мндерін теестірсек,

 

77-сурет

у² -n² = (m + n)² -m², y² = 2mn + 2n² немесе . АОВ шбрышынан х-ті табамыз:

 

 

Сонда жауабы:

2- тсіл. Аудандарды пайдалану дісі бойынша 0,5d₁d₂ шамасын осымша элементтер арылы табылатын аудана теестіреміз, яни , мндаы . АОВ шбрышынан

(0,5d)² + (0,5d₂)² = (m + n)² немесе d² + d₂ = 4(m + n)². Бірінші тедікті екі жаында 4-ке кбейтіп екінші тедікке осса, онда

Бірінші тедіктен d - ді тапса жне оны соы тедікке ойса, трлендіргеннен кейін болады. Енді

тедігіне d₂ -ні табылан мнін ойса, екені шыады.

Егер берілген есепте кейбір шамаларды (зындытарды немесе аудандарды) атынастарын табу ажет болса, дербес жадайда белгілі бір брышты есептеу ажет болса, ондай есептер кмекші параметр енгізу деп аталатын тсілмен шешіледі. Бл тсіл бойынша есепті шешу шін сызыты элементтерді біреуін белгілі деп алып, іздеп отыран шаманы сол арылы рнектейді де оларды атынастарын рады [30].