Кеістіктегі салу есептерін шешу дістері жне салуа берілген есептерді шешуге мысалдар

 

Мектеп оушыларыны кеістікті абылдап, оны кз алдына елестете алуы стереометрияны оытуды негізгі мселелеріні бірі болып саналады. Осы айтылан масатты іс жзіне асыруда кеістіктегі салуа берілген есептерді шешуді зор мні бар. Жазытытаы геометриялы салулар теориясы жеткілікті трде талыланып арастырылады, ал стереометрияны дістемелік мселелеріне лі де толы кіл блінбей келеді. Геометриялы салулар теориясы - салуды негіздеу, есептерді кластара жіктеу, есеп шешу дістері, белгілі бір класа жататын есептерді шешу критерийі, салу есептерін шешкенде барынша жай дістерді тиімді олдану сияты мселелерді арастырады.

Кеістіктегі салу есептерін кластара жіктеу туралы р трлі кзарастар мен тсілдер бар. А.Н. Чалов кеістіктегі салу есептерін геометриялы салуды орындау тсілдері бойынша келесі топтара бледі:

1) елестету арылы шешілетін есептер;

2) проекциялы сызбамен шешілетін есептер;

3) модельмен шешілетін есептер.

Салуа берілген стереометрия есептерін позициялы жне метрикалы деп екі топа блетіндер де бар. Негізгі элементтеріні иылысуын ана іздейтін, соны салумен аяталатын есептер позициялы діспен шешілетін есептерге жатады. Кесінді салу, белгілі бір шамасы бар брышты салу, перпендикуляр трызу, биссектриса жргізу жне т.б. белгілі шарттарды анааттандыратын фигура салу талабы ойылатын есептер метрикалы есептерге жатады. Мысалы, В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович здеріні растыран «Математикалы есептер шешу практикумында» кеістіктегі салуа берілген есептерді мынадай дістер бойынша топтара бледі:

1) кеістіктегі арапайым салулар;

2) нктелерді геометриялы орындары;

3) кейбір нктелерді геометриялы орындары мен тзулерді пайдалану;

4) кескіндеу арылы салу.

Салуа берілген стереометрия есептері талдау, салу, длелдеу жне зерттеу сияты трт кезенен трады.

Талдау - бір бтінді, рамды бліктерге жіктейтін, р блікті жеке арастыратын зерттеу дісі. Ол салу есебін шешуді жоспарын табуа ммкіндік тудырады. Талдау - есеп шешуді барынша маызды кезеі. Есепке дрыс жргізілген талдау - есепті шешу жоспарын дрыс растыруды кепілі. Салу есебіне талдау жасаанда сызба басты рл атарады. Сонда есеп шартын, сызбадаы элементтерді зара орналасуына барынша басынан аяына дейін талдау жасалады, есеп шартында берілгендер мен іздеген элементтер арасында байланыс орнатылады.

Есепті салу кезеінде салу есебіне олданылатын аксиомаларды, теоремаларды, осымша арапайым салуларды дл крсету керек.

Длелдеу кезеі есеп шешіміні дрыстыына кдік туанда ажет болады. Салу есебін зерттеу кезеіні зіндік маызды ерекшелігі бар. Ол андай шарттар орындаланда есепті шешуі бар болады жне неше шешімі бар деген сратара жауап береді. Сонымен бірге зерттеу кезеі кеістік елесті дамытуа ммкіндік туызады.

Салуа берілген алашы есепті шыаранны зінде есепті шешуді кезедерін (талдау, салу, длелдеу, зерттеу) дл анытап блу керек.

Кеістіктегі салуа берілген есептерді шешуді негізгі дістері: аксиоматикалы діс, проективтік діс, геометриялы орындар дісі.

Аксиоматикалы дісті негізгі мні есепті шешу кезінде салуды зі орындалмайды, салуа берілген есеп элементар салулара келтіріледі, кейін бларды брін бірге арастыруа болатындай трдегі барлы жай амалдар арастырылады. Салу есебінде крсетілген амалдар кейде аксиомалар деп, ал есепті шешу дісі аксиоматикалы діс деп аталады. Себебі есепке олданылатын барлы амалдар елестеу арылы формальды трде жргізіледі де логикалы трде негізделеді, мндай діс формальды - логикалы діс деп те аталады. детте логикалы ой тжырымдары сызба арылы жргізіледі. Бл есеп шешімін барынша жеілдетеді: ойды іске осады, кптеген геометриялы элементтер мен оларды жиынын есте сатап алуа, кеістік жнінде дрыс тсінік орныып алыптасуына ммкіндік берді. Аксиоматикалы діс оушылар санасында кеістік туралы тсінікті, логикалы ойлауды дамуына барынша тере жне берік теориялы білім алуа, сіресе белгілі бір салулара тсінік беретін стереометрияны алашы теоремаларын йренуге ммкіндік туызады. Есептер шешу кезінде алдымен крнекі ралдар - жазытытар моделі (нсасы), нктелер мен тзулерді масатты трде олдану пайдасы зор. Осындай дістер кмегімен салуды талаптары айын трде крсетіледі, бдан со логикалы трде негіздеу жне логикалы негізде салынан кескінді салу длелденеді. Модельдеу есеп шешімін крнекі трде талдау жасауа, талдауды ышамдауа ммкіндік береді [17].

Проективтік діс (проекциялы сызбада салу есебін шешу дісі).

Егер ерекше проекциялау ережесі бойынша геометриялы денелерді кескінін пайдалануа ммкіндік болса, онда ол есепті сызбалы ралды кмегімен барлы салу жмысын орындауа болады. Мндай кескін геометриялы денені бір жазытыа проекциялау жолымен алынады жне проекциялы сызба деп аталады, ал есепті шешу дісін «проекциялы сызбада салынатын есеп» деп атайды.

Кеістіктегі салу есептерін шешуге барынша ынайлы діс - еркімізше алынатын параллель проекциялау. Ол сызбаны крнекілігімен, оны салуды те жай арапайым болатынымен сипатталады. Проекциялы сызба арылы шешілетін салу есептері трт кезенен трады. Біра барлы кезедерді р есепте тгел іске асыру талабы ойылмайды.

Геометриялы орындар дісі.

Кеістікте элементтерді геометриялы орындарын табуа берілген кез келген есепті салу есебі ретінде тжырымдауа болады. Кеістіктегі геометриялы орындар дісімен салуа берілген есептерді шешуді мні тмендегі мселелер арылы сипатталады. уелі есептегі берілген шарттарды біреуінен басасын ескерусіз алдыра трамыз. зіміз дейі тадап алып алаан бір ана шартты анааттандыратын нктелер жиынын арастырамыз. Бдан рі есепті екінші шартын анааттандыратын нктелер жиыны арастырылады жне т.с.с. Біз арастыран барлы жиындарды иылысуы есепті шешімі болады. Кеістіктегі салу есептерін шешуді тек трт дісін арастырды. Кеістікте салуа берілген есептерді шешуді баса да дістері бар. Есептер шешуді бір немесе баса дісін тадап алу шешілуге тиісті есепті сипатына, есеп шыарушыны дайынды дрежесіне, т.б. байланысты. Крделі есептерді шешу кезінде кбінесе бір мезгілде бірнеше діс атарынан олданылады [31].

Кеістіктегі салуа берілген есептерді шешуге мысалдар арастырайы.

48-мысал. Берілген а жне b тзулеріне паралелль, берілген А нктесінен тетін жазыты жргізу керек.

Талдау. Іздеген жазыты а тзуіне паралелль а тзуі арылы туі керек. Дл осы сияты іздеген жазыты b тзуіне паралелль b _х тзуі арылы туі керек. а_х жне b _х тзулері А нктесі арылы туі керек.

Салу. 1. А нктесі жне а тзуі арылы жазытыын жргіземіз.

2. жазытыында А нктесі арылы а тзуіне паралелль а_х тзуін жргіземіз.

3. А нктесі жне b тзуі арылы жазытыын жргіземіз.

4. жазытыында А нктесі арылы b тзуіне паралелль b_х тзуін жргіземіз.

5.а жне b тзулерінен бір-бірден М жне N нктелерін тадап аламыз.

6. А, М, N нктелері арылы іздеген ^а жазытыын жргіземіз.

Длелдеу. 1. Салуымыз бойынша жне а_х sa. яни, .

2. -бл салуымыз бойынша жне . Демек, .

3. A е а жне . сонда, .

Зерттеу. А нктесіні а немесе b тзулерінде жатуына туелсіз есепті рашан шешімі болады. Егер а мен b тзулері паралелль болмаса, онда есепті бір ана шешімі бар болады. Ал болса, онда есепті сансыз кп шешуі бар болады.

49-мысал. Берілген тзуден тысары жатан нкте арылы, осы тзуге перпендикуляр жазыты жргізу.

Шешуі. l тзуі жне одан тысары жатан А нктесі берілсін. A нктесі арылы тіп l тзуіне перпендикуляр болатын жазытыын жргізу керек (78-сурет).

Талдау. А нктесі арылы тіп l тзуіне перпендикуляр болатын жазытыы жргізілген болсын. Онда жазытыы l тзуін бір О нктесінде иятын жне оан перпендикуляр болатын AO, ОВ тзулері арылы теді. иылысатын l жне АО тзулері - жазытыын, иылысатын l жне ОВ тзулері - жазытыын анытайды. Олай болса, салуды осы жазытытарды жргізуден бастаймыз.

Салу. Берілген l тзуі мен одан тысары жатан А нктесі арылы жазытыын жргіземіз жне l тзуі арылы р жазытыымен беттеспейтін кез келген жазытыын жргіземіз. жазытыында А нктесінен l тзуіне перпендикуляр АО тзуін жргіземіз жне жазытыында О нктесінен l тзуіне перпендикуляр ОВ тзуін трызамыз.

Сурет-78

иылысатын АО жне ОВ тзулері ізделінді жазытыын анытайды. Длелдеу. Салуымыз бойынша l ОА, l OB боландытан О нктесінде иылысатын ОА, ОВ тзулері арылы тетін жазытыы да l тзуіне

перпендикуляр жне ОАс боландытан А€. Олай болса ізделінді жазыты.

Зерттеу. Егер А нктесі l тзуінде жатса, онда А нктесі арылы l тзуіне перпендикуляр кез келген екі тзу трызуа болады. Ол тзулер ізделінді жазытыын анытайды. Олай болса бл есепті р уаытта шешімі бар жне ол жалыз болады.

50-мысал.Жазытытан тысары жатан нкте арылы жазытыа перпендикуляр тзу жргізу.

Шешуі. жазытыы мен одан тысары А нктесі берілсін. A нктесі арылы жазытыына перпендикуляр тзу жргізу ажет болсын. Бл есепті екі трлі діспен шыарайы.

1-тсіл. Талдау. жазытыына перпендикуляр АО тзуі жргізілген болсын. Онда ш перпендикуляр туралы теоремаа сйкес, АВ клбеуі жне оны проекциясы ОВ бір мезгілде жазытыында жатан андайда бір CD тзуіне перпендикуляр болуы ажетті рі жеткілікті. Мндаы А нктесі мен CD тзуі жазытыын анытайды, ал иылысатын АВ жне ОВ тзулері жазытыын анытайды.

Салу.

1) жазытыында (79-сурет) кез келген CD тзуін жргіземіз.

2) А нктесі мен CD тзуі арылы жазытыын жргіземіз.

3) Осы жазытыында А нктесінен CD тзуіне АВ перпендикулярын тсіреміз.

4) жазытыында В нктесінен CD тзуіне ВО перпендикулярын ' трызамыз.

5) АВ жне ВО иылысушы тзулері жазытыын анытайды жне _CD.

6) жазытыында А нктесінен ВО тзуіне перпендикуляр АО тзуін жргіземіз.

Длелдеу. Салуымыз бойынша ABCD, OBCD жне АОВО, CDc, BOc боландытан AO.

Зерттеу. Егер А нктесі жазытыында жатса, онда А нктесінен жазытыына перпендикуляр трызуа болады жне ол біреу ана болады. Олай болса бл есепті шешімі руаытта бар жне жалыз.

 

Сурет-79

2-тсіл. Талдау. А нктесі арылы жазытыына перпендикуляр а тзуі жргізілген болсын (80-сурет). Онда бл а тзуі жазытыына перпендикуляр баса кез келген l тзуіне параллель болады. Ал l тзуі жазытыында жатан кез келген иылысушы b, с екі тзуіне перпендикуляр болуы ажет. l тзуі арылы b тзуіне перпендикуляр жне с тзуіне перпендикуляр жазытытарын жргізуге болады. Яни l тзуі осы жне жазытытарыны иылысу сызыы болып табылады.

Салу. 1) а жазытыында кез келген О нктесінде иылысатын b,с тзулерін аламыз.

2) О нктесі арылы b жне с тзулеріне сйкесінше перпендикуляр болатын жне жазытытарын жргіземіз (1-есептегі тсіл пайдаланылады). Оларды иылысу сызыы l болады.

3) l тзуі мен А нктесі арылы жазытыын жргіземіз.

жазытыында А нктесі арылы l тзуіне параллель а тзуін жргіземіз.

Сурет-80

Длелдеу. Салуымыз бойынша b, с тзулері жазытыында жатыр. b, с жазытытарыны иылысу сызыы l тзуі де бл тзулерді рбіріне перпендикуляр, яни l b, l с. Олай болса l тзуі жазытыына да перпендикуляр. Ал а тзуі l тзуіне перпендикуляр боландытан, а тзуі де жазытыына перпендикуляр. а тзуі А нктесі арылы теді жне жазытыына перпендикуляр, олай болса а ізделінді тзу.

Зерттеу. Осы есепті шыару 1-тсілмен шыару жадайына сас орындалады. Кріп отыранымыздай салу есебінде негізгі иынды туызатын талдау кезеі болып табылады. Салу - талдау негізінде орындалатын боландытан, талдауды дрыс жргізу ажет.

Стереометриялы салу есептері негізінен стереометрия курсыны алашы тарауларында кездесетіндіктен, салу есептеріне талдау жасауды кеістікте “ілулі” фигуралар (тзулер, жазытытар) арылы тсіндірген оушылара тсініксіз. йткені, оны елестету иын. Сондытан ол тзулер мен жазытытарды андайда бір кеістік денелеріне келтірілген моделдер немесе оларды кескіні арылы крсеткен дрыс [31].

Мысалы, 1-мысалды шыарылу жолын талдау шін кез келген тік призманы пайдалануа болады. Натылы шін АОВА₁О₁В₁ шбрышты тік призмасын алайы (81-сурет). ОО₁ ырын амтитын тзуді - l, АОВ табан жаын амтитын жазытыты деп белгілейік. Мндаы l боландытан тзу мен жазытыты перпендикулярлы шартына сйкес OA l, OB l болады. l тзуі мен одан тысары жатан А нктесі АОО₁А₁ жаын амтитын жазытыын анытайды. ОВ тзуі OBВ₁О₁ жаына немесе оны амтитын жазытыына тиісті.

Сурет-81

51-мысал. Барлы трт абырасы жне арама-арсы екі абырасыны орталарын осатын кесінді берілген жадайда ABCD тртбрышын салу керек

Шешуі. ABCD — ізделген тртбрыш, EF — АВ жне DC абыраларыны орталарын осатын кесінді болсын. AD абырасын параллель жылжытып ED_Y жне ВС абырасын параллель жылжытып EC_Y жадайына келтіреміз, сонда DD = AE, DDj AE; CC = BE, CCj BE, DF = CF— блар шарт бойынша, демек, (екі абырасы жне оларды арасындаы брышы бойынша те).

Бл шбрыштарды тедігінен шыады. Демек, Д, F жне C — нктелері бір тзуді бойында жатады. D_XEC_X шбрышында екі абырасы мен шінші медианасы белгілі боланда оны салуа болады. Бдан со ш абырасы бойынша жне шбрыштарын салып, DAED_X, жне BECC параллелограмдарын салуа болады. Бдан со A жне В нктелері аныталады.

 

82-сурет.

Салу. DEC шбрышын D_YE = AD жне CE = BC, сондай-а EF медианасы бойынша саламыз. Бл шін е алдымен 2EF, ED, EC_X, ш абырасы бойынша шбрыш салып, оны параллелограма дейін толытырамыз. Осы параллелограмны жартысы DEC — шбрышы болады. абыралары жне

болатын зара те шбрыштар D_XF жне FC кесінділеріне салынады. Блар арылы D жне С нктелерін саламыз. DAED_l жне BECC параллелограмдарын салып, А жне В нктелерін табамыз.

Длелдеу. ABCD тртбрышы — ізделген тртбрыш, себебі ол есепті барлы шарттарын анааттандырады. DF жне FC бір тзуді бойында жатыр, себебі жне DF_l жне CF бір тзуді бойында жатыр.

Зерттеу. ED_YC шбрышын салу шін жне

шарттарыны орындалуы ажетті, ал жне —

салу шін жне шарттары орындалуы ажетті. Егер бл шарттар орындалса, онда есепті бір ана шешімі бар болады.

52-мысал. жне жазытытары параллель, жазытыында жатан А нктесі арылы жазытыына параллель а тзуі жргізілген. Осы а тзуіні жазытыында жататынын длелде.

Шешуі. А тзуі жазытыына тиісті В нктесі арылы жазытыын жргіземіз (83-сурет). Ол жазыты жне жазытытарын сйкес параллель а₁ жне b тзулері бойымен ияды. а₁ тзуін арастырайы. Ол А нктесі арылы

Сурет-83

теді жне жазытыында жатады, яни длелдеу ажетті асиетке ие. Содан кейін, есеп а₁ мен а тзулері сйкес келетінін длелдеуге келтіріледі. Бл есептерді екеуі де арапайым [31].