Проекциялы сызбада орындалатын салу есептері

53-есеп. шбрышты пирамиданы бйір жатарыны бірі табан жазытыына перпендикуляр. Осы бйір жаы мен табаны дрыс шбрыштар. Пирамиданы кескіні ретінде диагоналдармен оса алынан ABCD тртбрышын алып, кескінні параметрлер санын анытайы.

Шешуі: Пирамида табанындаы дрыс шбрышты кескінні кез келген шбрыш болып алынуынан екі параметр жаратылады (84-сурет).

Натыра айтса, мнда АВ=ВС=АС жне A= B= C метрикалы асиеттері саталмай отыр. Осы сияты бір бйір жаыны да дрыс шбрыш екендігін ескерсек, оан да екі параметр жаратылады жне осы салынан шбрыштарды жазытытары тпнсада перпендикуляр екендігін ескерсек, кескінге таы да бір метрикалы шарт ойылады, яни таы бір параметр жаратылады. Олай болса, берілген пирамиданы кескініне бес параметр жаратылан, яни кескінні параметрлік саны р=5, сондытан бл кескінде блардан баса ешандай метрикалы салуларды еркін орындауа болмайды. Енді осы SABC пирамиданы кескінінде SAC жаыны SK биіктігін салу ажет болсын. Ол шін осымша салулар жргізу ажет. ABC шбрышыны BN медианасын жргіземіз.

Сурет-84

ABC дрыс шбрыш боландытан BN рі биіктік болады, яни BN АС. Осыан сас SAB шбрышыны SD медианасын, рі биіктігін жргіземіз. Мндаы SDAB жне SD (ABC). DK||BN жргіземіз, сонда DKAC болады. S нктесі мен К нктесін кесіндімен осамыз. SD кесіндісі ABC жазытыына перпендикуляр боландытан, DK оны ABC жазытыындаы проекциясы жне DK АС екендігін ескерсек ш перпендикуляр туралы теорема бойынша SK АС болатындыын креміз.

Сурет-85

Міне кріп отыранымыздай, SK биіктігіні табаны К нктесі АС абырасыны бойынан жалыз трде аныталады, демек SK биіктігі де жалыз трде аныталып отыр.

54-есеп. Сызбада берілген ABC шбрышы те абыралы шбрышты кескіні болып табылады. Осы шбрыша сырттай сызылан шеберді кескінін салу ажет (85-сурет).

Шешуі. AN, ВМ, CL медианаларын жргіземіз. ABC дрыс шбрыш боландытан бл медианалар рі биіктік, рі биссектриса да болып табылады. AО=2ОN=r екендігін ескеріп, AN тзуіне ND=ON, ВМ медианасыны созындысына MF=OM, CL медианасыны созындысына TL=OL кесінділерін лшеп саламыз. Осы A, , С, D, В, Т нктелері арылы ізделінді шеберді кескінін жргіземіз.

Бл мысалды шыара отырып, те абыралы шбрыш кескіні ретінде кез келген шбрышты алуа болатындыына кз жеткізілді. шбрышты кескіні тадалып алынаннан со, оан сырттай сызылан шеберді кескіні толы аныталды, Алынан орытынды мен брыны тсілдерді байланыстыра отырып дрыс шбрыш кескіні де бейнелеу жазытыындаы кескінні метрикасын анытайтындыын креміз.

55-есеп. Сызбада шеберді кескіні берілген. Осы шеберге сырттай сызылан тік брышты шбрышты кескінін салу керек (86-сурет).

Шешуі: Эллипсті MN жне KL зара тйіндес диаметрлерін жргіземіз. К жне М нктелері арылы эллипске жанамалар жргіземіз, олар сйкесінше зара тйіндес MN, KL диаметрлеріне параллель болады. Сондытан бл жргізілген жанамалар да зара перпендикуляр тзулерді кескіндерін береді.

Шындыында, шеберді АС жанамасына ОМ радиусы немесе MN диаметрі перпендикуляр болуы керек. Ал есеп шешімі бойынша MN жне KL зара перпендикуляр диаметрлер. Олай болса, AC KL болуы керек, ал кескіндеу барысында оларды параллельдігі саталады. Дл осылай ВС мен MN параллелдігінде длелдеп крсетуге болады.

шбрышты гипотенузасын кескіндеу шін эллипске шінші жанама жргізіледі.

 

Сурет-86

Кпбрышты пирамиданы кескінін салу

Кпбрышты пирамидаларды кескінін салу техникасы да, шбрышты пирамиданы кескінін салу тсіліне сас орындалады. Пирамида тпнсасынан базистік нктелер ретінде оны тбелері алынады. шеуі оны табанынан алынады, тртінші нкте пирамиданы тбесі болады.

шбрышты пирамиданы кескінін саландаыдай тпнсаны базистік трт нктесіні кескінін бейнелеу жазытыында бірден белгілеп алу тиімсіз болады. Пирамиданы тбесіні кескіні болатын S базистік нктесін, пирамида табанын, одан кейін пирамида биіктігін кескіндегеннен со барып салан дрыс.

56-есеп. SABCD пирамидасы берілген. ABCD те бйірлі трапеция. SAB бйір жаы те бйірлі шбрыш жне табан жазытыына перпендикуляр. Осы пирамиданы кескінін салу керек.

Шешуі: Табанындаы ABCD те бйірлі трапециясыны кескінін кез келген трапеция етіп саламыз. Тпнсада пирамида биіктігі табаныны АВ ырыны ортасына тседі. Олай болса, АВ ырыны кескініні ортасы Н нктесін анытаймыз.

Сурет-87

Осы нктеден HS вертикаль кесіндісін трызамыз. S нктесінен пирамида табанындаы трапеция тбелерін кесінділер арылы осып, ізделінді пирамиданы кескінін аламыз. Яни, мына жоарыдаы 87- суреттегі ретпен орындалады.

Призманы кескінін салу

Базистік нктелер ретінде призманы тбелерін ала отырып, призманы кескінін оай салуа болады. Оны шеуін бір табанынан, ал тртіншісін баса табанынан аламыз. Базистік нктелерді шеуін призманы тменгі табанындаы кпбрышты тбелері етіп тадап ала отырып, бірінші кезекте бейнелеу жазытыында оны табаныны кескінін салып аламыз. Тртінші базистік нктесін призманы жоары табанынан тадап алып, оны бейнелеу жазытыында ыайлы трде кескіндей отырып призманы оай орындалатын жне крнекі трдегі дрыс кескінін аламыз. Яни, ол фигура кескініне ойылатын барлы негізгі ш талапты анааттандыратын болады [31].

57-есеп. Табаны а жне биіктігі болатын дрыс шбрышты тік призманы кескінін салу керек.

Шешуі. A'B'С'A11B1'C11дрыс шбрышты призмасы берілген болсын. Призманы тменгі табанындаы A1B1C1 дрыс шбрышыны тбелерін базистік нктелер етіп ала отырып, бейнелеу жазытыында “Бар болуды бірінші теоремасы” негізінде кез келген ABC шбрышын саламыз (88,a - сурет). Ал, тртінші базистік нктені призманы А11 тбесі етіп аламыз. Оны бейнелеу жазытыындаы кескінін салу шін А нктесінен АА1 вертикаль кесіндісін жргіземіз (88, - сурет). Осы ретпен призманы трт базистік нктесіні кескіні еркін трде салынаннан со баса тбелеріні кескіндерін еркін трде салуа болмайды. йткені, “Бар болуды екінші теоремасы” негізінде трт базистік нктені кескіндей отырып бейнелеу жазытыындаы барлы нкте бір мнді аныталады. Шындыында, A'B'С'A11B1'C11 призманы тпнсасында A'A11,

B'B1', C1C11, бйір ырлары зара параллель, рі те. Олай болса, призма кескініндегі сйкес АА1, ВВ1, СС1 ырларыда зара параллель, рі те болуы керек. Демек, призманы кескіні одан рі мына ретпен салынады: В жне С нктелері арылы AA1 кесіндісіне параллель тзулер жргізіліп, оны бойына АА1 кесіндісіне те ВВ1 жне СС1 кесінділері лшеніп салынады. А1, В1, С1 нктелерін кесінділермен осып дрыс шбрышты призманы кескінін аламыз (88, б - сурет) [32].

 

Сурет-88

 

ОРЫТЫНДЫ

 

Есептерді геометриялы діспен шешкенде логикалы ойлауды жрдемімен белгілі теоремалар арылы тжырымдауды ажет ететін сйлемдерді длелдейміз.

Геометриялы салу — кейбір геометриялы есептерді абсолют дл деп йарылатын р трлі аспаптарды (сызышты, циркульді, таы баса) кмегімен шыару.

Есептерді трі аспаптарды тадап алынуына туелді болады. Салу есептері циркуль мен сызышты кмегімен, ізделініп отыран нктелерді координаттары операциялар (осу,кбейту, блу жне квадрат тбір табу) саны шекті болып келген рнек трінде жазылса ана шыарылады. Егер мндай рнек табылмаса, онда салу есебін циркуль мен сызышты кмегімен шыаруа болмайды. Мысалы, мндай есептерге кубты екі еселеу, брышты трисекциясы, дгелек квадратурасы жатады. Циркуль мен сызышты кмегімен шыарылатын кез келген салу есебін бір ана циркульмен не сызышты (кейде брыштыпен) зімен де шыаруа болады.

Жмысты орытындылай келе келесі сыныстарды беруді жн санады.

дістемелік сыныстар:

1. Салуа берілген есепті шешуге кірісуден брын материалды теориялы жаын мегеріп алу ажет.

2. Салу есептерін шешуге кіріскенде алдымен арапайым салулардан бастап шешу керек.

3. Есептер шешу кезінде сіресе крнекі ралдар мен модельдерді (нсаларды) пайдалануды ерекше маызы бар.

4. Негізгі салуларды дл орындау керек:

а) кеістіктегі нктені орнын анытау;

б) берілген екі нкте арылы тзу жргізу;

в) бір тзуді бойында жатпайтын ш нкте арылы жазыты жргізу;

г) тзу мен жазытыты иылысу нктесін табу;

д) рбір жазытыта барлы планиметриялы салуларды орындалуы;

е) егер зін анытайтын элементтер берілсе, онда геометриялы дене салу.

Егер кеістікте салуа берілген есептердегі негізгі амалдар, яни онда са бліктерге блінетін негізгі арапайым салулар тгел орындалса, онда кеістіктегі кез-келген геометриялы салу орындалады деп есептеледі.

Геометриялы сас трлендіру дісіні мнісі, геометриялы есептерді шыару кезінде сай келетін геометриялы згертулерді пайдалану керек, оны асиеттеріне сйенгенде есеп шыаруа ммкіндік береді.

Трлендіру дістерімен есептер шыару шін, осы діс компоненттерін падалана блуіміз керек:

§ кез-келген трлендіруде фигуралар бейнелерін жасай білу;

§ сай келетін фигураларда згертетін фигураларды нктелерін кре білу;

§ белгілі бір трлендіруді анытайтын элементтерді айындай білу (ось немесе симметрия центрі, центр жне айналу брышы, параллель кшіру векторы, гомотетияны центрі мен коэффициенті т.б.);

§ трлендіруде сай келетін нктелерді сай келмейтін фигуралара сала білу.

Ескеру керек, бір геометриялы есепті шыаран кезде, базалы фигураны ерекшелігін жне оны ізделінуші элементтреді арасындаы осы фигаремен байланысын есепке ала отырып орындау керек. Ал дрыс тадай жасай білу, ереже бойынша, есепті рационалды шыаруа ммкіндік береді. Бл жерде трлендіруді тадауда базалы фигураны формасы мен асиеті маызды болып табылады. Симметрияны тек базалы фигураны симметриялы центрі (параллелограм, шебер жне т.б.) немесе симметриялы сі (трліабыралы брыш,трліабыралы трапеция, шебер т.б.) болан кезде жргізген дрыс. Айналуа базалы фигура брылмалы асиетке ие боланда жргізіледі (дрыс шбрыш, квадрат, дрыс алтыбрыш, шебер т.б.). Есептерде озалысты олданан кезде, бкіл фигураны трленуін емес, оны кейбір бліктерін арастыруа да болады (трапецияны бір бйірін кшіру немесе негіздерді бірімен аныталатын диагональдарыны бірін вектора ауыстыру).

Гомотетия есептерінде екі базалы фигура гомотетия центрі болып табылуы керек (параллель жатары бар екі шбрыш, трлі радиустаы екі шебер т.б.). Гомотетия мен састыты пайдалана есептерді шыаран кезде мына амлдар жиі олданылады: талдама жасау кезінде берілген сызыты элементтерді алып тастау керек немесе берілген фигураларды біразын ескермей-а ою керек(бір нктелер позициясын) жне рылымды фигураны алан бліктеріні позициясы арылыжасауа болады, сонан со ана алынып тасталан элементті айта оюа болады.

Жазыты инверсиясын трлендіру, оны сызыты болмауына арамастан, атарлауа геометриялы есептер шыаруда олдануа болады. Инверсияны олдану арылы конструктивті есептер шыару кезінде негізгі идея, стті инверсияны тадау, атап айтанда – трлендірген фигурамен есептер шыару оай болып, ажетті нтиже жасы алынады.

Сонымен, біз сас трлендіру дістерімен есептер шыару есеп шартарыны егжей-тегжей талылануын жне трлендіруді тадауа сауатты кз-араспен арап, асыпай шешім абылдау ажет: 1) есеп шартын асыпай талдап, базалы фигураны тадап алу ажет; 2) трлендіруді тадау барысында, алдын-ала оны райтын барлы элементтерді тгелдеп алу керек; 3) трлендіру асиеттерін еске тсіріп, оларды есеп шыаруда олдана білу керек; осыдан кейін ана есеп шыаруа кіріскен жн.

рине тымды трлендіру трін тадау, геометриялы сас трлендіру есептерін шыаруда кп тжірибе мен білімді ажет етеді.

 

 

ПАЙДАЛАНЫЛАН ДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

 

1. Программа для базового образования школ Казахстана» Алматы: Министерство образования РК 1992

2. Программа для школ с углубленным изучением математики Алматы: Министерство образавания РК 1994

3. Абіласимова А.Е., Кбесов А.К., Рахымбек Д.Р., Кенеш .С. «Математиканы оытуды теориясы мен дістемесі» Алматы «Білім» 1998

4. Атанасян Л.С. жне т.б. «Геометрия» Алматы 1992

5. Алдамратова Т.А., Байшоланов Е.С. Математика. Оыту дістемесі. Алматы. Атамра. 2005

6. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Жазытыта орындалатын геометриялы салулар. Алматы 1955

7. Бекбоев И.Б. жне т. б., «Геометрия» Алматы Мектеп. 2007

8. Бекбоев И., Абдиев А «Геометрия» 7,8,9-сыныптарына арналан оулы. А., Мектеп. 2008

9. Бекбоев И., Абдиев А., айдасов Ж., Хабарова . «Геометрия» 8-сынып. А., Мектеп. 2008

10. Бабанский Ю.К. «Выбор методов обучения в средней школе» Москва 1989

11. Бидосов . «Математиканы оыту методикасы» Алматы 1989

12. Богоявлинский Д.Н., Менчинская Н.А. «Психология усвоения знаний в школе» Москва 1959

13. Волович М.В. «Математика без перегрузок» Москва 1991

14. Гусев В. А., Мордкович А. Г. «Математика» Москва 1990

15. Давыдов В.В. «Проблемы развивающегося обучения» Москва 1986

16. Жнісов Т.А., Планиметриялы салу есептерін шыару дістері. Алматы 1998

17. Жбаев ., Геометрияны оыту дістемесі. Алматы. РБК. 1992

18. Мадияров Н.К. Геометриялы фигураларды кескіндеу. Оу ралы.Шымкент.М. уезов атындаы ОМУ. 2010

19. Мишин В. И. «Методика преподавания математики в средней школе» Москва 1987

20. Мордкович А. Г. «Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе» Москва 2002

21. Мханов М. «Жас жне педагогикалы психология» Алматы 1981

22. Кбесов А. «Орта мектепте математиканы оыту методикасы» Алматы 1989

23. Кбесов А. «Математика тарихы» Алматы 1997

24. айдасов Ж., Хабарова ., Абдиев А., «Геометрия» 8-сынып. А., Мектеп. 2008

25. Лернер И.Я. «Процесс обучения и его закономерности» Москва 1980

26. Лернер И.Я. «Дидактические основы методов обучение» Москва 1981

27. Погорелов А.В. «Геометрия» Жалпы білім беретін мектепті 7-11 сыныптарына арналан оулы. Алматы. Просвещение-азастан. 2003

28. Рахымбеков Д., Кенешев . «Математикалы ымдарды оыту» Жезазан 1997

29. Рахымбеков Д. «Оушыларды логика – методологиялы білімдерін жетілдіру» Алматы 1998

30. Рахымбек Д., Кенеш . Мектеп геометрия (планиметрия) курсын оыту дістемесі. Оу ралы. А. Эверо. 2015

31. Рахымбек Д., Кенеш . Мектеп геометрия (стереометрия) курсын оыту дістемесі. Оу ралы. А. Эверо. 2015

32. Рахымбек Д.,Мадияров Н.К. Геометриялы салу есептері. Оу ралы. А. Эверо. 2015

33. Рыжик В.И. «Геометрия» Москва 1992

34. Слепкань З.И. «Психолого – педагогические основы обучения математике» Киев 1983

35. Столяр А.А. «Педагогика математики: Учеб.пособие для физ-мат фак.пед.ин-тов» Минск 1986

36. Шыныбеков .И., «Геометрия» 7-сынып. А., Атамра. 2007

37. Шыныбеков .И., «Геометрия» 9-сынып. А., Атамра. 2007

38. Шамова Т.И. «Активизация учения школьников» Москва 1982

39. С.Е. Шкілікова, С.Ш.Жасымбетова «Геометрия есептері» Алматы1995

40. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. «Укрупнение дидактических единиц в обучении математике» Москва 1986

41. Юсупов Ж., Зуірбеков С.С., Геометрия. Жалпы білім беретін мектепті 7,8.9 сыныптарына арналан байау оулыы. Алматы. Рауан.2000

 

Осымша А

Саба жоспары (лгі ретінде)

 

08.12.201ж Геометрия     9 сынып
Сабаты таырыбы: «састы трлендіру жне оны асиеттері. сас фигуралар»
Сабаты масаты: Білімділік: сас трлендіру, гомотетия, гомотетия центрі, гомотетия коэффиценті, гомотетия асиеттерін тсінеді. Дамытушылы: Гомотетиямен байланысты тапсырмаларды орындау дадысын мегеріп, фигураларды гомотетиялыын анытау, есептер шыаруа дадыланады. Трбиелілік: Сызба сызуда сызу сабаыны элементтерін пайдалануа, ыптылыа трбиелеу.
Ктілетін нтиже 1. озалысты трлерін мегере отырып, састы трлендіруі ымымен танысады жне фигураларды трлендіру тсілін анытауды йренеді. 2. Есеп шыарудаы абілеттілігі артады. 3. Бір – бірімен аылдасады.
Сілтеме 9 сынып «Геометрия» оулыы
Сабата олданылатын материалдар: Слайд Оулы Таырыпа байланысты крнекіліктер
Оыту дістері: 1. Жеке жмыс 2. Жпты жмыс  
Сабаты барысы. І.йымдастыру кезеі 1. Слемдесу, тгендеу 2. Оушыларды зейінін сабаа аудару 3. Саба барысымен таныстыру, жпа блу
ІІ.й тапсырмасын тексеру Миа шабуыл сратары
ІІІ. Жаа саба Жаа таырыпты тсіндіру
І. Тапсырма Тест жмысы
. Сергіту сті Тренинг йымдастыру
. орытынды Жаа таырып бойынша сратар ойылады.
І. й тапсырмасы Оулы № 57-59 есептер
           

Саба бойынша малім мен оушыны іс-рекеті:

  Малімні іс-рекеті Оушыны іс-рекеті
І. йымдастыру кезеі 5 минут Оушыларды зейінін сабаа аудару, тгендеу, жпа блу ББ лестірме аазын таратып беру Оушылар жптара блінеді.
ІІ.й тапсырмасын тексеру Миа шабуыл сратары 10 минут р асиеттерін атадар Оушылар жппен аылдасып, сратара жауап береді.    
ІІІ. Жаа саба 5 минут   Анытама. Егер Ф фигурасын Ф1 фигурасына бейнелегенде, оларды сйкес нктелеріні араашытытары бірдей к атынасына згеретін болса, онда Ф фигурасын Ф1 фигурасына сас деп атаймыз.   Анытама. Жазытытаы рбір А нктесі шін ОА сулесіні бойында жататын жне ОА1/ОА=к шартын анааттандыратын А1 нктесін А нктесіне гомотетиялы нкте деп атаймыз. Ал жазытыты бл трлендіруін гомотетия деп атайды. Оушылар сабаты мият тыдайды. ажетті мліметтерді дптерлеріне жазып алады.
І. Тапсырма 15 минут Тест жмысы 1. . а) АВ жне СD кесінділері гомотетиялы бола ма? ) Гомотетия коэффициенті андай? A. а) болады; ) B. а) болады; ) C. а) болмайды; ) D. а) жауабы зге. 2. ді табыдар. A. B. C. D. 3. мен -ді табыдар. A. B. C. D. жауабы зге 4. -ны периметрін табыдар. A. 12 см B. 13 см C. 14 см D. 15 см 5. жне те бйірлі шбрыштар. -ны табыдар. A. B. C. D. 6. , АВС шбрышыны периметрі 42 см, ал -ді периметрі 14 см жне АВ-ны табыдар. A. 13 см B. 14 см C. 15 см D. 16 см Тест жмысын орындап, жппен тексереді, дптерлеріне жазып алады.
. орытынды 5 минут 1. андай фигураларды сас фигуралар деп атайды? 2. састы коэффициенті деп андай санды айтады? Сратара жауап береді.
І.й тапсырмасы 2 минут §4 оу.Анытамалар жаттау. Тапсырмаларды мият тыдап, тртіп алу
ІІ. Баалау 3 минут Білемін Білгім келеді йрендім Саба барысында алан баллдарын орытып, баалау Сабата алан бааларын кнделіктеріне ойдыру.

 

 

 

 

Осымша В

зіндік жмыс шін планиметриядаы сас трлендіруге берілетін есептерді лгілері

1. Гомотетия арылы X нктесі X' нктесіне, ал нктесі ' нктесіне кшеді. Егер X, X', , ' нктелері бір тзуді бойында жатпаса, гомотетия центрін алай табуа болады?

2. Гомотетия арылы X нктесі X' нктесіне кшеді. Гомотетия коэффициенті 2-ге те деп алып, гомотетия центрін салып крсетідер.

3. шбрыш сызыдар. Оны тбелеріні бірін гомотетия центрі деп алып жне де гомотетия коэффициенті 2-ге те деп есептеп берілген шбрыша гомотетиялы шбрыш салыдар.

4. 2.4-суретте 1: 1000 масштабпен й маыны жоспары кескінделген. Оны лшемдерін (зындыы мен енін) анытадар.

5. шбрыша сас фигура не болып табылады?

6. сас ABCжне А1В1С1 шбрыштарыны A = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, В1С1= 3 м. A1 брышы мен А1В1 абырасы неге те?

7. Шеберге сас фигура да шебер болатынын длелдедер.

8. Брыш берілген жне де оны ішінен А нктесі белгіленген. Брышты абыраларын жанап жне де берілген А нктесінен тетін шеберді салыдар.

9*. Берілген шбрыша іштей квадрат сызыдар, сонда мны екі тбесі бір абыраны бойында жатсын да, ал алан екі тбесі былайы екі абыраны бойында жататын болсын.

10. Табандарына арсы тбелеріндегі брыштары бірдей те бйірлі шбрыштарды сас болатындыын длелдедер.

11. Те бйірлі екі шбрышты бйір абыраларыны арасындаы брыштары те. Бір шбрышты бйір абырасы мен табаны 17 см-ге жне 10 см-ге те, екінші шбрышты табаны 8 см-ге те. Оны бйір абырасын табыдар.

12. ABC жне А1В1С1 шбрыштарында: A = А\,

B= В1, AB= 5 м, BC =7 m, А1В1=10 м, А1С1= 8 m. шбрыштарды алан абыраларын табыдар.

13. 12-есепте AВ =16 cm, ВС = 20 cm, А1В1= 12 cm. AC — А1С1 = 6 cm деп алып, оны айта шыарыдар.

14. Тік брышты шбрышты тік брышыны тбесінен тсірілген биіктігі оны соны зіне сас екі шбрыша блетінін длелдедер.

15. ABC шбрышыны АВ абырасына параллель тзу оны АСабырасын A1 нктесінде, ал ВС абырасын В1 нктесінде иып теді. ABCмен А1В1С1 шбрыштары сас екендігін длелдедер.

16. Табаны а жне биіктігі болатын шбрыша іштей сызылан квадратты екі тбесі шбрыш табанына, алан екі тбесі бйір абыралара тірелген. Квадратты абырасын есептеп шыарыдар (В-1- сурет).

17. ABC шбрышыны АВ абырасына параллель тзу оны АСабырасын, С тбесінен бастап есептегенде, т: п атынасында бледі. Ол тзу ВСабырасын андай атынаста бледі?

18. ABC шбрышыны АС абырасына параллель DE кесіндісі жргізілген (кесіндіні D шы АВ абырасында, ал Е шы ВС абырасында жатыр). АВ=16 см, АС = = 20 см жне DE = 15 см деп алып, AD кесіндісін

табыдар.

19. 18-есепте AC:DE = 55:28 деп алып, AD'.BD атынасын табыдар.

20. Мына деректерді пайдаланып, 18-есептегі DEкесіндісіні зындыын табыдар.

1) АС = 20 см, АВ = 17 см жне BD = 11,9 см;

2) АС = 18 дм, AВ = 15 дм жне AD = 10 дм.

21. ABCD трапециясыны диагональдары Е нктесінде иылысады (В-2 - сурет). ВСЕ жне DAE шбрыштарыны сас болатынын длелдедер.

22. Трапеция табандарыны атынасы т:п атынасындай. Оны бір диагоналы екінші диагоналымен иылысанда шыатын кесінділерді атынасын табыдар.

 

Сурет В-1 Сурет В-2

23. Трапеция диагональдарыны иылысу нктесінен тетін тзу оны бір табанын т:патынасында бледі. Ол тзу трапецияны екінші табанын андай атынаста бледі?

24. АС диагоналы жргізілген ABCDтрапециясында ABC жне ACD брыштары те. Трапецияны ВС мен AD табандары сйкесінше 12 м-ге жне 27 м-ге те, АС диагоналын табыдар.

25. Трапеция табандарына параллель тзу оны бір бйір абырасын т:п атынасында бледі. Ол екінші бйір абыраны андай атынаста бледі?

26. ABCDтрапециясыны бйір АВ мен CD абыраларыны созындылары Е нктесінде иылысады. АВ=5см, ВС = = 10 cm, CD = 6 cm, AD=15 cm, AED шбрышыны абыраларын табыдар.

27. 26-есепте ВС= 7 cm, AD = 21 см жне трапецияны биіктігі 3 см деп алып,AED шбрышыны биіктігін табыдар.

28. *. Трапеция диагоналдары Е нктесінде иылысады, ал бйір абыраларыны созындылары нктесінде иылысады. Е тзуі трапеция табандарын а блетінін длелдедер (В-3 - сурет).

29. *. Табаны АС, оан арсы жатан брышы 36° болып, келген те бйірлі ABCшбрышыны AD биссектрисасы жргізілген. 1) ABCжне CAD шбрыштарыны састыын длелдедер.

2) ABC шбрышыны бйір абырасын а - а те деп алып, оны табанын табыдар.

30. ABCжне А1В1С1 шбрыштарыны В мен В1 брыштары те. ABCшбрышыны В брышына іргелес абыралары А1В1С1 шбрышыны В1 брышына іргелес абыраларынан 2,5 есе арты. АС мен А1С1 осындысы 4,2 м-ге те деп алып, осы абыраларды табыдар.

Сурет В-3 Сурет В-4

31. С брышы сйір болып келген ABCшбрышыны АЕ жне BDбиіктіктері жргізілген. Сонда ABC EDC болатынын длелдедер.

32*. Сйір брышты ABC шбрышыны AD, BE, С биіктіктері жргізілген. ABC шбрышыны брыштары белгілі деп алып, DEF шбрышыны брыштарын табыдар (В-4 - сурет).

33*. 32-есепте айтылан DEFшбрышыны биссектрисалары ABCшбрышыны биіктіктерінде жататындыын длелдедер.

34. Те абыралы екі шбрыш сас па?

35. Мына деректерге араанда ABC жне А1В1С1 шбрыштары сас па:

1) АВ = 1 м, АС =1,5 м, ВС = 2 м;

А1В1=10 см, А1С1= 15 см, В1С1= 20 см;

2)АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м;

А1В1=8 дм, А1С1= 16 дм, В1С1=12 дм;

3) АВ= 1 м, АС = 2м, ВС= 1,25 м;

А1В1= 10 см, А1С1= 20 см, В1С1 = 13 см?

36. сас шбрыштарды периметрлеріні атынасы сйкес абыраларыны атынасындай болатынын длелдедер.

37. шбрыш абыралары 0,8 м, 1,6 м жне 2 м. Бан сас шбрышты периметрі 5,5 м-ге те, осы шбрышты абыраларын табыдар.

38. Бір шбрышты периметрі оан сас шбрыш периметріні 11:13 блігіндей. Сйкес екі абыраны айырмасы 1 м-ге те. Осы абыраларды табыдар.

39. Тік брышты екі шбрышты біреуіні 40° брышы бар, ал екіншісіні: 1) 50°-а те; 2) 60°-а те брышы бар, осы шбрыштар сас па?

40. Тік брышты шбрышты гипотенузасына тсірілген биіктігі гипотенузаны 9 см жне 16 см кесінділерге бледі. шбрышты абыраларын табыдар.

41. Тік брышты шбрышты гипотенузасы 25 см-ге, ал катеттеріні бірі 10 см-ге те. Екінші катетіні гипотенузадаы проекциясын табыдар.

42. сас шбрыштарды сйкес биіктіктеріні атынасы сйкес абыраларыны атынасындай болатынын длелдедер.

43. Тік брышты шбрыш катеттеріні атынасы т: п атынасындай. Катеттерді гипотенузаа тсірілген проекцияларыны атынасын табыдар.

44. Фабрика бырынан тскен клекені зындыы 35,8 м, жерге тігінен (вертикаль) шаншылан, биіктігі 1,9 м, аданы сол мезеттегі клекесіні зындыы 1,62 м. бырды биіктігін табыдар (В-5 - сурет).

Сурет В-5 Сурет В-6

45. ABCшбрышына ADEFромб іштей сызылан, А брышы орта та, Е тбесі ВСабырасына келіп тірелген (В-6 - сурет). АВ = с жне AC =b деп алып, ромб абырасын табыдар,

46. *. ABCшбрышыны Стбесіндегі сырты брышыны биссектрисасы АВтзуін D нктесінде ияды (В-7 - сурет). Сонда АD:ВD = АС:ВС болатынындлелдедер.

47. *. Берілген екі нктеге дейінгі ара ашытытарыны атынасы траты болып алатын (бірге те емес) нктелеріні геометриялы орны шебер болатынын длелдедер.

48. шбрышты абырасы 10 см-ге те де, ал оан арсы жатан брыш 150°. Сырттай сызылан шеберді радиусын табыдар.

49. A, В, С нктелері шебер бойында жатыр. Егер ABC брышы 30°-а, ал шеберді диаметрі 10 см-ге те болса, АСхордасы неге те болады?

50. A, В, С нктелері шебер бойында жатыр. Егер АСхордасы шеберді радиусына те болса, ABC брышы неге те болады? (Екі жадайды арастыру керек.)

51. Тік брышты шбрыша сырттай сызылан шеберді центрі гипотенузаны ортасы екендігін длелдедер.

52. Тік брышты шбрышты гипотенузасына жргізілген медиана оны те бйірлі екі шбрыша блетінін длелдедер.

53. Гипотенуза мен тік брышты тбесінен сол гипотенузаа тсірілген биіктік бойынша тік брышты шбрышты салыдар.

Сурет В-7 Сурет В-8

54. Шебер бойынан трт нкте A, В, С, D белгіленген. Егер ABC брышы а-а те болса, ADC брышы неге те болады? (Екі жадайды арастырыдар.)

55. Шеберді AD жне ВС хордалары зара иылысады. ABC брышы 50°-а, ал ACD брышы 80°-а те. CAD брышын табыдар.

56. *. ІІІеберге іштей сызылан тртбрышты арама-арсы жатан брыштарыны осындысы 180°-а те екендігін длелдедер.

57. абыралары берілген екі нктеден тетін тік брыштарды тбелеріні геометриялы орны шебер болатынын длелдедер.

58. абыралары берілген екі нкте арылы тетін, ал тбелері сол нктелерді осатын тзуді бір жаында жататын, мнымен оса градусты лшемі белгілі брыштар тбелеріні геометриялы орны, штары сол нктелерде жататын шебер доасы болатынын длелдедер (В-8 - сурет).

59. Шебер хордасымен жне шеберді сол хорданы шынан жанап тетін жанаманы арасындаы брыш хорданы штарына жргізілген радиустарды арасындаы брышты жартысына те болатынын длелдедер (В-9 - сурет).

60. Бір абырасы мен оан арсы жатан брышы жне сол брышты тбесінен жргізілген биіктігі бойынша шбрыш салыдар.

61. Шеберді С нктесінен оны АВдиаметріне CD перпендикуляры жргізілген. CD2=AD*BD болатынын длелдедер.

62.
Шеберді июшы кесінділерді кбейтіндісі сол нктеден жргізілген жанама кесіндісіні квадратына те болатынын: AC*BC = CD2 длелдедер (В-10 - сурет).

 

Сурет В-9 Сурет В-10

Осымша С