Практический пример. Задача изменения температуры тела в зависимости от температуры воздуха
Согласно закону излучения тепла, скорость изменения температуры тела в воздухе пропорциональна разности между температурой воздуха и тела:
(4.5)
где x(t) – температура тела в момент времени t, u(t) – температура воздуха в этот же момент, 
- положительный коэффициент, определяемый свойствами тела. Если, например, 
и температура воздуха зависит от времени t как 20 – 1/(1+t2), то уравнение запишется в виде
(4.6)
Используя вышесказанное, решить следующие задачи.
1. Пусть в момент времени температура воздуха была равна 300, а впоследствии опускалась на 0.010 за каждую секунду, то есть при 
выполнено u(t)=30-0.01t. пусть для рассматриваемого тела .
Требуется выяснить, сколько потребуется времени для того, чтобы тело, имевшее в момент времени t =0 температуру 1000, остыло до температуры 900.
2. Рассматривается уравнение изменения температуры тела. Полагается, что для рассматриваемого тела 
. Пусть при выполнено u(t)=30-0.1+5 sin t. Написать вариант программы для решения этой задачи, предприняв некоторые меры по контролю точности. Первоначально вычисления проводить с шагом h=1, затем они повторяются с шагом h=1/2 и так далее до тех пор, пока модуль разности двух последних приближений в точке х(5) не окажется меньшим, чем заданное число eps.
3. Рассматривается дифференциальное уравнение, описывающее вымывание инертного материала из резервуара, который взбалтывается:
(4.7)
где С 
- концентрация инертного материала (компонента А) в контейнере и вытекающем из этого контейнера потоке (мг/мл);
Свход – концентрация компонента А во входящем в контейнер потоке (мг/мл);
- продолжительность обработки сточных вод в системе ( 
);
V – объем контейнера (константа) (мл);
V1 – скорость входящего и выходящего потока (мл/с);
Начальная концентрация компонента в резервуаре, а также параметры системы: концентрация компонента А во входном потоке, объем резервуара и скорость потока приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1- Параметры системы
| Название параметра | Значение параметра |
| Первоначальная концентрация компонента А в резервуаре | 100 мг/мл |
| Концентрация компонента А во входном потоке | 0 мг/мл |
| Объем резервуара | 10 л |
| Скорость потока | 100 мл/с |
Найти концентрацию компонента в каждый момент времени, решая дифференциальное уравнение численным методом. Построить график. Полученные результаты сравнить с аналитическим решением 
Контрольные вопросы
4.3.1 В каких случаях применяют численные методы решения дифференциального уравнения?
4.3.2 Перечислить наиболее известные методы решения дифференциальных уравнений.
4.3.3 В чем суть метода Эйлера? В чем преимущество этого метода и в чем его недостаток?
4.3.4 В чем суть метода Рунге-Кутта? В чем преимущество этого метода и в чем его недостаток?
4.4.5 Привести пример физического закона, который описывается дифференциальным уравнением.
4.4.6 Сформулировать математически следующее явление: скорость изменения температуры тела в воздухе пропорциональна разности между температурой воздуха и тела.
4.4.7 Сформулировать математически второй закон Ньютона: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорения, для силы, изменяющейся со временем по известному закону и направленной вдоль фиксированной прямой.
4.4.8 Что понимается по термином «начальное условие»?
Варианты заданий
С помощью пакета MS Excel, а также языка программирования реализовать алгоритмы численного решения дифференциального уравнения и построить графики для приближенного решения по методу Эйлера и Рунге-Кутта, результаты сравнить.
После уравнения в скобках записаны исходные данные для решения: x0 - начальное значение аргумента, y0 – начальное значение функции от x0, далее – отрезок, на котором решается уравнение, h – шаг.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
|
Задание 5. Построение поверхности
Цель работы – ознакомиться с методикой построения поверхности в MSExcel и приобрести навыки построения поверхности.
В курсе информатики рассматривалось построение графиков – линий, использование двух координат. Но часто возникает необходимость построения поверхности – использование трех координат.
Построение поверхностей
Построение поверхностей предполагает использование следующей методики:
1. Подготовить диапазон изменения функции по двум координатам, расположив изменения одной координаты вдоль некоторого столбца вниз, а другой – вдоль, прилегающий строки вправо.
2. Ввести на пересечении координат необходимую формулу для построения поверхности и с помощью маркера автозаполнения выполнить ее копирование на всю область построения поверхности.
3. Выделить подготовленные данные и воспользоваться мастером построения диаграмм ( тип диаграммы – Поверхность).
5.2 Задание 1: построить поверхность
(5.1)
Решение:
1. Подготовить диапазон изменения функции: от -1 до 1.
2. Формула для расчета значения z введена в ячейку С3: =($B3^3/2-(C$2+2)^2.
Подготовленный диапазон и построенная поверхность представлены на рисунке 5.1.