Логические выражения и функции

Введение

Подготовка к ЕГЭ по информатике стала актуальной с введением экзамена по информатике по выбору при окончании средней школы и введением в некоторых ВУЗах, включая и гуманитарные, вступительных экзаменов по информатике.

Тема «Логика. Логические основы компьютера» – один из разделов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Информатика и ИКТ» на профильном уровне. В силу своей предельной общности и абстрактности логика имеет отношение буквально ко всем конкретным отраслям науки и техники. Потому, что как бы ни были различны и своеобразны эти отрасли, все же законы и правила мышления, на которых они основываются, едины.

Изучение логики развивает: ясность и четкость мышления; способность предельно уточнять предмет мысли; внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях; умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

Предмет исследования – методы подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

Объект исследования – раздел «Основы логики» школьного курса информатики.

Цель: комплексное, системное изучение методики подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

Достижение поставленной цели требует постановки и решения следующих задач:

1. провести теоретический анализ раздела «Основы логики»;

2. рассмотреть возможные трудности при решении задач данной темы.

Глава 1. Теоретический анализ раздела «Основы логики»

Формы мышления. Алгебра высказываний.

Логика — наука о способах и формах мышления, которая возникла в Древнем Китае и Индии.

Основоположником формальной логики по праву считается Аристотель. Логика позволяет, отвлекаясь от содержательной стороны, строить формальные модели окружающего мира. Свойства, связи, и отношения объектов окружающего мира в сознании человека отражают законы логики.

Мышление всегда осуществляется в следующих формах: понятие, высказывание и умозаключение.

Алгебра высказываний позволяет определять истинность или ложность составных высказываний.

В алгебре высказываний простым высказываниям или суждениям соответствуют логические переменные. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания[14, 98 c.].

Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» (логическое умножение (конъюнкция)), «или» (логическое сложение (дизъюнкция)), «не» (логическое отрицание (инверсия)).

Конъюнкция. Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком «&» либо «/\»:

F = А /\ В.

Функция логического умножения F может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности:

А	В	А /\ В

Дизъюнкция. Операцию логического сложения обозначают «v» либо «+».

F = A\/B

Таблица истинности:

A	B	A\/B

Инверсия. Операцию логического отрицания обозначают F = A.

Таблица истинности логического отрицания:

A	A

Равносильными логическими выражениями называются логические выражения, у которых совпадают последние столбцы таблиц истинности.

Логическое следование (импликация) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «если..., то...», и обозначается:

А –> В.

Таблица истинности:

A	B	А–>В

Логическое равенство (эквивалентность) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «тогда и только тогда, когда ...» и обозначается А<–>В.

Таблица истинности:

A	B	А<–>В

Логические выражения и функции

Логические выражения. Составные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, которая состоит из логических переменных, обозначающих высказывания, и знаков логических операций.

Логические операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Скобки позволяют этот порядок изменить:

F = (A\/B) /\ (A\/B)

Таблицу истинности можно построить для каждого логического выражения. Она определяет его значение при всех возможных комбинациях значений логических переменных [14, 99 c.].

Построение таблицы истинности:

1. Количество строк N в таблице истинности равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных n и определяется по формуле: N = 2ⁿ.

2. Количество столбцов в таблице истинности равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Построить таблицу истинности с необходимым количеством строк и столбцов и записать значения исходных логических переменных.

4. Заполнить таблицу истинности по столбцам, в соответствии с таблицами истинности.

 

Логические законы

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:

А = А.

Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным:

А /\ А = 0.

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным:

A \/ A = 1.

Закон двойного отрицания. Двойное отрицание дает в итоге исходное высказывание:

А = А

Законы де Моргана:

(A \/ B) = A /\ B

(A /\ B) = A \/ B

Закон коммутативности.

А /\ В = В /\ А

A \/ B = B \/ A

Закон ассоциативности:

(А /\ В) /\ С = А /\ (В /\ С)

(A \/ B) \/ C = A \/ (B \/ C)

Закон дистрибутивности. Отличается от подобного закона в алгебре — за скобки можно выносить не только общие множители, но и общие слагаемые:

(A /\ B) \/ (A /\ C)=A /\ (B \/ C)

(A \/ B) /\ (A \/ C) = A \/ (B /\ C)