Расчет однофазных линейных электрический цепей переменного тока.

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=Umsin(t+u) частотой f=50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов цепи заданы в таблице 2.1. Схема замещения цепи приведена на рис. 2.1.

 

Выполнить следующее:

 

1) начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;

 

2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи; 3) записать уравнение мгновенного значения тока источника; 4) составить баланс активных и реактивных мощностей; 5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с

 

топографической векторной диаграммой напряжений.

 

 

Таблица. 2.1. Исходные данные

 

Um, В u, град R1, Ом R2, Ом L1, мГн L2, мГн C1, мкФ C2, мкФ  
  31,8 50,9  
    a I1 a     a    
        I2   I R2    
            3    
    U     L1 С2 b    
               
            L2    
      С1     I4    
          R1      
                 
    e   d     c    

 

Рис.2.1. Схема замещения электрической цепи.

 

Решение.

 

2.1. Схема замещения электрической цепи представлена на рис. 2.1. Определим реактивные сопротивления элементов цепи:

 

= 2 f =2×3,14×50=314рад/с;

 

X L1= L1=314×31,8×10-3=10Ом;

 

X L2= L2=314×50,9×10-3=16Ом;

 

Лист

 

Изм. Лист № докум. Подпись Дата

  XС1 = 1 =               = 10 Ом;          
        С1   314 × 318 ×10-6                      
  XС 2 = 1 =               = 16 Ом.          
        С2   314 ×199 ×10-6                      
        2.2. Определим комплексные сопротивления ветвей цепи (рис. 2.2):    
                              I1                      
                  U             Z 2     I2 I3 Z 4 I4    
                                       
                              Z 1           Z 3      
                Рис.2.2. Схема с комплексными сопротивлениями.    
  Z1= - jX C1= - j10=10e- j90° Ом;              
  Z 2= jX L1= j10=10e j90°Ом;                  
  Z 3= - jX C 2= - j16=16e- j90° Ом;              
  Z = R + R + jX L2 = 10 + 20 + j16 = 30 + j16 = 34e j28,1° Ом.    
                                           
  Находим комплексное сопротивление параллельного участка цепи:    
  Z 234 =               =                 =      
                           
          +   +         +     +      
        Z 2   Z 3   Z 4   10e j 90°   16e- j90°   34e j28,1°      
                                               
  = 0,1e- j90° + 0,0625e j90° + 0,0294e- j28,1° = - j0,1+ j0,0625+0,0259- j0,0138 =  
  =               =         = 17,39e j63,2° = 7,84 + j15,52 Ом.    
  0,0259 - j0,0513 0,0575e- j63,2°    
                     
  Находим эквивалентное сопротивление всей цепи:      
  Z экв = Z1+ Z 234= - j10+7,84+ j15,52=7,84+ j5,52=9,59e j35,1° Ом.    
  Запишем комплекс действующего значения напряжения на входе цепи:    
      Um × e j u = e j60° = 38,18e j60° В.          
  U =                        
                                                 
                                                  Лист  
Изм. Лист   № докум.   Подпись   Дата                    

Определим комплексные значения токов ветвей цепи, воспользовавшись законом Ома:

 

                  38,18e j60°                  
I1 =     U   =         =3,98e j24,9° = 3,61 + j1,68 А;        
                             
    Z экв 9,59e j35,1°                  
                                j24,9° ×17,39e j63,2° = 69,21e j88,1° В;  
U2= U3 = U 4 = U234 = I1× Z 234=3,98e        
                69,21e j88,1°                  
I2 = U2   =           = 6,92e- j1,9° = 6,92 - j0,23 А;        
Z 2                    
                  10e j90°                        
              69,21e j88,1°                  
I3 = U3   =           =4,33e j178,1° = -4,33 + j0,14 А;        
                     
        Z 3         16e- j90°                        
                69,21e j88,1°                  
I4 = U4   =           = 2,04e j60° = 1,02 + j1,77 А.          
Z 4                      
                34e j28,1°                        
                                                     

2.3. Запишем уравнение для мгновенного значения тока источника:

 

i1(t)=3,98 2 sin(314t + 24,9°) = 5,63sin(314t + 24,9°) А.

 

2.4. Составим баланс активных и реактивных мощностей.

 

Находим мощность источника:

 

~ * = 38,18e j60° × 3,98e - j24,9° = 151,96e - j35,1° =124,32 + j87,38 ВА,  
Sист = U × I        
т.е. Pист = 124,32 Вт, Qист = 87,38 вар.      

 

Находим активную Pпр и реактивную Qпр мощности приемников:

 

Pпр = I42(R1+ R2)=2,042×(10+20)=124,85Вт;

 

Qпр = I12(- X C1)+ I22 X L1+ I32(- X C 2)+ I42 X L2=3,982×(-10)+6,922×10+

 

+ 4,332 × (- 16) + 2,042 ×16 = 87,06 вар.

 

Т.к. Pист Pпр, Qист Qпр, то баланс мощностей получился.

 

2.5. Определим напряжения на элементах схемы замещения цепи.

 

UC1= I1× XC1=3,98×10=39,8В;

U L1= I2× X L1=6,92×10=69,2В;

UC2= I3× XC 2=4,33×16=69,28В;

U R1= I4× R1=2,04×10=20,4В;

U R2= I4× R2=2,04×20=40,8В;

U L2= I4× X L2=2,04×16=32,64В.

 

Лист

 

Изм. Лист № докум. Подпись Дата

Задаемся масштабами по току и напряжению:

 

MI = 1 А/см, МU = 5 В/см.

 

Определяем длины векторов токов и напряжений:

 

I1 =         I1     = 3,98       = 3,98 см;  
        M I  
                                                   
I 2 = I2     = 6,92   = 6,92 см;  
M I                      
                                                   
I 3 = I3     = 4,33   = 4,33 см;  
                                 
            M I                                        
I 4 = I4     = 2,04 = 2,04 см;  
M I                    
                                                   
U =         U     = 38,18 = 7,64 см;  
  MU                    
                                             
U C1 = UC1       = 39,8       = 7,96 см;  
                     
                    MU                
U L1 = U L1         = 69,2     = 13,84 см;  
                     
                  MU                
U C 2   = UC2       = 69,28 = 13,86 см;  
  MU                
                                     
U R1 = U R1     = 20,4   = 4,08 см;  
             
                    MU                
U R 2   = U R2         = 40,8 = 8,16 см;  
               
                        MU                
U L2   = U L2         = 32,64 = 6,53 см.  
             
                        MU              
                                                                                     

 

Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой напряжений, построена на рис. 2.3.

 

На комплексной плоскости откладываем в масштабе векторы токов, в соответствии с расчетными значениями, при этом положительный фазовый угол отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно соответствующих векторов токов: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90о, а на емкостном напряжении отстает от тока на 90о.

 

Лист

 

Изм. Лист № докум. Подпись Дата

  +j a  
  UR2    
  U UL1=UC2  
  I4 I1  
     
I3 e    
b +1  
   
  UL2 I2  
     
  UC1 c  
     
    UR1  
    d  
Рис.2.3. Векторная диаграмма.  

 

Лист

 

Изм. Лист № докум. Подпись Дата