Доказательства утверждений
УТВ О - 2 Свойства обратного отображения
2.1 Обратимость отображения эквивалентна его биективности: (A:X®Y обратимо, т.е. $ обратное о. A-1:Y®X) Û (A:X®Y биективно, т.е. одновременно сюръективно и инъективно).
Д-во. Þ?$ обратное о. A-1:Y®X Þ A:X®Y биективно ?
1) Ax1 = Ax2 =(действуем на равенство отображением A-1, существующим в силу условия теоремы)Þ A-1(Ax1) = A-1(Ax2) =(определение композиции А-1А)Þ A-1Ax1 = A-1Ax2
=(А-1А=1X)Þ x1=x2 =[эквивалентное определение инъективности: (Ax1 = Ax2 Þ x1=x2) Û x1¹x2 Þ Ax1 ¹ Ax2)]Þ А инъективное о.!
2) "yÎY =(A-1:Y®X)Þ x = A-1yÎX =(действуем на равенство отображением А)Þ
Аx = А(A-1y) =(определение композиции АA-1)Þ Аx = АA-1y =(АA-1 = 1Y)Þ Аx = yÜ(определение м. всех значений, imA)Þ imA = A(X) = YÜ(определение сюръективного о.)Þ А сюръективное о.!
Таким образом, из 1) и 2) вытекает биективность А!
Ü? A:X®Y биективно Þ $ обратное о. A-1:Y®X ?
Задаем претендента из объема понятия отношение в YÈX:
A-1 = {<y,x>ÎY´X | <x,y>ÎA}ÍY´X,
т.е. x = A-1y Û y = Ax, и проверяем видовые признаки более узкого понятия
обратное о. A-1:Y®X:
1° A-1 – отображение из Y в X ? (A-1:D(A-1)ÍY®X ?)
2° D(A-1) = Y ? (A-1:Y®X ?)
3° А-1А=1X & АA-1 = 1Y ? (т.е.А-1 действительно обратное отображение для А ?).
1° Ü(определение отображения из)Þ x = A-1y & x¢ = A-1y =(?)Þ x=x¢.
x = A-1y & x¢ = A-1y Ü(определение отношения А-1)Þ y = Ax & y = Ax¢ =(симметричность и транзитивность отношения =Y)Þ Ax=Ax¢ =(A инъективен)Þ x=x¢!
2° Ü(определение равенства множеств)Þ D(A-1)ÍY & YÍ D(A-1) ? Ü(определение D(A-1) = {yÎY | $xÎX : x=A-1y}ÍY)Þ YÍ D(A-1) ? Ü(определение подмножества)Þ yÎY Þ yÎ D(A-1) ?
yÎY =(А сюръективно)Þ $xÎX | y = Ax Ü(определение отношения А-1)Þ $xÎX | x = A-1y =(определение D(A-1))Þ yÎ D(A-1)!
3° Ü(определения равенства отображений и тождественного отображения)Þ
3.1. xÎX =(?)Þ x = A-1Ax
3.2. yÎY =(?)Þ y = AA-1y
xÎX =( A:X®Y)Þ y =AxÎY Ü(определение А-1)Þ y =Ax & x = A-1y =(подставляем
y = Ax во второе равенство)Þ x = A-1Ax !
yÎY =( A-1:Y®X)Þ x = A-1yÎX Ü(определение А-1)Þ y =Ax & x = A-1y =(подставляем
x = A-1y в первое равенство)Þ y = AA-1y !
1°,2°,3° доказаны ¨
Задачи для самостоятельной работы
1. Пусть A, B, C – отображения. Доказать утверждение.
Варианты
1. Композиция ассоциативна: (АВ)С = А(ВС).
2. Композиция сюръективных отображений сюръективна.
3. Композиция инъективных отображений инъективна.
4. Композиция биективных отображений биективна.
5. Отображение, обратное к данному, единственно.
6. Композиция обратимых отображений обратима и (ВА)-1 = А-1 В –1.
7. S[a, b] É B[a, b] É C[a,b] É Ck[a,b] É С [a,b] (доказать одно, любое, включение).
8. 1 < p < q Þ l1 Ì lp Ì lq Ì l Ì l (доказать одно, любое, включение).
9. А инъективен Û Уравнение Ax = yне может иметь более одного решения"yÎY.
10. А сюръективен Û Уравнение Ax = yимеет решение при "yÎY.
11. А биективен Û Уравнение Ax = yпри "yÎY имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле x = A-1y, где A-1- обратный оператор.
12. Композиция отображений является отображением.
Образец решения (1 задача). Композиция ассоциативна: (АВ)С = А(ВС).
Д-во. "x (AB)Cx=(определение композиции С и АВ)= АВ[С(х)] =( определение композиции В и А)= A(B[C(x)]) =(определение композиции С и В)= A(BC(x)) =(определение композиции BС и А)= A(BC)x=(по определению поточечного равенства отображений)Þ (АВ)С = А(ВС) §
2. Даны два (несколько) отображения. Найти значение композиции отображений на данном аргументе.
Варианты.
1. X=l2; Ax = {x3,x4,…}:X®X; Bx = 
Fx = x1 + x2 :X®R;
x0 = 
. FABx0 = ? (Ответ: 
)
2. X=C[0,1]; (Ax)(t) = t2x(t):X®X; (Bx)(t) = 
Fx = 
x0(t) = t; FABx0 = ? (Ответ: 
)
3. X=C[0,1]; (Ax)(t) = x(t2):X®X; (Bx)(t) = x2(t):X®X; Fx = 
x0(t) = 
FABx0 = ? (Ответ: 
)
4. X=Ã([0,2]); Ax = xÇ[0,1]:X®X; Bx = [0,2]\x:X®X; Fx = sup x :X®R; x0 = {0,1,2}; FABx0 = ? (Ответ: 1)
3. Решите "свой" вариант теста (не забудьте указать вариант, например, ТЕСТ О - 1). Тестовое задание (ТЗ) с номером № студента (mod12) представьте с решением, на остальные ТЗ пришлите только ответы.
Варианты
1. ТЕСТ О - 1.
| № | А | В | Дополнительная информация |
| ОтображениеI(x) = x | ОтображениеА|x1 ¹ x2 Þ Ax1¹Ax2 | Понятия | |
| Биективное о. | Обратимое о. | Понятия | |
Функц-алFx = 
| ФункционалFx = x(0) | Понятия | |
| Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций | Ф.п. бесконечно дифф-мых функций, С¥[a,b] | Понятия | |
| Правая часть уравнения | Элементx Î X , при котором высказывание Ах = у истинно | Понятия | |
| Lp[a,b] | L1[a,b] | Множества, p>1 | |
| C3[a,b] | C2[a,b] | Множества, a<b | |
| a(t) < 0 "t | A-1a = A1/a | Пар. выс-я, aÎS(T,R) | |
| А биективен | Уравнение Ax = yимеет единственное решение | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| ABсюръективен | А сюръективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | |
| Bсюръективен | BA сюръективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | |
| A- биекция | A сюръективен | Пар-е выск-я, AÎS(X) |
2. ТЕСТ О - 2.
| № | А | В | Дополнительная информация |
| ОтношениеR Í C´U | ОтображениеА: A(X) = Y | Понятия | |
| Сужение о. А на подмножество U, Aú U | ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U (x) = A(x) " x Î X | Понятия, AÎS(X,Y) U Í X | |
| ОператорAx = dx/dt | Множество (м.) | Понятия | |
| Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из k раз непрерывно дифференцируемых функций | Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций | Понятия | |
Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых функций (т.е.  < ¥)
| Подмножествов S(X,Y) | Понятия | |
| Элемент S(P, PR) | Уравнение, Ax = y | Понятия | |
| B[a,b] | C[a,b] | Множества, a<b | |
| A-1a = A1/a | a(t) > 0 "t | Пар-е выск-я, aÎS(T,R) | |
| xÎC[-1, 1] | xÎC1[-1, 1] | Выс-я, x(t)=|t| | |
| Уравнение Ax = yимеет решение | А сюръективен | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| A инъективен | BAинъективно | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | |
| A- биекция | A инъективен | Пар-е выск-я, AÎS(X) |
3. ТЕСТ О - 3.
| № | А | В | Дополнительная информация |
| Инъективное о. | О.А | Ax1 = Ax2 Þ x1 = x2 | Понятия | |
| Биективное о. | ОтображениеA, которое одновременно инъективно и сюръективно | Понятия | |
| График о. | Дифференциальный о. | Понятия | |
| Ф. п. Í S[a,b], состоящее из непрерывных функций | Ф.п. ограниченных на отрезке функций, B[a,b] | Понятия | |
| Ф.п. суммируемых на отрезке функций, L1[a,b] | Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых в p-й степени функций (т.е. таких x, что  p<¥)
| Понятия | |
| lq | lp | Множества, p<q | |
| FABx, x(t) º 1 | FBAy, y(t) º 1 | Числа, Bx(t)=tx(t), Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1) | |
| A инъективен | Ур-е Ах=y не может иметь более 1 решения | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| Уравнение Ax = yимеет решение | А сюръективен | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| ABинъективно | Винъективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | |
| ABсюръективен | А сюръективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | |
| A инъективен и сюръективен | A- биекция | Пар-е выск-я, AÎS(X) |
4. ТЕСТ О - 4.
| № | А | В | Дополнительная информация | |||
| Обратимое о. | Обратное о., А-1 | Понятия | ||||
| Биективное о. | О.А | x1 ¹ x2 Þ Ax1 ¹ Ax2 | Понятия | ||||
| О.А, для которого X и Y - ф.п. | ОтображениеА, для которого X - функциональное пространство, а Р- числовое поле | Понятия | ||||
| Оператор(Ax)(t) = =ò[a,b]k(t,s)x(s)ds, t Î [c,d] | Интегральный оператор | Понятия | ||||
| Подмножествов S(X,Y) | Ф. п. Í S[a,b], состоящее из ограниченных функций | Понятия | ||||
Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых функций (т.е.  < ¥)
| Подмножествов S(X,Y) | Понятия | ||||
| lp | l1 | Множества, p>1 | ||||
| FABx, x(t) = t | FBAy, y(t) = t2 | Числа, Bx(t)=tx(t),Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1) | ||||
| a(t) < 0 "t | A-1a = A1/a | Пар. выс-я, aÎS(T,R) | ||||
| xÎC2[0, 2] | xÎB[0, +¥) | Выс-я, x(t)=|t| | ||||
| x = A-1y | А сюръективен | Пар-е выск-я, Ax = y | ||||
| ABсюръективен | Aи B сюръективны | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) | ||||
5. ТЕСТ О - 5.
| № | А | В | Дополнительная информация |
| ОтображениеА, для которого существует обратное о. | О. изA:DA Í X®Y ½ DA = X | Понятия | |
| ОтображениеAú U Î S(U,Y): Aú U (x) = A(x) " x Î U | Сужение о. А на подмножество U, Aú U | Понятия | |
| ОператорA аÎ S(X): (Ааx) (t) = a(t) x(t) | О.А, для которого X и Y - ф.п. | Понятия | |
| Функциональное пространство | Подмножествов S(X,Y) | Понятия | |
| Ф. п. Íl, состоящее из ограниченных последовательностей (т.е. таких x = {xk }Î l, что sup{ôxkô} < ¥) | Ф.п. ограниченных последовательностей, l¥ | Понятия | |
| Элементy Î Y | Подсистема | Понятия | |
| C[a,b] | S[a,b] | Множества, a<b | |
| FABx, x(t) = t | FBAy, y(t) = t2 | Числа, Bx(t)=tx(t), Ax(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, Fx = x(1) | |
| a(t) < 0 "t | A-1a = A1/a | Пар. выс-я, aÎS(T,R) | |
| xÎC[-1, 1] | xÎC1[-1, 1] | Выс-я, x(t)=|t| | |
| x = A-1y | А биективен | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| Aи Bинъективны | ABинъективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) |
6. ТЕСТ О - 6.
| № | А | В | Дополнительная информация |
| Композиция отображений А и В, ВА | ОтображениеВА(х) = В(А(х)) | Понятия, AÎS(X,Y), BÎS(Y,Z) | |
| ОтображениеA, которое одновременно инъективно и сюръективно | Обратимое о. | Понятия | |
| Функция | ОтображениеAÎ S(X,R) | Понятия | |
| d - функция Дирака | Интегральный функционал | Понятия | |
| Ф. п. Íl, состоящее из суммируемых последовательностей x = ={xk}Î l | å1,¥|xk|< ¥ | Ф. п. Íl, состоящее из последовательностей с суммируемой p-й степенью (т.е. таких x = {xk}Î l, что å1,¥|xk|p < ¥) | Понятия | |
| Ф.п. суммируемых на отрезке функций, L1[a,b] | Ф. п. ÍS[a,b], состоящее из суммируемых в p-й степени функций (т.е. таких x, что p<¥)
| Понятия | |
| Элементy Î Y | Элементx Î X , при котором высказывание Ах = у истинно | Понятия | |
| S[a,b] | C¥[a,b] | Множества, a<b | |
| xÎl2 | xÎl¥ | Выс-я, x={xk=1} | |
| А биективен | Уравнение Ax = yимеет единственное решение | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| x = A-1y | А сюръективен | Пар-е выск-я, Ax = y | |
| Bсюръективен | BA сюръективен | Пар-е выск-я, A,BÎS(X) |
ã Калмыков А.А. 2005. m_o.doc