Аудиторияда жне йде шыарылатын есептер

16.абырасы, оан іргелес брышы жне зге екі абыраларыны осындысы бойынша шбрыш салыдар.

17.Катеті жне гипотенузасы мен екінші катетіні осындысы бойынша тік брышты шбрыш салыдар.

18.абырасы, оан іргелес брышы жне зге екі абыраларыны айырмасы бойынша шбрыш салыдар.

19.абырасы, осы абыраа іргелес екі брышыны айырмасы жне зге екі абырасыны осындысы бойынша шбрыш салыдар.

 

Саба. НГО дісі

дебиеттер: [4]§ 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау

7-есеп.DАВС–ны ВС абырасында А жне С тбелерінен бірдей ашытыта жататын нктені салыдар. Есепті зерттедер.

Шешуі. Талдау.Кесіндіні штарынан бірдей ашытыта болатын НГО кесіндіге орта перпендикуляр болады. Салу идеясы тсінікті.

Зерттеу.Есепте 3 жадай болуы ммкін (8-сурет):

1) Егер АВ=ВС болса, онда АВС – те бйірлі жне АС абырасына тсірілген перпендикуляр ВС абырасыны В шы арылы теді. Шешімі – В нктесі.

2) Егер АВ<ВС болса, онда АС абырасына орта перпендикуляр ВС абырасын D нктесінде иып теді. Шешімі – D нктесі.

3) Егер АВ>ВС болса, онда АС абырасына орта перпендикуляр ВС абырасын иып тпейді. Шешім жо.

А
В
С
К
А
В
С
К
А
В
С
К
D
8-сурет

8-есеп. Брышты ішкі жаында А нктесі берілген. А нктесі арылы тетін жне оны абыраларында те кесінділер иып тетін тзуді салыдар.

Шешуі.Талдау.Айталы, ізделінді тзу салынан жне ОВ=ОС болсын (9-сурет). Те бйірлі ОВС алды. Егер биссектриса, медиана, биіктік О тбесінен жргізілген болса, онда олар беттеседі. ОЕ биссектрисасы ВС табанына перпендикуляр немесе керісінше – ВС табаны ОЕ биссектрисасына перпендикуляр. Жоспары тсінікті болды жне біз кері жру арылы салуды бастаймыз.

 

А
О
В
С
Е

9-сурет

Салу.О брышыны биссектрисасын жргіземіз. Одан кейін А нктесі арылы О брышыны абыраларын В жне С нктелерінде иып тетін биссектрисаа перпендикуляр тзу жргіземіз. Бл кезде ОВ=ОС болады.

Длелдеу. ОВС–да ОЕ биссектрисасы салу бойынша биіктік те болады. Сонда ОВС те бйірлі болады: ОВ=ОС.

9-есеп. Брышыны ішкі жаында жататын А нктесі берілген. А нктесінен тетін тзуде жататын брышты абыраларыны арасындаы кесіндісі А нктесімен а блінетіндей етіп тзу салыдар.

Шешуі. Талдау.Есепті шартына сйкес суретті саламыз (10-сурет). Айталы, ізделінді КС тзуі салынан болсын жне СА=АК. А нктесі КС абырасыны ортасы болатын ОКС алды. А нктесі арылы брышты абырасына параллель, екінші абыраны В нктесінде иып тетін тзу жргізейік. Одан кейін ОВ кесіндісін лшеп ВК=ОВ салу керек. А жне К нктелері арылы, баса абыраны С нктесінде иып тетін тзу жргізіледі. Сол кезде СА=АК.

А
О
В
С
К
10-сурет

 

Салуды жне длелдеуді з беттеріше жргізідер.

10-есеп.Шеберден тыс жатан А нктесінен шеберге жанамалар жргізідер.

Тсіл.

Шешуі.Талдау.Жанама – бл тзу сызы; тзу салу шін, екі нкте болуы керек; оны біреуі А нктесі берілген, шебердегі екінші нктені, мысала В, табу керек. Жанасу нктесіне жргізілген радиус, жанамаа перпендикуляр болады. Айталы ізделінді жанама салынан болсын (11-сурет).

В1
О
А
В
С

11-сурет

 

ОА кесіндісін жргіземіз. Тікбрышты ОАВ алды. ОВ кесіндісін созып жне оны созындысында ВС=ОВ салып крелік. ОАС-да АВ медиана жне биіктік болады. Демек ОАС те бйірлі. Олай болса ОА=АС. Те бйірлі ОАС-ны ш абырасы бойынша: ОА=АС, ОС=2·R=2·ОВ салуа болады. ОС кесіндісі мен шеберді иылысу нктесі мен А нктесін осатын тзу шеберге жанама болады.

Салу.1) О жне А нктелерін кесіндімен осамыз.

2) ш абырасы бойынша ОАС саламыз АС = ОА, ОС=2·R=2·ОВ.

3) ОС кесіндісі шеберді В нктесінде иып теді.

4) А жне В нктелері арылы ізделінді АВ жанамасын жргіземіз.

Длелдеу. ОАС – салу бойынша те бйірлі АС=ОА, бнда салу бойынша ОВ=ВС. Сонда ОАС-да АВ медиана болады. Біра те бйірлі шбрышта медиана сонымен бірге биіктік те, демек АВ ОС, АВ ОВ, АВ R. АВ шеберге жанама болады.

Зерттеу. Есепті екі шешімі бар. Шеберге екінші жанаманы жргізу шін, центрі А жне радиусы АВ болатын шебер жргізу керек. Бл шебер берілген шеберді В жне В1 нктелерінде иып теді. А жне В1 нктелері арылы берілген шеберге екінші жанама теді.

 
А
В
О
О1
В1

12-сурет

Тсіл.

Шешуі. Талдау. Айталы, ізделінді АВ жанамасы салынан болсын (12-сурет). Жанасу нктесіне жргізілген ОВ радиусы, жанасу нктесіндегі жанамаа перпендикуляр екендігін еске тсіреміз. ОАВ-да В брышы диаметрге тірелсе – онда ол тік брыш. О жне А нктелерін осамыз; ОА кесіндісін О1 нктесімен а блеміз; берілген шеберді В жне В1 нктелерінде иып тетін, центрі О1 жне радиусы О1А болатын шебер салу керек. АВ жне АВ1 тзулері ізделінді жанамалар.

11-есеп. А жне В екі елді мекендері тзу жолды бір жаында орналасан. Жолды бойында С автобус аялдамасын АС+СВ зындытарыны осындысы е кіші болуы шін ай жерде орналастыру керек?

13-сурет
А
С
В
В1
О
a

Шешуі. Талдау.Айталы тзудегі С нктесі – ізделінді нкте болсын (13-сурет), онда АС+СВ – е ыса ашыты. АС сулесін созып СВ=СВ1 салайы. а тзуі ВВ1 кесіндісіні орта перпендикуляры. Ізделінді С нктесі АВ1 кесіндісі жне а тзуіні иылысуы болып табылады, сонымен бірге, АВ1=АС+СВ1 – тзу бойымен ашыты е ыса болып табылады. Енді бл есепті берілгенмен байланыстырып крелік жне В1 нктесін а тзуіні баса жаына СВ=СВ1 болатындай етіп кшіріп крелік. В жне В1 нктелерін кесіндімен осып, те бйірлі СВВ1 (СВ=СВ1) аламыз. а тзуіне араанда симметриялы екендігін крсетеді жне СО кесіндісі те бйірлі СВВ1-да биіктік, медиана, биссектриса болады.

12-есеп.Тзу жне оны бір жаында жатан А жне В екі нкте берілген. АВС-ны периметрі е кіші болатындай етіп, тзуде С нктесін табу керек.

 

 

14-сурет
А
В
С
А1
а
О

Салу

1) А нктесі шін а тзуіне араандаы А1 симметриялы нктені саламыз (14-сурет).

2) А1 жне В нктелерін кесіндімен осып, оны а тзуімен иылысуында С нктесін аламыз.

3) А жне С нктелерін кесіндімен осып, ізделінді АВС шбрышын аламыз.

Длелдеу

Симметриялы нктелерді анытамасы бойынша АА1 а жне АО=ОА1 (О – АА1 жне а тзулеріні иылысу нктесі). Сонда анытама бойынша АСА1-да ОС кесіндісі биіктік жне медиана болады. Сонда АСА1– те бйірлі жне анытама бойынша А1С=АС. Салу бойынша А1В кесіндісі е ыса, сонымен бірге А1В=А1С+СВ=АС+СВ. АВС Р=АС+СВ+АВ=А1В+АВ периметрі е ыса, ал С тбесі салу бойынша а тзуінде жатыр.