Саба. Жазытытаы фигураларды трлендіру. Симметрия дісі

дебиеттер: [4] §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).

Бл діс бойынша, есепке талдау жасай отырып, бір тзуге немесе нктеге араанда іздеп отыран фигурамыза симметриялы болатын баса фигура салуа болады, сонан со сол фигура арылы, симметрияны айталап, іздеп отыран фигурамызды салуа кшеді.

Симметрия дісімен шыарылатын есептерді келтірейік.

16-есеп.а тзуіні бойынан берілген А жне В нктелерінен ашытытарыны осындылары е аз болатын нкте табу керек.

Шешуі. Талдау.А жне В нктелері берілген а тзуіні бір жаында жатады ал М-іздеп отыран нктеміз делік. (18-сурет), яни АМ+ВМ- осындысыны мні е аз болады. а тузуіне караанда В нктесіне симметриялы В' нктесін салайы, сонда АМ+ВМ=AM+B´M осындысы е аз болатындай етіп, табуа келіп тіреледі. Ал бл АВ' тзу кесіндісі болан жадайда ана болады. йткені, а тзуінде жатан кез келген баса М0 нктесінен А жне В´ нктелеріне дейінгі ашытытарды сол А жне В´ нктелеріне дейінгі ашытытарыны осындысынан лкен болады (шбрышты абыраларыны асиеті бойынша АМ0+В´М0>АМ+В´М), олай болса, АМ0+ВМ0>АМ+ВМ.

 

A
B1
M
Ma
a
18-сурет

 


Салу. А жне В нктелері берілген а тзуіні бір жаында жататын болсын. а тзуіне араанда В нктесімен симметриялы В' нктесін саламыз. А жне В' нктелері арылы тзу жргіземіз. Сонда а тзуі мен АВ тзуіні иылысу М нктесі іздеп отыранымыз.

Длелдеуі. Тзуді бойында жатан М нктесімен сйкес келмейтін кез келген М0 нктесін алайы (18-суретті араыз). Симметрияны асиеті бойынша МB=M В', сондытан АМ+ВМ =АМ+M В'=А В'

А В'<АМ0+ В´М0 боландытан, АМ+ВМ> АМ0+ВМ0

Зерттеу. 1) Егер А жне В нктелері бірдей а тзіні бойында жатпайтын болса, онда есепті бір ана шешімі болады. Бл жадайда, егер А жне В нктелер а тзуіні екі жаында жатса, онда іздеп отыран нктеміз М=АВа болады. Егер бл беріліп отыран екі нктені бірі а тзуінінде жататын болса, онда іздеп отран М нктеміз сол нктемен беттесіп кетеді.

1) А жне болса, онда АВ кесіндісіні кез келген нктесі есепті шартын анааттандыратын боландытан, есепті шексіз кп шешімі болады.

2) АВ кесіндісі а тзуін иып теді. а тзуі АМВ брышын а блетіндей етіп, а тзуіні бойынан М нктесін табу керек.

Н с а у. Брышты биссиктрисасы оны симметрия осі болады. а тзуіне араанда В нктесімен симметриялы В1 нктесін салу керек, сонда іздеп отыран нктеміз М=АВ1а (а тзуіне араанда А нктесімен симметриялы А1 нктесін де салуа болады) .

Егер А жне В нктелері а тзуінен р трлі ашытыта жатан болса, есепті бір ана шешімі болады; егер - АВа жне а тзуі АВ нктелеріні симметриялы болса, есепті шексіз кп шешімі болады (аныталмаан емес); егер А мен В нктелері а тзуінен бірдей ашытыта жатса жне АВ кесіндісі а тзуіне перпендикуляр болмаса онда есепті шешімі болмайды.

А
О1
О2
О3
В
С
D

19-сурет

17-есеп.Те емес екі шебер А жне В нктелерінде иылысады. А нктесі арылы шеберлерді иып тетін хордалары те болатындай тзу жргізу.

Салу.Центрі О1 болатын шебер шін оан А нктесіне араанда симметриялы центрі О3 болатын шебер саламыз (19-сурет). Ол шебер центрі О2 болатын шебермен А жне D нктелерінде иылысады. А нктесіне араанда D нктесімен симметриялы С нктесін саламыз. Центрлері О1 жне О2 шеберлерінде те СА жне АD хордаларын аламыз.

Длелдеуі. А нктесіне араандаы центрлік симметрияда центрі О1 болатын шебер зіне те болатын центрі О3 болатын шеберге, А нктесі зіне зі кшіріледі, С нктесі D нктесіне, СА кесіндісі зіне те АD кесіндісіне ауысады (центрлік симметрия нктелерді ара ашытыын сатайды).

 

m
A
A1
B
C
a
b

20-сурет

18-есеп. А жне В екі нкте жне оларды бліп тран m тзуі берілген. А a, В b нктелері арылы a жне b тзулерін жргізгенде m тзуі оларды арасындаы брышты а блетіндей етіп салу.

Салу.m тзуіне араанда А нктесімен симметриялы А1 нктесін саламыз (20-сурет). Одан кейін А1 жне В нктелері арылы m тзуімен С нктесінде иылысана дейін b тзуін жргіземіз. А жне С нктелері арылы a тзуін жргіземіз. a жне b тзулері ізделінді болады.

Длелдеу.m тзуіне араандаы стік симметрияда А нктесі А1 нктесіне, С нктесі зіне-зі ауысады, АС тзуі (a АС, А a) теді А1С (b А1С, В b) тзуіне, a жне m тзулеріні арасындаы брыш зіне те b жне m тзулеріні арасындаы брыша симметриялы.

19-есеп.а мен в абыралары жне В мен А брыштарыны айырмасы бойынша шбрыш салу керек.

Шешуі.Талдау.АВС шбрышы салынан делік (21-сурет). Олай болса, А жне В нктелеріні l симметрия сін салып, ВС кесіндісін l тзуімен симметриялы етіп бейнелейік. AС' = ВС = а болып шыады.

Сонда шыан брыштарды арастырса, , яни = болады деген орытындыа келеміз.

Сонымен, есеп екі абырасы жне сол абыралар арасындаы брыштары бойынша кмекші АС'С шбрышын салуа келіптіреледі.

Салу. 1) АС'С шбрышын саламыз (а, в, бойынша).

2) С жне С' нктелеріні симметрия сі— l тзуін жргіземіз.

3) l тзуінен араанда A нктесіне симметриялы Внктесін табамыз.

AВС мен AВС´— іздеп отыран шбрыштарымыз.

Длелдеуі. Салу бойынша АС'С шбрышында АС=в, АС' = а, . Симметрияны асиеті бойыншаВС=АС'=а, . Бдан АВС шбрышында абыралар АС=в, ВС=а жне = екендігі шыады.

АС'В шбрышы АСВ шбрышына те.

Зерттеу. Егер b>а (шбрышта лкен брыша карсы лкен абыра жатады) жне 0°< <180° болса, онда есепті бір ана шешімі болады (те екі шбрыш).

Егер болса, онда есепті шешімі болмайды.

Егер 180° болса, бл жадайда да есепті шешімі болмайды. йткені шбрышты екі брышыны айырмасы 180°-тан кіші болуы тиіс.

B

B
A
C1
C
a
a
b
b
d
21-сурет

20-есеп. Сйір АОВ брышы жне оны ішінен М нктесі берілген. КLМ шбрышыны периметрі е аз болатындай етіп брыш абыраларыны бойынан К жне L нктелерін табу керек.

Шешуі. Талдау.КLМ (22-сурет), іздеп отыран шбрышымыз болсын. М нктесін АО мен BO-а араанда бейнелесек М1 жне М2 нктелері шыады. КМ1=КМ жне LМ=LМ2, олай болса, KLМ шбрышыны периметрі M1K+KL+LM2 те (1) болады да, шбрышты минимум периметрі туралы есеп осындыны (1) минимумы жніндегі есепке, яни М1 мен М2 нктелеріні е кіші аралыыны берілген брышты абыраларымен иылысан нктелерінде, КLМ шбрышыны іздеп отыран К мен L нктелерін анытайтын тзу кесіндісін анытауа келіп тіреледі.

A
M
B
Lo
M2
L
O1
O
K
M1
K2
S1
S2
22-сурет

 

 


Салу. 1) Берілген АОВ брышыны ОА абырасына араанда берілген М нктесіне симметриялы М1нктесін табамыз.

2) ОВ абырасына араанда М нктесіне симметриялы М2 нктесін табамыз.

3) М1 мен М2 нктелерін тзу кесіндісімен осамыз;

4) М1М2 тзуіні ОА жне ОВ абыраларымен иылысан нктелерін (К мен L) белгілейміз. К=М1М2ОА, L=M1 M2OB)

5) КLМ шбрышын саламыз. KLМ — іздеп отыран шбрышымыз.

Длелдемені з беттерінше жргізуді сынамыз.

Зерттеу. Есепті рашан да бір шешімі болады, яни M1M2 тзуі ашан да берілген брышты абыраларын иып теді. Аныында, OK0ML0 трбрышы диаметрі ОМ шеберді іштей сызылан. К0L0М1ММ2 шбрышыны орта сызыы. S1М<01М=ОМ:2 жне К0МL0доал боландытан, S2М<2О1М=ОМ, яни М1М2 тзуі ОМ-ді иып теді, олай болса, берілген брышты абыраларын да иып теді.