Саба.Гомотетиялы фигураларды салу

дебиеттер:[4] І тарау §5, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).

Салуа берілген есептерді гомотетия дісімен шыару тмендегіше болады. Есепке талдау жасап, іздеп отыран фигурамызды лшемдерін сипаттайтын шарттарды бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отыран шбрышымызды абырасы жазытыты белгілі нктесі арылы ту керек деген немесе оны кез келген бір тбесі берілген шебер бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отыран Ф фигурасын емес, оан гомотетиялы Ф' фигурасын салу ммкіндігін анытайды. Сонан со Ф' фигурасын (кмекші фигура) салып, оны трлендіріп болан со, брын алып тастаан шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы трлендірулер жасайды, сонда іздеп отыран Ф фигура шыады.

Жоарыда айтыландардан, гомотетия дісімен шыарылатын есептер атарына е алдымен берілгендеріні ішінде тек біреуі ана кесіндімен бейнеленіп, ал аландарыны не брі брыштар, не брыштарды не кесінділерді атынастары болып келген есептер жататындыы шыады.

Бл типтес есептерді шыаранда мыналарды еске алу ажет. 1)Гомотетия центрі ретінде жазытыты кез келген нктесін алуа болады, ал іс жзінде гомотетия центрін дрыс тадап алу салуды оайлата тседі. Есепті оай жне тез шыаруа келтіретін гомотетия центрін алдын ала тадап алу есепті шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде кбінесе берілген фигураа сйкес кмекші фигураны бір тбесін немесе сызыты элементіні (кесіндіні) бір шын алады. Мысалы, А тбесіндегі брышы жне сырттай сызылан шеберді R радиусы бойынша те бйірлі ВАС шбрышын салу шін, іздеп отыран шбрышымыза сас А тбесіндегі брышы мен те бйірлі В'А^'С' шбрышын салып, сонан со осы шбрышты сырттай сызылан шенберді центрін гомотетия центрі ретінде алып жне к= , деп жоримыз да, В'А'С^'шбрышын іздеп отыран шбрыша трлендіреміз.

2) сас екі фигураны сйкес сызыты элементтеріні осындысыны (айырмасыны) атынасы оларды сас (сйкес) сызыты элементтеріні атынасына жне гомотетияны k коэффициентіне те. Мысалы: сас шбрыштарды периметрлері оларды сйкес абыраларыны атынасындай болады. Есепті шыаран кезде бл атынас детте гомотетия коэффициенті ретінде алынады. сас екі фигураны аудандары оларды сйкес элементтеріні квадраттарыны атынасындай болады.

25-есеп. Диагональдарыны т:п атынасы мен биіктігі бойынша ромбы салындар.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA4nnKlMIA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESP0YrCMBRE34X9h3AF3zStu1ipRlkXCuLLstoPuDTX tpjclCZq/XsjLPg4zJwZZr0drBE36n3rWEE6S0AQV063XCsoT8V0CcIHZI3GMSl4kIft5mO0xly7 O//R7RhqEUvY56igCaHLpfRVQxb9zHXE0Tu73mKIsq+l7vEey62R8yRZSIstx4UGO/ppqLocr1bB l3+k5eG32PnPMs2yam4OhTFKTcbD9wpEoCG8w//0XkcuzeB1Jh4BuXkCAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDiecqUwgAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA "/>

A¹

D¹

F¹

48-сурет

28-сурет

Шешуі.Талдау.АВСD ромбысы салынан делік. АС:ВD=т:п жне Е= (28-сурет). Ромбыны асиеті бойынша 1) АО:ОD=т:п; 2)

=90° жне 3) О= екендігін байаймыз.

1) жне 2) шарттар бойынша АОD шбрышына гомотетиялы А'0'D' шбрышын саламыз. О нктесін гомотетия центрі, ал :' атынасын гомотетия коэффициенті етіп алып, АОО шбрышын, сонан со іздеп отыран ромбымызды саламыз.

Салу. Алдыы екі шарт бойынша іздеп отыран шбрышымыза сас А'0'D' шбрышын жне іздеп отыран АОD шбрышымызды биіктігіне сйкес келетін оны 0''= - биіктігін саламыз. О тбесін гомотетия центрі етіп алып, коэффициент

деп алайы.

Белгіленген гомотетияда А'0'D' шбрышын іздеп отыран АОD шбрышына трлендірейік. Ол шін 0' сулесіні бойына 0'= кесіндісін салып, нктесі арылы A'D'-а параллель тзу жргізсек, АОD шбрышы шыады. АОD шбрышын ромбыа дейін толытырып саламыз, ол шін ОС=ОА, ОВ=ОD кесінділерін саламыз да, А мен В-ні, В мен С-ні жне С мен D-ні тзу кесінділерімен осамыз. АВСD — іздеп отыран ромбымыз.

Длелдеуі. боландытан, АО:ОD=А'0':0'D'=т:п жне = 90°. Биіктік О= . Олай болса, АС : ВD=АО : D0 = т : п_,Е =

яни АВСD — іздеп отыран ромбымыз.

Зерттеу. Еcепті шартын анааттандыратын кез келген баса бір A₁B₁C₁D₁ромбысы салынан ромбыа сас жне

атысы орындалуы тиіс боландытан, есепті бір ана шешімі болады. Алайда ₁= боландытан, A₁D₁=AD болады, олай болса, A₁B₁C₁D₁ромбысы АВСD ромбысына те. Демек, есеп бір мнді шешіледі.

26-есеп. Берілген шбрыша екі тбесі бір абырасында, ал баса екі тбесі баса екі абырасында жататындай, квадратты іштей сызыдар.

29-сурет

В₁

В₂

Шешуі. Талдау.Берілген шбрыша екі тбесі бір абырасында, шінші тбесі баса абырасында, тртіншісі шбрышты абырасында болмайтындай квадрат салайы (29-сурет). Мндай квадратты салу иын емес. Барлы квадраттар сас жне дербес жадайда гомотетиялы; гомотетия кезінде кесінді зіне параллель кесіндіге ауысады. А нктесін гомотетия центрі ретінде алып, В₁нктесі шін оан гомотетиялы В₂ нктесін саламыз, бнда нкте В₂ ВС – АВС абырасындаы. Салу идеясы тсінікті. Салуды жне длелдеуді здері жргізідер.

27-есеп.А мен В брыштары жне шінші тбесі арылы тетін биіктігі мен осы шбрышты іштей сызылан шебер радиусыны l осындысы бойынша шбрыш салу керек.

Шешуі.Талдау. Егер есепті шінші шартын ескермесек, онда А жне В екі брышы бойынша іздеп отыран шбрышымыза сас шексіз кп шбрыш салуа болады. Оларды бірі А'В'С' шбрышы болсын (30-сурет). Олай болса, іздеп отыран АВС шбрышымызды гомотетия коэффициенті к= , болатын S центріне атысты А'В'С' шбрышына гомотетиялы шбрыштар арасынан іздеу керек (мндаы l' дегеніміз '_С' биіктігі мен А'В'С' шбрышына іштей сызылан шеберді r' радиусыны осындысы).

Салу.1) Берілген А жне В брыштары бойынша кмекші А'В'С' шбрышын саламыз (30-сурет).

2) С'Е'='_с'биіктігіні созындысына Е'К' = r', l' = С'Е'+Е'К' кесінділерін салайы.

3) С' тбесін гомотетия центрі ретінде алайы жне гомотетия коэффиценті к= болсын дейік. Белгіленген гомотетияда А'В'С' шбрышын іздеп отыран шбрыша трлендірелік, ол шін С'К' сулесіні бойына С'K=l болатындай етіп, К нктесін салайы.

A¹

K¹

E¹

O¹

r¹

F¹

B¹

C¹(=С)

30-сурет

4) К нктесі арылы А'К'||АК тзуін, ал А нктесі арылы A'В'||АВ тзуін жргіземіз.

5) АВС — іздеп отыран шбрышымыз.

Делелдеуі.Е = АВС'Е' болсын.

боландытан,

Сондытан

Біра салу бойынша С'Е'+О'=1'. Олай болса, С'E+О' =1'. Олай болса, C' E+OF=l. АВС шбрышы есепті барлы шартын анааттандырады.

3ерттеу. Егер A+В<180° болса, онда барлы салулар бір мнді орындалады. Есепті шартын анааттандыратын кез келген шбрышы салынан шбрыша сас болуы керек, олай болса,

атынасы орындалуы тиіс. Алайда боландытан, С₁В₁= СВ болады. Сондытан .

Сонымен, салуды кез келген баса тсілмен орындаанда да осы шешім шыады. Есепті шешуі бір мнді орындалады.

28-есеп. Берілген дес АВСD тртбрышына іштей, абыралары сол тртбрышты диагональдарына параллель болатын етіп, ромбы салу керек.

Шешуі. Талдау.РQМN іздеп отыран ромбымыз (31-сурет). А нктесін гомотетия центрі етіп алып кез келген наты k санын (мысалы, 0<k<l) гомотетия коэффициенті ретінде алайы. Белгіленген гомотетияда МQМN ромбысы, Р'Q'M'N' ромбысына ауысады, ал бл ромбыны абыралары да берілген тртбрышты диагональдарына параллель, Р' пен N' тбелері бл тртбрышты абыраларында жатпайды, яни есепті шарттарыны екеуі орындалмайды.

Сонымен, есеп гомотетияда (центрі А нктесінде жне коэффициенті іздеп отыран ромбымыза ауысатын Р'Q'М'N' ромбысын салуа келіп тіреледі.

Салу. Мыналарды ретімен салайы,

1) Q' — АВ-ні бойындаы кез келген нкте;

2) Q'M'

3) ромбысын;

4) АN', N = АN'DC;

5) МN||N'М', МQ||М'Q', QP||AC, PN||QM. PQMN ромбысы — іздеп отыранымыз.

Длелдеуі.Р тбесі ВС-ні бойында жатпайды делік. Сонда ромбы болмайтын МQР₁N тртбрышын арастырамыз, мндаы Р₁ = ВСХQР жне Р мен Р₁беттеспейді. Блай болмайтындыын длелдейік. QP₁||AC, QМ||BD, M'N'||ACжне Q'М'||ВD боландытан,

Бдан Р₁Q=МN жне P₁Q||MN, яни Р₁QMN — параллелограмм. Ал NМQ жне N'M'Q.' сыны сызытары гомотетиялы, олай болса, МN=МQ. Сонымен, РQ₁МN — ромбы, олай болса, Р₁=Р жне РQМN — іздеп отыран ромбымыз.

3ерттеу. Есепті рашан да бір ана шешімі болады. Шындыында, егер тртбрышты іштей абыралары баса, екінші бір ромбы сызылан деп жорыса, онда РQ лкейеді (кішірейеді), ал онда QМ кішірейеді (лкейеді), олай болса, РQ мен QМ те болмайды, ал ромбыда блай болуы ммкін емес.

M¹

Q¹

N¹

P(P₁)

P¹

31-сурет